Stochastic process
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ () ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಸಮಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ಕಂಡುಬರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ಉಷ್ಣದ ಶಬ್ದದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರವಾಹದ ಏರಿಳಿತ ಅಥವಾ ಅನಿಲ ಅಣುವಿನ ಚಲನೆ ಸೇರಿವೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ, ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ, ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನ, ನರವಿಜ್ಞಾನ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆ, ಸಂಕೇತ ಸಂಸ್ಕರಣೆ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ದೂರಸಂಪರ್ಕಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹಣಕಾಸು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿವೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದೆ. ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಿಸ್ ಬೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬೆಲೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಲೂಯಿಸ್ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ ಬಳಸಿದ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಫೋನ್ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಎ. ಕೆ. ಎರ್ಲಾಂಗ್ ಬಳಸಿದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸೇರಿವೆ. ಈ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ ಮತ್ತು ಎರ್ಲಾಂಗ್ಗಳ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ, ವಿವಿಧ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಪದೇ ಪದೇ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶವೆಂದು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡುವ ಗುಂಪಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಿದಾಗ ಈ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ಅಥವಾ ಇತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಅವುಗಳ ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳು, ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳು, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು, ನವೀಕರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕವಲೊಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಶಾಖೆಗಳಾದ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ. ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲು ಬಳಸುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿತ್ತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗೆ ಸಮಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅದೇ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ನೈಜ ರೇಖೆ ಅಥವಾ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು. ಏರಿಕೆಯು ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬದಲಾಗುವ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅದರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯಿಂದಾಗಿ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಇತರ ಹೆಸರುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳ, ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ. ವರ್ಗೀಕರಣದ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಮತ್ತು ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಯವನ್ನು ನಿರಂತರ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿರುವ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು. ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನೈಜ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಳವು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ-ವಾಹಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪದವನ್ನು ಮೂಲತಃ "ಊಹೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ವಿಶೇಷಣವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಮತ್ತು ಇದು "ಗುರುತು, ಊಹೆಯನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಸುವುದು" ಎಂಬ ಗ್ರೀಕ್ ಪದದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ನಿಘಂಟಿನಲ್ಲಿ 1662ನೇ ವರ್ಷವನ್ನು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಘಟನೆಯಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ 1713ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರ್ಸ್ ಕಾಂಜೆಕ್ಟಾಂಡಿ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲಿ "ಆರ್ಸ್ ಕಾಂಜೆಕ್ಟಾಂಡಿ ಸಿವ್ ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಸ್" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಇದನ್ನು "ಊಹಿಸುವ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಲೆ" ಎಂದು ಅನುವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ, ಲಾಡಿಸ್ಲಾಸ್ ಬೊರ್ಟ್ಕೀವಿಕ್ಜ್ ಅವರು 1917 ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬರೆದರು. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂಬ ಪದವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ 1934ರಲ್ಲಿ ಜೋಸೆಫ್ ಡೂಬ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಪದ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ, ಡೂಬ್ 1934 ರ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲು ಬಳಸಿದ್ದರೂ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1931 ರಲ್ಲಿ ಆಂಡ್ರೇ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಖಿಂಚಿನ್ ಅವರು ಸ್ಟೋಕಾಸ್ಟಿಷರ್ ಪ್ರೊಜೆಬ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ನಿಘಂಟಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಅವಕಾಶ ಅಥವಾ ಅದೃಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಸ್ತುತ ಅರ್ಥದೊಂದಿಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪದದ ಆರಂಭಿಕ ಘಟನೆಗಳು 16ನೇ ಶತಮಾನಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲು ದಾಖಲಿಸಲಾದ ಬಳಕೆಗಳು 14ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ "ಪ್ರಚೋದನೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗ, ಬಲ ಅಥವಾ ಹಿಂಸೆ (ಸವಾರಿ, ಓಟ, ಹೊಡೆಯುವುದು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ)" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವ ನಾಮಪದವಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು. ಈ ಪದವು "ವೇಗ, ಆತುರ" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವ ಮಧ್ಯ ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬಹುಶಃ "ಓಡುವುದು" ಅಥವಾ "ಜಿಗಿತ ಮಾಡುವುದು" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವ ಫ್ರೆಂಚ್ ಕ್ರಿಯಾಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ಮೊದಲ ಲಿಖಿತ ನೋಟವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪೂರ್ವ-ದಿನಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ನಿಘಂಟು ಸಹ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 1888 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಎಡ್ಜ್ವರ್ತ್ ಅವರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಕಲೆಕ್ಷನ್" ಅಥವಾ "ಫ್ಯಾಮಿಲಿ" ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್" ಬದಲಿಗೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಸೆಟ್" ಅಥವಾ "ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್" ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳು ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಮಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತಹ ಇತರ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲಕ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಅಥವಾ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಸಂಕೇತದ ದುರುಪಯೋಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಳವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ (ಐ. ಐ. ಡಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ತಿರುಗಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ತಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಾಲದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಐ. ಐ. ಡಿ. ಬರ್ನೌಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯ ತಿರುವು ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಐ. ಐ. ಡಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಕೆಲವರು ಈ ಪದವನ್ನು ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ವಲ್ಪ ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಟೀಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಇತರ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಇತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳು, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸರಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬರ್ನೌಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸರಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಹೇಳಿ, ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಏರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏರಿಕೆಗಳ ಗಾತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಅದರ ಗಣಿತದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ನಾರ್ಬರ್ಟ್ ವೀನರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ದ್ರವಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಅದರ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದಾಗಿ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುವ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಇತರ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಿರಂತರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಏರಿಕೆಯ ಸರಾಸರಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವೀನರ್ ಅಥವಾ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಶೂನ್ಯ ಚಲನೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಏರಿಕೆಯ ಸರಾಸರಿ ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಚಲನೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ, ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಮಾರ್ಗವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಭೇದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಸರಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯ ನಿರಂತರ ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳು, ಇದು ಡಾನ್ಸ್ಕರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ತತ್ವದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ ಸದಸ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮುಖ್ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್-ಮೆರ್ಟನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಹುಪಾಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಕೆಲವು ಶಾಖೆಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕೆಲವು ಸಮಯದವರೆಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಆ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಎಣಿಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗಗಳ ಸದಸ್ಯವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ನೈಜ ರೇಖೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದ ಕಿಟಕಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಘಟನೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನಂತರ ಇದನ್ನು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಇತರ ಗಣಿತದ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಗತ್ಯವಾದಷ್ಟು ಗಮನವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ಭಾಗಶಃ ಇದು ಕೇವಲ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವು-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಕೆಲವು ಸೆಟ್ನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವು-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಮಯದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದು-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಪೇಸ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಕಾರ್ಯ-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣ" ಎಂಬ ಈ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಸೆಟ್ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರ, ಇದು ಸೆಟ್ಗೆ ಸಮಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸೆಟ್ಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅಥವಾ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಗಣಿತದ ಜಾಗವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗಣಿತದ ಜಾಗವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ನೈಜ ರೇಖೆಗಳು,-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಥಿತಿ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕೈಕ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಹಂತಕ್ಕೆ, ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯ, ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರ, ಅಥವಾ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಮಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಮಾರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸ್ಥಿರಕ್ಕೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಸ್ಥಿತಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಇತರ ಹೆಸರುಗಳು ಪಥ, ಪಥ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಸಮಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಏರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಇಂಡೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಏರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವು ನೈಜ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಮುಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕಾನೂನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಚಿತ್ರದ ಅಳತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ, ಚಿಹ್ನೆಯು ಕಾರ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದ ಪೂರ್ವ-ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ,-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಎಲ್ಲ ಸಂಭವನೀಯ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಪೂರ್ವ-ಚಿತ್ರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ a ಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ನಿಯಮ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ಕಾನೂನಿನೊಂದಿಗಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಅದರ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಅಳತೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಕಾಯಿದೆಯ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ ಕಾನೂನಿನ "ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ" ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. - ಪಟ್ಟು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಶಕ್ತಿಯ ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳು ಸ್ಥಿರತೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ಗಣಿತದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ವಿತರಿಸಿದಾಗ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ನೈಜ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಮಯ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಮಯದ ಅನುವಾದಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಏರಿಳಿತಗಳನ್ನು ಅನುಭವಿಸುವ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಥಿರತೆಯ ಹಿಂದಿನ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯೆಂದರೆ, ಸಮಯ ಕಳೆದಂತೆ ಸ್ಥಿರ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಾಯಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸ್ಥಿರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಇತರ ರೂಪಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಎಂದು ಹೇಳಿದಾಗ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೀಮಿತವಾದ ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಪಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಖಿಂಚಿನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದು ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರತೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಶೋಧನೆ ಎಂದರೆ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಿಗ್ಮಾ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶೋಧನೆ, ಸಿಗ್ಮಾ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶೋಧನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಶೋಧನೆಯ ಹಿಂದಿನ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯೆಂದರೆ, ಸಮಯ ಕಳೆದಂತೆ, ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಮಾಹಿತಿಯು ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಲಭ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಶೋಧನೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ವಿಭಾಗಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಮಾರ್ಪಾಡು-ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಮೂಲ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ ಅದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್, ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಹಿಡಿತಗಳಿಗೆ ಇಫ್ ನ ಮಾರ್ಪಾಡು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಾಗಿರುವ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸಮಾನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಪಾಡು ಮಾಡುವ ಬದಲು, ಆವೃತ್ತಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಆವೃತ್ತಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಾಗಿರುವ ಎರಡು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಹ ನಂತರದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರರ ಆವೃತ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಲ್ಲ. ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಕ್ಷಣದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾರ್ಪಾಡು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ಮಾದರಿ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿರಂತರ ಮಾರ್ಪಾಡು ಅಥವಾ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸೆಟ್-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದಂತಾಗಲು, ಇತರ ಷರತ್ತುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾದ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾದ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯದ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗೆ, ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇತರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಹ ಹೇಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಜೋಸೆಫ್ ಡೂಬ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮಾಡುವುದು. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡೂಬ್ನ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಡೂಬ್ನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು, ಯಾವುದೇ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಪಾಡನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯುಗಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಹ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿವೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಸಂಬಂಧವು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಃ ಸ್ಕೋರೋಹೋಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದೂ ಬರೆಯಲಾಗುವ ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಎಡ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ-ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅಥವಾ ನಂತಹ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದಗುಚ್ಛವಾದ ಕಂಟಿನ್ಯೂ ಎ ಡ್ರೋಯಿಟ್, ಲಿಮಿಟ್ ಎ ಗೌಚೆ ನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅನಾಟೊಲಿ ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಫಂಕ್ಷನ್ ಜಾಗದ ಸಂಕೇತವು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಜಾಗವು ವಿರಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಜಿಗಿತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ), ಸಹ ಈ ಜಾಗದ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯ ನಿರ್ಮಾಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಊಹಿಸುವಾಗ ನಿಯಮಿತತೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವಂತಹ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸರಪಳಿಗಳ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯು ಹಿಂದಿನ ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು (ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ) ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಜೂಜುಕೋರನ ವಿನಾಶದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ (ಹೀಗಾಗಿ ಸಮಯದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ). ಜೋಸೆಫ್ ಡೂಬ್ ಮತ್ತು ಕೈ ಲೈ ಚುಂಗ್ ಅವರಂತಹ ಸಂಶೋಧಕರು ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಯ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಈಗ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೂಲತಃ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಂತಹ ಇತರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಎನ್ನುವುದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲೂ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಭವಿಷ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಭವಿಷ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ನ ನಿಖರವಾದ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಶೋಧನೆಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಇತರ ಷರತ್ತುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಮಯ ಕಳೆದಂತೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಮತ್ತು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು (ಶೂನ್ಯ ಹರಿವಿನೊಂದಿಗೆ) ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಸತತ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದಲೂ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಇದು ಏಕರೂಪದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ (ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ) ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಅನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಿದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳನ್ನು ಇತರ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿಂದಲೂ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್-ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿವೆ, ಇದು ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಆಟದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲತಃ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಆಟವನ್ನು ಗೆಲ್ಲಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಆದರೆ ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮುಖ್ಯ ಕಾರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳು ತಮ್ಮ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ತೀರ್ಮಾನದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿರಬಹುದು ಅಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರು ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಪಾಮ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಮುಂತಾದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಧಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹಣಕಾಸು, ದ್ರವ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಏರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಏರಿಕೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳದಂತಹ ಕೆಲವು ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸಮಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಏಕರೂಪದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಅಧೀನಗಳಂತಹ ಪ್ರಮುಖ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸಂಪ್ರದಾಯವಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನೈಜ ರೇಖೆ,-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಥಳಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂಬ ಪದಕ್ಕೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಪದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮಯದ ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ, ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸೆಟ್. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇತರ ಲೇಖಕರು ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆ ಅಥವಾ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳದಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನವೀಕರಣ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ ಇತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತನ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ಅವಕಾಶದ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕೆಲವು ಆಟಗಳನ್ನು ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಆಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಪಿಯರೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಅವರು ಜೂಜಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಲಿಖಿತ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನಡೆಸಿದಾಗ 1654ನೇ ವರ್ಷವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹುಟ್ಟು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಜೂಜಾಟದ ಆಟಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ 16ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆದ, ಆದರೆ ಮರಣೋತ್ತರವಾಗಿ 1663ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಗೆರೋಲಾಮೋ ಕಾರ್ಡಾನೊ ಬರೆದ ಲಿಬರ್ ಡಿ ಲುಡೋ ಅಲಿಯಂತಹ ಗಣಿತದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು. ಕಾರ್ಡಾನೊ ನಂತರ, ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲಿ ಅವರು ಆರ್ಸ್ ಕಾಂಜೆಕ್ಟಾಂಡಿಯನ್ನು ಬರೆದರು, ಇದನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ ಘಟನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬರ್ನೌಲಿಯವರ ಪುಸ್ತಕವು ಮರಣೋತ್ತರವಾಗಿ 1713ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು. ಆದರೆ ಪಿಯರೆ-ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್, ಅಬ್ರಹಾಂ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ, ಕಾರ್ಲ್ ಗಾಸ್, ಸಿಮಿಯೋನ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಪಾಫ್ನ್ಯೂಟಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರಂತಹ ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದರೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದ ಸಮುದಾಯವು 20ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಿಲ್ಲ. ಭೌತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅನಿಲಗಳಿಂದ ತುಂಬಿದ ಧಾರಕಗಳಂತಹ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಚಲಿಸುವ ಕಣಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳೆಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ರುಡಾಲ್ಫ್ ಕ್ಲೌಸಿಯಸ್ನಂತಹ ಕೆಲವು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೃತಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ. 1859 ರಲ್ಲಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಕ್ಲರ್ಕ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಅವರು ಅನಿಲ ಕಣಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇಗಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅನಿಲಗಳ ಚಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದಾಗ ಇದು ಬದಲಾಯಿತು. ಅನಿಲಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಲೌಸಿಯಸ್, ಲುಡ್ವಿಗ್ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಜೋಶಿಯಾ ಗಿಬ್ಸ್ ಅವರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು, ಇದು ನಂತರ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು. 1900 ರಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಿಸ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರ ಆರನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತದ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕೇಳಿತು. 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಸಂಸ್ಥಾಪಕರು ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಹೆನ್ರಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಮತ್ತು ಎಮಿಲ್ ಬೋರೆಲ್ ಆಗಿದ್ದರು. 1925ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪೌಲ್ ಲೆವಿ ಅವರು ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 1920ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸೋವಿಯತ್ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಖಿಂಚಿನ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೇ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು 1929ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 1930 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಖಿಂಚಿನ್ ಮತ್ತು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿಚಾರಗೋಷ್ಠಿಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯುಜೀನ್ ಸ್ಲುಟ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ನಿಕೊಲಾಯ್ ಸ್ಮಿರ್ನೋವ್ ಅವರಂತಹ ಸಂಶೋಧಕರು ಭಾಗವಹಿಸಿದ್ದರು, ಮತ್ತು ಖಿಂಚಿನ್ ಅವರು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ನೀಡಿದರು. 1933 ರಲ್ಲಿ ಆಂಡ್ರೇ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರುಂಡ್ಬೆಗ್ರಿಫ್ ಡೆರ್ ವಹ್ರ್ಷೀನ್ಲಿಚ್ಕೀಟ್ಸ್ರೆಚ್ನಂಗ್ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಈ ಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಟಣೆಯನ್ನು ಈಗ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಆಧುನಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹುಟ್ಟು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭಾಗಗಳಾದವು. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ನಂತರ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೂಲಭೂತ ಕೆಲಸವನ್ನು ಖಿಂಚಿನ್ ಮತ್ತು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಜೋಸೆಫ್ ಡೂಬ್, ವಿಲಿಯಂ ಫೆಲ್ಲರ್, ಮಾರಿಸ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್, ಪಾಲ್ ಲೆವಿ, ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಡೋಬ್ಲಿನ್ ಮತ್ತು ಹರಾಲ್ಡ್ ಕ್ರಾಮರ್ ಮಾಡಿದರು. ದಶಕಗಳ ನಂತರ ಕ್ರಾಮರ್ 1930ರ ದಶಕವನ್ನು "ಗಣಿತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವೀರೋಚಿತ ಅವಧಿ" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದರು. ಎರಡನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಿತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ವೀಡನ್ನಿಂದ ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾಕ್ಕೆ ಫೆಲ್ಲರ್ನ ವಲಸೆ ಮತ್ತು ಡೊಬ್ಲಿನ್ ಅವರ ಸಾವು, ಈಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರವರ್ತಕರೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧದ ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಿತು, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸೃಷ್ಟಿಯೂ ಆಯಿತು. 1940ರ ದಶಕದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಕಿಯೋಸಿ ಇಟೋ, ವೀನರ್ ಅಥವಾ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 1940ರ ದಶಕದಿಂದಲೂ, ಶಿಝುವೊ ಕಕುಟಾನಿ ಅವರ ಆರಂಭಿಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಜೋಸೆಫ್ ಡೂಬ್ ಅವರ ಕೆಲಸದೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಲಾಯಿತು. 1950 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಹಂಟ್ ಅವರು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮುಂದಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ಇದು ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಿತು ಮತ್ತು ಇಟೋ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿತು. 1953 ರಲ್ಲಿ ಡೂಬ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರಿತು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಿತು. ಡೂಬ್ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ನಂತರ ಪಾಲ್-ಆಂಡ್ರೆ ಮೆಯೆರ್ ಅವರ ಗಣನೀಯ ಕೊಡುಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್, ಪಾಲ್ ಲೆವಿ ಮತ್ತು ಜೀನ್ ವಿಲ್ಲೆ ಅವರು ನಡೆಸಿದ್ದರು, ನಂತರದವರು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ವಿವಿಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳು ಜನಪ್ರಿಯವಾದವು. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಯಿತು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡಲು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು, ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ 1930 ರ ದಶಕದ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ 1960 ಮತ್ತು 1970 ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಸೋವಿಯತ್ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ವೆಂಟ್ಜೆಲ್ ಮತ್ತು ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಅಮೆರಿಕಾದಲ್ಲಿ ಮನ್ರೋ ಡಿ. ಡಾನ್ಸ್ಕರ್ ಮತ್ತು ಶ್ರೀನಿವಾಸ ವರಧನ್ ಅವರು ಮೂಲಭೂತ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ಇದು ನಂತರ 2007 ರ ಅಬೆಲ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಗೆದ್ದುಕೊಂಡಿತು. 1990 ಮತ್ತು 2000 ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಶ್ರಾಮ್-ಲೋವೆನರ್ ವಿಕಾಸ ಮತ್ತು ಒರಟಾದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ 2008 ರಲ್ಲಿ ವೆಂಡಲಿನ್ ವರ್ನರ್ ಮತ್ತು 2014 ರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿನ್ ಹೈಯರ್ ಅವರಿಗೆ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇನ್ನೂ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ವಾರ್ಷಿಕ ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಮ್ಮೇಳನಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳು 1930 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಖಿಂಚಿನ್ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದರೂ, ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಂತಹ ವಿವಿಧ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅಥವಾ ನವೀಕರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಕುಟುಂಬಗಳು ಶತಮಾನಗಳ ಹಿಂದಿನ ಸುದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಇತಿಹಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪಕ್ಷಪಾತದ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದಾದ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬಹುಶಃ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಮೊದಲ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ವತಂತ್ರ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳಿಗೆ ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲಿ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಅವರು ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ ಅವರು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅವಕಾಶದ ಆಟಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಬರ್ನೌಲಿಯವರ ಕೃತಿಗಳು 1713ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ ಆರ್ಸ್ ಕಾಂಜೆಕ್ಟಾಂಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದವು. 1905 ರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಲ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡುವಾಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು, ಇದು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು, ಆದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಶತಮಾನಗಳ ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಕೆಲವು ಜೂಜಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜೂಜುಕೋರನ ಅವಶೇಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸರಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಡೆತಡೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್, ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯೂಯೆನ್ಸ್ ಎಲ್ಲರೂ ತಮ್ಮ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸದೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲಿ ಮತ್ತು ಅಬ್ರಹಾಂ ಡಿ ಮೊಯಿವ್ರೆ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. - ಆಯಾಮದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜಾಲರಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಜಾರ್ಜ್ ಪೋಲ್ಯಾ ಅವರು 1919 ಮತ್ತು 1921 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರಳುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮುನ್ನಡೆಯಲು ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯು, ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಂದು ಪೋಲ್ಯಾ ತೋರಿಸಿದರು. ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 1880 ರಲ್ಲಿ, ಡ್ಯಾನಿಶ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಥೋರ್ವಾಲ್ಡ್ ಥೀಲೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಬರೆದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಮಯ-ಸರಣಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯ ದೋಷಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಈ ಕೃತಿಯನ್ನು ಈಗ ಕಲ್ಮನ್ ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭಿಕ ಆವಿಷ್ಕಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಕೃತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಡೆಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಥಿಯೆಲೆ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿನ ವಿಚಾರಗಳು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿಶಾಲವಾದ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮುದಾಯದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದಷ್ಟು ಮುಂದುವರಿದವು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲೂಯಿಸ್ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ ತನ್ನ 1900 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಥಿಯೆಲೆ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ತಿಳಿಯದೆ, ಸ್ಟಾಕ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ ಪ್ಯಾರಿಸ್ ಬೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬೆಲೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ ಜೂಲ್ಸ್ ರೆಗ್ನಾಲ್ಟ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಮಾದರಿಯ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ ಅವನನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಈಗ ಹಣಕಾಸು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರವರ್ತಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ನ ಕೃತಿಯು ಕಡಿಮೆ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಿತು ಮತ್ತು 1950ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಸ್ಯಾವೇಜ್ ಅದನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸುವವರೆಗೂ ದಶಕಗಳವರೆಗೆ ಮರೆತುಹೋಯಿತು ಮತ್ತು ನಂತರ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು 1964ರಲ್ಲಿ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದ ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾಯಿತು ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಈ ಕೃತಿಯನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಮರೆಯಲಾಗಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ 1912 ರಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದನು, ಇದನ್ನು ಡೂಬ್, ಫೆಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಲಾಯಿತು, ಆದರೆ ನಂತರ 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಅವರ ಪುಸ್ತಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. 1905 ರಲ್ಲಿ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರು ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಅನಿಲಗಳ ಚಲನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ರವಗಳಲ್ಲಿನ ಕಣಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಅಥವಾ ಚಲನೆಯ ಭೌತಿಕ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದರು, ಇದನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಳುವಳಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಮೊದಲ ಪ್ರಬಂಧದ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಮರಿಯನ್ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಕೃತಿಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಮಾನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಜೀನ್ ಪೆರ್ರಿನ್ ಪಡೆದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ನಂತರ 1920 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ನಾರ್ಬರ್ಟ್ ವೀನರ್ಗೆ ಪರ್ಸಿ ಡೇನಿಯಲ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಮತ್ತು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು. ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಿಮಿಯೋನ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಉಪಯೋಗಗಳು ಅಥವಾ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಹಕ್ಕುಗಳಿವೆ. 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸಿತು. 1903ರಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಡನ್ನಲ್ಲಿ, ಫಿಲಿಪ್ ಲುಂಡ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಪ್ರವರ್ತಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕೃತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಏಕರೂಪದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಮಾ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮತ್ತೊಂದು ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಡೆನ್ಮಾರ್ಕ್ನಲ್ಲಿ 1909ರಲ್ಲಿ ಏ. ಕೆ. ಸೀಮಿತ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಬರುವ ಫೋನ್ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಾಗ ಎರ್ಲಾಂಗ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆದರು. ಎರ್ಲಾಂಗ್ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ನ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಫೋನ್ ಕರೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದರು. ನಂತರ ಅವರು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮರುಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿದೆ. 1910ರಲ್ಲಿ ಅರ್ನೆಸ್ಟ್ ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾನ್ಸ್ ಗೈಗರ್ ಆಲ್ಫಾ ಕಣಗಳ ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತರಾದ ಹ್ಯಾರಿ ಬಾಟೆಮನ್ ಎಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಯಿತು. ಈ ಸಮಯದ ನಂತರ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅನೇಕ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ನಡೆದಿವೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಪರಿಸರಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಭೌತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಗೆ 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಆಂಡ್ರೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು. 1906ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಮೊದಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಯ ಸರಾಸರಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಮಾರ್ಕೊವ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದ್ದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಊಹೆಯಿಲ್ಲದೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದುರ್ಬಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮಾರ್ಕೊವ್ ನಂತರ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಪುಷ್ಕಿನ್ ಬರೆದ ಯುಜೀನ್ ಒನೆಗಿನ್ ನಲ್ಲಿ ಸ್ವರಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸರಪಳಿಗಳಿಗೆ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1912 ರಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವರು ಕಾರ್ಡ್ ಷಫ್ಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಉದ್ದೇಶದಿಂದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಇತರ ಆರಂಭಿಕ ಬಳಕೆಗಳು 1907ರಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಮತ್ತು ಟಟಿಯಾನಾ ಎಹ್ರೆನ್ಫೆಸ್ಟ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪ್ರಸರಣ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕೋವ್ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ 1873ರಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಗಾಲ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಹೆನ್ರಿ ವಿಲಿಯಂ ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕವಲೊಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಗಾಲ್ಟನ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ನಂತರ, ಅವರ ಕವಲೊಡೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸುಮಾರು ಮೂರು ದಶಕಗಳ ಹಿಂದೆ ಐರೆನೀ-ಜೂಲ್ಸ್ ಬಿನೈಮೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಂತರ ಬಹಿರಂಗವಾಯಿತು. 1928ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಮಾರಿಸ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅವರು 1938ರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಆಂಡ್ರೇ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ 1931ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಭಾಗಶಃ ಲೂಯಿಸ್ ಬ್ಯಾಚೆಲಿಯರ್ನ 1900 ರ ಸ್ಟಾಕ್ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳ ಕುರಿತಾದ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನಾರ್ಬರ್ಟ್ ವೀನರ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದ್ದಾನೆ. ಅವರು ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪಡೆದರು. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಸಿಡ್ನಿ ಚಾಪ್ಮನ್ 1928ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಈಗ ಚಾಪ್ಮನ್-ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಠಿಣ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದರು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈಗ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್-ಚಾಪ್ಮನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ 1930 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ವಿಲಿಯಂ ಫೆಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ನಂತರ 1950 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಯುಜೀನ್ ಡೈನ್ಕಿನ್ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾದ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ (ನೈಜ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ) 1930ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಪೌಲ್ ಲೆವಿ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು 1920ರ ದಶಕದಿಂದ ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಾದ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. 1932ರ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಂತರ 1934 ರಲ್ಲಿ ಲೆವಿಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ನಂತರ 1937 ರಲ್ಲಿ ಖಿಂಚಿನ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಲೆವಿ, ಖಿಂಚಿನ್ ಮತ್ತು ಕೊಲೊಮೊಗ್ರೊವ್ ಜೊತೆಗೆ, ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಮೂಲಭೂತ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಬ್ರೂನೋ ಡಿ ಫಿನೆಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಕಿಯೋಸಿ ಇಟೊ ಅವರು ನೀಡಿದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ರಚನೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೂ ಸಹ, ಅವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಿಂದ ಈ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಳತೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದಾಗಿ ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ತೊಂದರೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಡ-ನಿರಂತರ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲ-ನಿರಂತರ ಮಾರ್ಪಾಡು ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೇರಿವೆಃ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು, ವಿಭಿನ್ನ ಊಹೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಜೋಸೆಫ್ ಡೂಬ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರ್ಮಾಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದು. ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ವಿತರಣೆಗಳು ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ದಟ್ಟವಾದ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಗುಂಪಿನ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೂಲತಃ ಅನಾಟೊಲಿ ಸ್ಕೊರೊಖೋಡ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೇ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು, ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೆಲವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಡ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಬಲ-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಈಗ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಊಹೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅಂತಹ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಬಳಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೋರೋಖೋಡ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಈಗ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಂತಹ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಲೇಖನಗಳು ಪುಸ್ತಕಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರಗಳು