Monotonic function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು (ಅಥವಾ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯ) ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಥವಾ ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೊದಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಪ್ರಕಾರ. 1, ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಾರದು. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು (ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗದಿರುವುದು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗ, ಆಗ, ಅದು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ). ಏಕತಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಬಲವಾದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು (ಸಹ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, ಆರ್ಡರ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು (ಸಹ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು) ಎಂಬ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಏಕೆಂದರೆ, ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ, ಅಥವಾ, ಹೀಗೆ, ಎರಡಕ್ಕೂ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೂ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.) ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ದುರ್ಬಲ ಏಕಸ್ವರ, ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವುದು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಲ್ಲದ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರುವುದು" ಮತ್ತು "ಹೆಚ್ಚಾಗದಿರುವುದು" ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು (ಹೆಚ್ಚು ದುರ್ಬಲವಾದ) ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಅರ್ಹತೆಗಳಾದ "ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರುವುದು" ಮತ್ತು "ಹೆಚ್ಚಾಗದಿರುವುದು" ಎಂಬ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 3ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವು ಮೊದಲು ಬೀಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಏರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮತ್ತೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಎಲ್ಲಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ತಮ್ಮ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ತಮ್ಮ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದುರ್ಬಲವಾದ ಏಕಸ್ವರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಲ್ಲ). ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿದಾಗ ಎಲ್ಲಾ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಒಂದು ಮೂಲವು ಹೇಳಬಹುದು. ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ರೂಪಾಂತರ (ಅಥವಾ ಮೊನೊಟೋನ್ ರೂಪಾಂತರ) ಎಂಬ ಪದವು ಗೊಂದಲವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕತಾನತೆಯ ರೂಪಾಂತರದಾದ್ಯಂತ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಏಕತಾನತೆಯ ಆದ್ಯತೆಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ರೂಪಾಂತರ" ಎಂಬ ಪದವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು "ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ರೂಪಾಂತರ" ದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜವಾಗಿವೆಃ ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಬಲದಿಂದ ಮತ್ತು ಎಡದಿಂದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅನಂತದಲ್ಲಿ () ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ. ಜಂಪ್ ಡಿಸ್ಕಂಟೀನ್ಯೂಟಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಬಹುದು; ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ಡಿಸ್ಕಂಟೀನ್ಯೂಟಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿರಾಮಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ದಟ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದಾದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಗಣನೆಗೆ, ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (cf. ಚಿತ್ರ). ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರ ತೂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ತಾಂತ್ರಿಕ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗಿವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಒಂದು ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸಲಾಗದಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಸುಧಾರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ರೀಮನ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೆಲವು ಹಂತದವರೆಗೆ (ಕ್ರಮ) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಾ ನಂತರ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಅದು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗ, ನಂತರ ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಫಾರ್ಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಆರು ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಸರಳ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು y-ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫೈಬರ್ಗಳು ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೂ (ಬಹುಶಃ ಖಾಲಿ) ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೊನೊಟೋನ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಇನ್ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ ಮೊನೊಟೋನ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಮೊನೊಟೋನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಗರಿಷ್ಠ ಮೊನೊಟೋನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಮೊನೊಟೋನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ-ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕತಾನತೆಯ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲೂ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, "ಹೆಚ್ಚುವುದು" ಮತ್ತು "ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು" ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಒಟ್ಟು ಇಲ್ಲದ ಆದೇಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಒಟ್ಟು-ಅಲ್ಲದ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಲೆಟಿಂಗ್ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಐಸೊಟೋನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯ, ಅಥವಾ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮೊನೊಟೋನ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಹ ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಂಟಿಟೋನ್, ಆಂಟಿ-ಮೊನೊಟೋನ್ ಅಥವಾ ಆರ್ಡರ್-ರಿವರ್ಸಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಂಟಿಟೋನ್ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಮೊನೊಟೋನ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಟೋನ್ ಎರಡೂ; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮೊನೊಟೋನ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಟೋನ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಡೊಮೇನ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು. ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿವೆ. ಅವು ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಅನ್ವಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ವಿಶೇಷ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದರೆ ಆರ್ಡರ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು (ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಇವುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಿ (ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆರ್ಡರ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು). ಸರ್ಚ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರ್ಚ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿಯು (ಸ್ಥಿರತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನೋಡ್ಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಗೆ, ಗುರಿಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಅಂದಾಜು ವೆಚ್ಚವು ತಲುಪುವ ಹಂತದ ವೆಚ್ಚಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗುರಿಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಅಂದಾಜು ವೆಚ್ಚಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತು ಗುರಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕತಾನತೆಯ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಸಹ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಏಕತಾನತೆಯು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆಗಿಂತ ಕಠಿಣವಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ. ಅವರು ಬಳಸುವ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದ್ದರೆ ಎ * ನಂತಹ ಕೆಲವು ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ, ವೇಳೆ,.., (ಅಂದರೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಮನ್ವಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಂತರ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇನ್ಪುಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ, ಇನ್ಪುಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಫಾಲ್ಸ್ನಿಂದ ಟ್ರೂಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಫಾಲ್ಸ್ನಿಂದ ಟ್ರೂಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಟ್ರೂನಿಂದ ಫಾಲ್ಸ್ಗೆ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ-ಆರಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವು ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ-ಕ್ಯೂಬ್ ಆಗಿ ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸತ್ಯದಿಂದ ಸುಳ್ಳುಗೆ ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. (ಈ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕಾರ್ಯದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಬೂಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇನ್ಪುಟ್ಗಳನ್ನು (ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು) ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದವು ಮತ್ತು ಅಥವಾ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು,, ಹೋಲ್ಡ್" ಎಂಬುದು,, ನ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ (ಮತ್ತು) ಅಥವಾ (ಮತ್ತು) ಅಥವಾ (ಮತ್ತು) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊನೊಟೋನ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಸ್ಯೂಡೋ-ಮೊನೊಟೋನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸ್ಪಿಯರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕ-ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿಯ ಅಳತೆ ಒಟ್ಟು ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿ ಸೈಕ್ಲಿಕಲ್ ಮೊನೊಟೋನಿಸಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯ ಮೊನೊಟೋನ್ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 9.31) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅನಿಕ್ ದೇಬ್ನಾಥ್ ಮತ್ತು ಥಾಮಸ್ ರಾಕ್ಸ್ಲೋ (ದಿ ಹಾರ್ಕರ್ ಸ್ಕೂಲ್) ಅವರ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖ, ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳ ಯೋಜನೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವಾಸ್ತವಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಧಗಳು