Law of total cumulance
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ನಿಯಮವು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಿಯಮ, ಒಟ್ಟು ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಡೇವಿಡ್ ಬ್ರಿಲ್ಲಿಂಗರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಕೇವಲ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದ ಕ್ಯುಮುಲೇನ್ಟ್ಗಳಿಗಿಂತ, ಜಂಟಿ ಕ್ಯುಮುಲೇನ್ಟ್ಗಳಿಗೆ ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಾಗ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ κ (X1,., Xn) ಎಂಬುದು n ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ X1,., Xn ನ ಜಂಟಿ ಸಂಚಯಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ {1,., n} ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು "B" ಎಂದರೆ ವಿಭಜನೆಯ "ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ" ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು κ (xi: i bul B | Y) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Y ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಚಯಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತನ್ನದೇ ಆದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Y ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಮತ್ತು n = 2 ಅಥವಾ 3 ಮಾತ್ರ n = 2 ಅಥವಾ 3 ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n ನೇ ಸಂಚಯನವು n ನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. n = 2 ಪ್ರಕರಣವು ಸುಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ (ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ನೋಡಿ). ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣವು n = 3 ಆಗಿದೆ. ಸಂಕೇತ μ3 ಎಂದರೆ ಮೂರನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ ಎಂದರ್ಥ. ಸಾಮಾನ್ಯ 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಜಂಟಿ ಸಂಚಯಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಚಯಕಗಳಿಗೆ, ನಿಯಮವು 15 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸಂಯುಕ್ತ ಪಾಯ್ಸನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಚಯಕಗಳು Y ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ λ ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು X ಎಂಬುದು ಪರಸ್ಪರ ಮತ್ತು Y ಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ W ನ Y ಪ್ರತಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಚಯಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ λ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ W1,., Wm ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, n ನೇ ಸಂಚಯಕವು ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿಃ ನಾವು X ನ 4 ನೇ ಸಂಚಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಬಳಿಃ ನಾವು ಕೊನೆಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೆಟ್ {1,2,3,4} ನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬ್ಲಾಕ್ನ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕ್ರಮದ W ನ ಕ್ಯುಮುಲೇನ್ಟ್ಗಳು. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನ 4 ನೇ ಕಚ್ಚಾ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲು ಕ್ಯುಮುಲಂಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ X ನ ಸಂಚಯಕಗಳು W ಅನ್ನು λ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದ ಅನುಕ್ರಮವೂ ಸಹ ಒಂದು ಸಂಚಯೀ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ (ವಿಲೋಮವು ನಿಜವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮ ಕ್ರಮಾಂಕದ 4 ರ ಸಂಚಯೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಚಯೀಕರಣದ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ಷಣದ ಅನುಕ್ರಮವಲ್ಲ). ಒಂದು ಬರ್ನೌಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತು ವಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಯೊಂದಿಗೆ Y = 1 ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ q = 1-p ಯೊಂದಿಗೆ Y = 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಮೀನ್ಸ್ ಸೆಟ್ {1,., n} ನ ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಒರಟಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ-ಮೊತ್ತವು ಅದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n = 3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.