Linear congruential generator
ಲೀನಿಯರ್ ಕಾನ್ಗ್ರುಯೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜನರೇಟರ್ (ಎಲ್ಸಿಜಿ) ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ನಿರಂತರವಾದ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾದ ಹುಸಿ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಹಿಂದಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹಾರ್ಡ್ವೇರ್ನಲ್ಲಿ ಶೇಖರಣಾ-ಬಿಟ್ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸೂಡೋ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು-"ಮಾಡ್ಯುಲಸ್"-"ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್"-"ಇಂಕ್ರಿಮೆಂಟ್"-"ಸೀಡ್" ಅಥವಾ "ಸ್ಟಾರ್ಟ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ" ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಸಿ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಕಾನ್ಗ್ರುಯೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜನರೇಟರ್ (ಎಂಸಿಜಿ) ಅಥವಾ ಲೆಹ್ಮರ್ ಆರ್ಎನ್ಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. c ಷ್ಣ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಏಕರೂಪದ ಉತ್ಪಾದಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿ §0 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ರೇಖೀಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾದ ಹೆಸರು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿದೆ. ಲೆಹ್ಮರ್ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು 1951ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು 1958ರಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಇ. ಥಾಮ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಎ. ರೊಟೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಅವಧಿಯ ಉದ್ದ ಎಲ್. ಸಿ. ಜಿ. ಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸೂಕ್ತ ಆಯ್ಕೆಯು ತಿಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವಾದ ಅವಧಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಮಾನದಂಡವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯು ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ನಲ್ಲಿನ ಮಾರಣಾಂತಿಕ ನ್ಯೂನತೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಗಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಬಲ್ಲ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಔಟ್ಪುಟ್ನ ಗುಣಮಟ್ಟವು m ಮತ್ತು a ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a = 1 ಮತ್ತು c = 1 ಸರಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ-m ಕೌಂಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ದೀರ್ಘ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಕಳಪೆ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳ ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರಾಂಡು, ಇದು 1970 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು ಮತ್ತು ಈ ಕಳಪೆ ಎಲ್ಸಿಜಿಯ ಬಳಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪ್ರಶ್ನಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ನಿಯತಾಂಕ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆಃ m ಅವಿಭಾಜ್ಯ, c = 0 ಇದು ಮೂಲ ಲೆಹ್ಮರ್ RNG ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಗುಣಕ a ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ m ನ ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅವಧಿಯು m−1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು 1 ಮತ್ತು m−1 ರ ನಡುವೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಪ್ರಧಾನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಒಂದು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಎರಡು-ಅಗಲದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಡಿತ ಹಂತದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 2ರ ಘಾತಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 239−1 ಮತ್ತು 261−1 ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿವೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡಿತ ಮಾಡ್ಯುಲೋ m = 2e−d ಅನ್ನು (ಆಕ್ಸ ಮಾಡ್ 2e) + d ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಫಲಿತಾಂಶವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು m ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವ್ಯವಕಲನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸಬೇಕು, ಆದರೆ ವ್ಯವಕಲನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ad/m ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದು d ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು-ಅಗಲದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗುಣಕವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಶ್ರಾಜ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಂಶ m = qa + r, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು. ನಂತರ x ಮಾಡ್ m = ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. x ಮಾಡ್ q <q ≤ m/a ನಿಂದ, ಮೊದಲ ಪದವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ am/a = m ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. a ಅನ್ನು r ≤ q (ಮತ್ತು ಹೀಗೆ r/q ≤ 1) ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಎರಡನೇ ಪದವು m ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆಃ r ≤ rx/q = x (r/q) ≤ x <m. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಂದೇ-ಅಗಲದ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು [1−m, m−1] ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೇ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ [0, m−1] ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಎರಡನೆಯ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ 1 ≤ x <m ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಟ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. 2ರ ಘಾತಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಾಣೆಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. m ಅನ್ನು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ m = 232 ಅಥವಾ m = 264, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಲ್ಸಿಜಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬೈನರಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನನುಕೂಲತೆಗಳಿವೆ. ಈ ರೂಪವು ಗರಿಷ್ಠ ಅವಧಿಯ m/4 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು a ಷ್ಣ 3 ಅಥವಾ a ಷ್ಣ 5 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ X0 ಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು Xನ ಕಡಿಮೆ ಮೂರು ಬಿಟ್ಗಳು ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೂಪವು ಕಾಲು ಭಾಗದಷ್ಟು ಗಾತ್ರದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಜನರೇಟರ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಪವರ್-ಆಫ್-ಟೂ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಕಡಿಮೆ ಬಿಟ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. X ನ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಿಟ್ ಎಂದಿಗೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (X ಯಾವಾಗಲೂ ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಬಿಟ್ಗಳು ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. (ಒಂದು ಷ್ಣ 5 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಿಟ್ 1 ಎಂದಿಗೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬಿಟ್ 2 ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಿಟ್ 2 ಎಂದಿಗೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬಿಟ್ 1 ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಿಟ್ 3 4 ರ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಬಿಟ್ 4 8 ರ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. X ನ ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಬಿಟ್ ಮಾತ್ರ ಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. c ≤ 0, ಸರಿಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ m ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆಃ ಮತ್ತು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ, 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಹಲ್-ಡೋಬೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪವನ್ನು ಯಾವುದೇ m ನೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಂತಹ ಅನೇಕ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ m ಗೆ ಮಾತ್ರ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನ ಪದದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. m ಒಂದು ಚದರ-ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ m) ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಹಳ ಕಳಪೆ PRNG ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ; m ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವನೀಯ ಪೂರ್ಣ-ಅವಧಿಯ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಲಭ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹಲ್-ಡೊಬೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಅವಧಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಉತ್ತಮ ಉತ್ಪಾದಕವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a-1 ಅನ್ನು m ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಭಾಗಿಸಲಾಗದಿರುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, m ಎಂಬುದು 2ರ ಘಾತವಾಗಿದ್ದರೆ, a-1 ಅನ್ನು 4ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೂ 8ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಾರದು, ಅಂದರೆ a ಷ್ಣ 5 (ಮಾಡ್ 8). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾನದಂಡಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸವಾಲಿನ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸಿ = 0 ಗೆ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಪವರ್-ಆಫ್-2 ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಕಡಿಮೆ ಕೆ ಬಿಟ್ಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 2 ಕೆ ಯೊಂದಿಗೆ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ 2 ಕೆ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ; ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಾರ್ಹ ಬಿಟ್ ಮಾತ್ರ ಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. r ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಯಸಿದರೆ, ಅದು X ಮಾಡ್ r ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿಸುತ್ತದೆ (X% r), ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಜನರೇಟರ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವವರೆಗೆ ಸಿ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಂವೇದನಾಶೀಲವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. m ಯು 2 ರ ಘಾತವಾಗಿದ್ದರೆ, c ಯು ಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು), ಆದ್ದರಿಂದ c = 1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿ ಯ ಇತರ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಿ = 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸರಣಿಯ ಸರಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, Y ಯು Y0 = 0 ಮತ್ತು Yn + 1 = aYn + 1 ಮಾಡ್ m ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರಣಿಯಾದ Xn + 1 = aXn + c ಮಾಡ್ m ಅನ್ನು Y ಯ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದೇ ಗುಣಕ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳಾದ X ಮತ್ತು Z ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಈ ಕೋಷ್ಟಕವು ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ಅನುಕರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲ; ಈ ಅನೇಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಕಳಪೆಯಾಗಿವೆ. ಉತ್ತಮ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಾವಾ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲೂ 48-ಬಿಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳ 32 ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಿಟ್ಗಳು ಕೆಳ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಿಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಈ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಲ್. ಸಿ. ಜಿ. ಗಳು ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದವುಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಮಾಡ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ; ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡ್ 2 ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದರಿಂದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸದೆ 0 ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಜನಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳು ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳು ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಕನಿಷ್ಠ ಮೆಮೊರಿ (ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲೋ-ಎಂ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 32 ಅಥವಾ 64 ಬಿಟ್ಗಳು) ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್. ಸಿ. ಜಿ. ಗಳು ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಾರದು; ಅಂತಹ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿಶಾಸ್ತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸುರಕ್ಷಿತವಾದ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ. ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಅನೇಕ ನ್ಯೂನತೆಗಳು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಣ್ಣ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಜನರು ಹಲವು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಸುಸ್ತಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ತಂತ್ರದ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಸಿಜಿ ಕಠಿಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಉತ್ತೀರ್ಣವಾಗಬಹುದು; ಹೆಚ್ಚಿನ 32 ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಮಾಡ್ಯುಲೋ-2 ಎಲ್ಸಿಜಿ ಟೆಸ್ಟ್ಯು01ನ ಸ್ಮಾಲ್ಕ್ರಷ್ ಸೂಟ್ ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 96-ಬಿಟ್ ಎಲ್ಸಿಜಿ ಅತ್ಯಂತ ಕಠಿಣವಾದ ಬಿಗ್ಕ್ರಷ್ ಸೂಟ್ ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, 32 ಬಿಟ್ಗಳ ಔಟ್ಪುಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಆದರ್ಶ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ (ಜನ್ಮದಿನದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ) ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನಂತರ ಹಿಂದಿನ ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪಿ. ಆರ್. ಎನ್. ಜಿ. ಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಅದರ ಪೂರ್ಣ, ಅಡೆತಡೆಯಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅದರ ಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯು ಮುಗಿಯುವವರೆಗೆ ನಕಲುಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನ್ಯೂನತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪಿ. ಆರ್. ಎನ್. ಜಿ. ಯು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆಧುನಿಕ ಗಣಕಯಂತ್ರದ ವೇಗವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಕನಿಷ್ಠ ಬೇಡಿಕೆಯಿರುವ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ 264 ಅವಧಿ, ಮತ್ತು ಬೇಡಿಕೆಯ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು. ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಒಂದು ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ, ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬಳಸಿದರೆ, ಬಿಂದುಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ (ಜಾರ್ಜ್ ಮಾರ್ಸಗ್ಲಿಯಾ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮಾರ್ಸಗ್ಲಿಯಾ ಪ್ರಮೇಯ). ಇದು Xn ಅನುಕ್ರಮದ ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಣಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದಿಂದಾಗಿ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ, ವ್ಯಾಪಕ ಅಂತರದ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಎಲ್ಸಿಜಿಯ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸರಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಈ ಅಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಗುಣಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದ ಅಂತರವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ಎರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಈ ದೂರವನ್ನು ಎರಡು ನಿಖರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ನ ಆಯ್ಕೆಯು ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ವರ್ಣಪಟಲದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಕವು ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಇನ್ನೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕೇವಲ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸುಮಾರು 264 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಕೆಟ್ಟ ಗುಣಕವನ್ನು ಎದುರಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಅಸಂಭವವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಮತ್ತೊಂದು ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ, m ಅನ್ನು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಿಟ್ಗಳ ಅಲ್ಪ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಾದ ಔಟ್ಪುಟ್ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯದ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತಗ್ಗಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳು ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನಲ್ಲಿ, ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮೆಮೊರಿಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ವಿಡಿಯೋ ಗೇಮ್ ಕನ್ಸೋಲ್ನಂತಹ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಸಿಜಿಯ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೈ-ಆರ್ಡರ್ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕಾಗಬಹುದು. (m ಯು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಗಾಗಿ ಎಂದಿಗೂ ಅವಲಂಬಿಸಬಾರದು.) ಲೋ ಆರ್ಡರ್ ಬಿಟ್ಗಳು ಬಹಳ ಸಣ್ಣ ಚಕ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣ-ಚಕ್ರದ ಎಲ್. ಸಿ. ಜಿ. ಯು, m ಯು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರುವ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತತೆಗಾಗಿ ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕು. ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಿಗೆ, ಎಲ್. ಸಿ. ಜಿ. ಯು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತ್ತು ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸುಮಾರು ಒಂದು ಸಾವಿರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು (ಉತ್ತಮ) 32-ಬಿಟ್ ಎಲ್ಸಿಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; ಸುಮಾರು 221 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ (ಎರಡು ದಶಲಕ್ಷಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು) 64-ಬಿಟ್ ಎಲ್ಸಿಜಿ ಒಳ್ಳೆಯದು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಮಾದರಿ ಕೋಡ್ ಪೈಥಾನ್ ಕೋಡ್ ಪೈಥಾನ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಸಿಜಿಯ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಜನರೇಟರ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ collections.abc ಆಮದು ಜನರೇಟರ್ ಡೆಫ್ ಎಲ್ಸಿಜಿ ಯಿಂದ (ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಃ ಇಂಟ, ಎಃ ಇಂಟ, ಸಿಃ ಇಂಟ, ಸೀಡ್ಃ ಇಂಟ)-> ಜನರೇಟರ್ [ಇಂಟ, ನನ್, ನನ್]: "ಲೀನಿಯರ್ ಕಾನ್ಗ್ರುಯೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜನರೇಟರ್". ಆದರೆ ನಿಜಃ ಬೀಜ = (a * ಬೀಜ + c)% ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಇಳುವರಿ ಬೀಜ ಫ್ರೀ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಫ್ರೀ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಸೂಡೋ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಡೆಲ್ಫಿ ಎಲ್ಸಿಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಫ್ರೀ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನಲ್ಲಿ ಡೆಲ್ಫಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಅದೇ ರಾಂಡ್ಸೀಡ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದು ಡೆಲ್ಫಿಯಂತೆಯೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅದೇ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ lcg _ random; {$iffdef fpc} {$ಮೋಡ್ ಡೆಲ್ಫಿ} {$ಎಂಡಿಫ್} ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಸಿಜಿಆರ್ಂಡಮ್ಃ ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್; ಓವರ್ಲೋಡ್; ಇನ್ಲೈನ್; ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಸಿಜಿಆರ್ಂಡಮ್ (ಕಾನ್ಸ್ಟ್ ಶ್ರೇಣಿಃ ಲಾಂಗಿಂಟ್): ಲಾಂಗಿಂಟ್; ಓವರ್ಲೋಡ್; ಇನ್ಲೈನ್; ಇಂಪ್ಲಿಮೆಂಟೇಶನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಐಎಂಃ ಕಾರ್ಡಿನಲ್; ಇನ್ಲೈನ್; ಪ್ರಾರಂಭ ರಾಂಡ್ಸೀಡ್ಃ = ರಾಂಡ್ಸೀಡ್ * 134775813 + 1; ಫಲಿತಾಂಶಃ = ರಾಂಡ್ಸೀಡ್; ಅಂತ್ಯ; ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಸಿಜಿಆರ್ಂಡಮ್ಃ ಎಕ್ಸ್ಟೆಂಡೆಡ್; ಓವರ್ಲೋಡ್; ಇನ್ಲೈನ್; ಪ್ರಾರಂಭ ಫಲಿತಾಂಶಃ = ಐಎಂ * 2.32830643653870e-10; ಅಂತ್ಯ; ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಸಿಜಿಆರ್ಂಡಮ್ (ಕಾನ್ಸ್ಟ್ ಶ್ರೇಣಿಃ ಲಾಂಗಿಂಟ್): ಲಾಂಗಿಂಟ್; ಓವರ್ಲೋಡ್; ಇನ್ಲೈನ್; ಪ್ರಾರಂಭ ಫಲಿತಾಂಶಃ ಅನೇಕ ಎಳೆಗಳು ಈ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು, ಇದು ಓಟದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಥ್ರೆಡ್ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮಾನ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಥ್ರೆಡ್ಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಇನಿಶಿಯಲೈಸೇಶನ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಎಲ್ಸಿಜಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಾಗಿರುವ ಹಲವಾರು ಉತ್ಪಾದಕಗಳಿವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಬಳಸುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ದೀರ್ಘಾವಧಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ದೊಡ್ಡ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿವಿಧ ಅವಧಿಗಳ ಹಲವಾರು ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು; ವಿಚ್ಮನ್-ಹಿಲ್ ಜನರೇಟರ್ ಈ ರೂಪಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. (ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿರಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರೈಮ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಮ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ 2 ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಿರಬೇಕು.) ಇದನ್ನು ಘಟಕ ಎಲ್ಸಿಜಿ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಎಲ್ಸಿಜಿಗೆ ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಮಾರ್ಸಾಗ್ಲಿಯಾದ ಆಡ್-ವಿತ್-ಕ್ಯಾರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ-ವಿತ್-ಸಾಲದ ಪಿ. ಆರ್. ಎನ್. ಜಿಗಳು ಪದದ ಗಾತ್ರ b = 2w ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಗ್ಸ್ r ಮತ್ತು s (r> s) ಗಳು ಬಿಆರ್ ± ಬಿಎಸ್ ± 1 ರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಸಿಜಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಎ ನ ಗುಣಕದೊಂದಿಗೆ ಪಿ. ಆರ್. ಎನ್. ಜಿ. ಗಳನ್ನು ಎ. ಬಿ. ಆರ್-1 ನ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಬಿ ನ ಪವರ್-ಆಫ್-2 ಗುಣಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್. ಸಿ. ಜಿ. ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಏಕರೂಪದ ಜನರೇಟರ್ ಪವರ್-ಆಫ್-2-ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಲ್ಸಿಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಿಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಔಟ್ಪುಟ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಪಿ. ಆರ್. ಎನ್. ಜಿ. ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಇತರ ಪ್ರಾಚೀನ ರಚನೆಯೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ-ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಶಿಫ್ಟ್ ರಿಜಿಸ್ಟರ್ ನಿರ್ಮಾಣ, ಇದು ಜಿಎಫ್ (2) [x] ನಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಜಿಎಫ್ (2) ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಕ್ಸ್ಕ್ಲೂಸಿವ್-ಆರ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾರಿ-ಲೆಸ್ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಟ್ಗಳು ಪೂರ್ಣಾವಧಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಅಂಕಗಣಿತದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2k ಅನ್ನು ಬಾಧಿಸುವ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಿಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ದೌರ್ಬಲ್ಯದಿಂದ ಅವು ಬಳಲುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕುಟುಂಬದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಸಾರ್ಶಿಫ್ಟ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೆರ್ಸೆನ್ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಸೇರಿವೆ. ಎರಡನೆಯದು ಬಹಳ ದೀರ್ಘ ಅವಧಿಯನ್ನು (219937−1) ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಗ್ಡ್ ಫಿಬೊನಾಚಿ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಸಹ ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ; ಅವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಅವುಗಳ ಅವಧಿಯನ್ನು ಎಲ್ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ಕನಿಷ್ಠ-ಮಹತ್ವದ ಬಿಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಟೆಸ್ಟ್ಯು01 ಸೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಸೂಕ್ತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ-ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಶಿಫ್ಟ್ ರಿಜಿಸ್ಟರ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಸುಲಭ; ಎಲ್ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ನ ಸತತ ಬಿಟ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಸರ್ಕ್ಯುಲೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಬಹುಪದದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಿಕ್ಸಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ (ಕ್ಸೋಶಿರೋ256 * * ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಏಕರೂಪದ ಜನರೇಟರ್ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ) ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಪಿಆರ್ಎನ್ಜಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ರಚನೆಯೆಂದರೆ ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಿಕ್ಸಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕೌಂಟರ್ ಮೋಡ್ ಬ್ಲಾಕ್ ಸೈಫರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ಮಿಕ್ಸ್64 ನಂತಹ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಲ್. ಸಿ. ಜಿ. ಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಒಂದು ರಚನೆಯು ಬಹು-ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದೆಃ Xn = (a1Xn−1 + a2Xn−2 + ·· + akXn−k) ಮಾಡ್ m k ≤ 2. ಪ್ರೈಮ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನೊಂದಿಗೆ, ಇದು mk−1 ವರೆಗಿನ ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಅವಧಿಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಸಿಜಿ ರಚನೆಯ ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉತ್ತಮ-ಗುಣಮಟ್ಟದ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಒಂದು ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ರಚನೆಯ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಿಆರ್ಎನ್ಜಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು; ಎಲ್ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಸಿಜಿಯ ಮೊತ್ತವು (ಕೆಐಎಸ್ಎಸ್ ಅಥವಾ ಕ್ಸೋರ್ವೋ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ) ಕೆಲವು ವೆಚ್ಚದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಕೆಲವು ಉತ್ತಮ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅರ್ಹತೆಗಳಿರುವ ACORN ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಇತರ PRNGಗಳು-ACG ಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಈ ಪದವನ್ನು ಎಲ್ಸಿಜಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಏಕರೂಪದ ಜನರೇಟರ್ ಪೂರ್ಣ ಚಕ್ರ ವಿಲೋಮ ಏಕರೂಪದ ಜನರೇಟರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈ-ವಿತ್-ಕ್ಯಾರಿ ಲೆಹ್ಮರ್ ಆರ್ಎನ್ಜಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪಾರ್ಕ್-ಮಿಲ್ಲರ್ ಆರ್ಎನ್ಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಂಯೋಜಿತ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಜನರೇಟರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಜೆಂಟಲ್, ಜೇಮ್ಸ್ ಇ., (2003). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ಪಾದನೆ ಮತ್ತು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನಗಳು, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್,. (ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಹುಸಿ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ). ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಕಾನ್ಗ್ರುಯೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜನರೇಟರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಹುಸಿ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಭದ್ರತೆಃ ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಜನರೇಟರ್ಗಳು sci.math ಗೆ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿ ಗೋಲ್ಡ್ಸ್ಟೀನ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜೀಸ್ ಎಲ್ಎಲ್ಸಿ ಯ "ಡೆತ್ ಆಫ್ ಆರ್ಟ್" ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಆರ್ಟ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್, 33,554,432 ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಎಲ್ಸಿಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಪಿ. ಎಲ್ 'ಎಕ್ಯೂಯರ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ಸಿಮಾರ್ಡ್, "ಟೆಸ್ಟ್ಯು01: ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ಎ ಸಿ ಲೈಬ್ರರಿ", ಮೇ 2006, ಪರಿಷ್ಕೃತ ನವೆಂಬರ್ 2006, ಗಣಿತದ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ನಲ್ಲಿ ಎಸಿಎಂ ವಹಿವಾಟುಗಳು, 33,4, ಆರ್ಟಿಕಲ್ 22, ಆಗಸ್ಟ್ 2007. ಎಲ್ಸಿಜಿ ಸ್ಯೂಡೋರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಭೇದಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನದ ಬಗೆಗಿನ ಲೇಖನ ಪೈಥಾನ್ (ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆ) ಸಂಕೇತದಂತಹ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಲೇಖನಗಳು