Complete measure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆ (ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆ ಸ್ಥಳ) ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಅಳತೆ ಸ್ಥಳ (ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ). ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಈ ಅಳತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ, ನಾವು-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ "ಆಯತಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ-ಬೀಜಗಣಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ವಿಟಾಲಿ ಸೆಟ್ನಂತಹ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಅಳೆಯಲಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ-ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಈ ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್-ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಈ "ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ" ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯ ನಿರ್ಮಾಣ ಒಂದು (ಬಹುಶಃ ಅಪೂರ್ಣವಾದ) ಅಳತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು (X,  ನಿಷ್ಪ, μ) ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಅಳತೆಯ ಜಾಗದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯು (X, ನಿಷ್ಪ, μ0) ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಿಕ್ಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯು (ಅಂದರೆ. ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಳತೆಯ ಜಾಗದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ Z ಎಂಬುದು Xನ ಶೂನ್ಯ-μ-ಅಳತೆಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ (ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಈಗಾಗಲೇ σನಲ್ಲಿಲ್ಲದ Zನ ಅಂಶಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಿಜವಾಗದಂತೆ ತಡೆಯುತ್ತವೆ); σ0 ಎಂಬುದು σ ಮತ್ತು Zನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ (ಅಂದರೆ. ಚಿಕ್ಕದಾದ σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು σ ಮತ್ತು Z ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; μ, μ0 ರಿಂದ σ0 ವರೆಗಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇದು σ-ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅನಂತ ಅಳತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು A ω ಮತ್ತು ಕೆಲವು B ω Z ಗೆ β ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರೂ A ωB ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವಿಕ ರೇಖೆಯ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬೋರೆಲ್ σ-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ರಿಯಾಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ರಿಯಾಲ್ಗಳಂತೆಯೇ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೂ, ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ರಿಯಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಜಾಗದ ಎನ್-ಪಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಮಹಾರಾಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳವು ನಿರಂತರತೆಯ ಮೇಲೆ ಅಳತೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕ್ರಮಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ (ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ)