Ptolemy's theorem
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜದ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕರ್ಣೀಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಗ್ರೀಕ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಟಾಲೆಮಿಯ (ಕ್ಲಾಡಿಯಸ್ ಟಾಲೆಮಿಯಸ್) ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಟಾಲೆಮಿಯು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತನ್ನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಹಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡನು, ಇದು ಅವನು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕವಾಗಿದೆ. ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಮತ್ತು ಡಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಚತುರ್ಭುಜವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಎರಡು ಜೋಡಿ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಇದು ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಸುಂದರವಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಅತ್ಯಂತ ದೂರದ ಶೃಂಗದವರೆಗಿನ ಅಂತರವು ಆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎರಡು ಹತ್ತಿರದ ಶೃಂಗಗಳವರೆಗಿನ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಃ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಚೌಕವನ್ನು ಚೌಕದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಟಾಲೆಮಿಯ ಸಂಬಂಧವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಚತುರ್ಭುಜವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ಡಿ ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ನಂತರ d2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಟಾಲೆಮಿಯ ಸಂಬಂಧದ ಬಲಭಾಗವು a2 + b2 ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತನ್ನ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಿದ ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್-ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 'ಪೋರಿಸಂ' ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪರಿಣಾಮವೆಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾನೆಃ ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಚಾಪವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಅಧೀನಗೊಳಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಮ್ಯಾನಿಫೆಸ್ಟಮ್ ಎಸ್ಟಿ). ಪೆಂಟಗನ್ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಂಚಭುಜದಲ್ಲಿ 5 ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಬದಿಯ ಉದ್ದ a ಮತ್ತು (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಉದ್ದ b ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಚೌಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಂಬಂಧವು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ದಶಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿ ಈಗ ಡಿಎಫ್ ಮತ್ತು ಸಿಎಫ್ ಅನ್ನು ಕೆತ್ತಿದ ದಶಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳಾಗುವಂತೆ ಡಿಸಿ ಅನ್ನು ದ್ವಿಭಾಜಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಎಫ್ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು-ಈ ಬಾರಿ ಡಿ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಅದರ ಕರ್ಣೀಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಡಿಎಫ್ಸಿಗೆಃ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ ಎಲ್ಲಿದೆ. ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಕೆತ್ತಿದ ದಶಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ಎ. ಎಫ್. ಡಿ. ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ವ್ಯಾಸದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಬಿ" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಎ" ಪೆಂಟಗನ್ನ ಬದಿಯನ್ನು ನಂತರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್ (ಟಾಲೆಮಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ) ಬರೆದಂತೆ, "ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು, ಟೆಟ್ರಾಗನ್, ಪೆಂಟಗನ್, ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಡೆಕಗನ್, ಅದೇ ವೃತ್ತವು ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ". ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ವಿಷುಯಲ್ ಪ್ರೂಫ್ ಇಲ್ಲಿ ಅನಿಮೇಷನ್ ಡೆರಿಕ್ ಮತ್ತು ಹರ್ಸ್ಟೀನ್ (2012) ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ದೃಶ್ಯ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಪುರಾವೆ ABCD ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿರಲಿ. BCಯ ಸ್ವರಮೇಳದ ಮೇಲೆ, ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳು  anth BAC =  anth BDC, ಮತ್ತು ABಯಲ್ಲಿ,  anth ADB =  anth ACB. ACಯ ಮೇಲೆ Kಯನ್ನು ಹೀಗೆ ರಚಿಸಿ ಎಂದರೆ  anth ABK =  anth CBD; ಏಕೆಂದರೆ  anth ABK +  anth CBK =  anth ABC =  anth CBD +  anth ABD,  anth CBK =  anth ABD. ಈಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನಗಳಿಂದ δ ಎಬಿಕೆ δ ಡಿಬಿಸಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ δ ಎಬಿಡಿ δ ಕೆಬಿಸಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಕೆ/ಎಬಿ = ಸಿಡಿ/ಬಿಡಿ, ಮತ್ತು ಸಿಕೆ/ಬಿಸಿ = ಡಿಎ/ಬಿಡಿ; ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಕೆ ಷ್ಣಬಿಡಿ = ಎಬಿ ಷ್ಣಬಿಡಿ, ಮತ್ತು ಸಿಕೆ ಷ್ಣಬಿಡಿ = ಬಿಸಿ ಷ್ಣಬಿಡಿ. ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎಕೆ ⋅ ಬಿಡಿ + ಸಿಕೆ ⋅ ಬಿಡಿ = ಎಬಿ ⋅ ಸಿಡಿ + ಬಿಸಿ ⋅ ಡಿಎ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ (ಎಕೆ + ಸಿಕೆ) · ಬಿಡಿ = ಎಬಿ ⋅ ಸಿಡಿ + ಬಿಸಿ ⋅ ಡಿಎ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎಕೆ + ಸಿಕೆ = ಎಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸಿ ಷ್ಣಬಿಡಿ = ಎಬಿ ಷ್ಣಬಿಡಿ + ಬಿಸಿ ಷ್ಣಬಿಡಿಎ, ಕ್ಯೂಇಡಿ. ಬರೆಯಲಾದ ಪುರಾವೆಯು ಸರಳ ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಸ್ವಯಂ-ದಾಟುವಂತಿದ್ದರೆ, ಕೆ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗ ಎಸಿ ಯ ಹೊರಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಕೆ − ಸಿಕೆ = ± ಎಸಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಗುರುತುಗಳ ಪುರಾವೆ ಕೆತ್ತಿದ ಕೋನಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ನಾವು,,,, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಮೂಲ ಸಮಾನತೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂಶವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮತ್ತೊಂದು, ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚು ಪಾರದರ್ಶಕವಾದ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಅದೇ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಹೊಸ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು, ಅದೇ ಸ್ವರಮೇಳದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಒಂದೇ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅದೇ ಕೆತ್ತಿದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಬೇರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು, ಫಾರ್, ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ. ಅಲ್ಲದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ. ನಂತರ, ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ವಿಲೋಮದಿಂದ ಪುರಾವೆ Dಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ABCDಯ ಸುತ್ತಳತೆ ರೇಖೆಯಾಗಿ ತಲೆಕೆಳಗಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ನಂತರ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಟಾಲೆಮಿಯ ಸಮಾನತೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ A ', B' ಮತ್ತು C 'ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ A' B '+ B' C '> A' C ', ಇದು ಟಾಲೆಮಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸರಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪುರಾವೆ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಬಿಸಿಡಿಯನ್ನು ಹುದುಗಿಸಿ. ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟಾಲೆಮಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ ತ್ರಿಜ್ಯದ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಸಾಲು) ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧ್ರುವೀಯ ರೂಪದಿಂದ, ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಡಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಹಿಡಿತವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಚತುರ್ಭುಜವು ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ. ಇ. ಡಿ. ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಆವರ್ತಕತೆಯು, ಅಂದರೆ. ಪೂರಕತೆ ಮತ್ತು, ಷರತ್ತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು 0 (ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ), ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುರುತಿನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಅವು ಯಾವ ಜೋಡಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆಯೋ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸೈನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಧೀನ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಉಪಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮುಂದಿನದರಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೊರೊಲ್ಲರಿ 1. ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಲೆಟ್ ಮತ್ತು. ನಂತರ (ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ನಂತರಃ ಕೊರೋಲರಿ 2. ಕೊಸೈನ್ಗಳ ನಿಯಮವು ಲೆಟ್. ಕರೋಲರಿ 1 ರ ಆಯತವು ಈಗ ಸಮಾನ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳ ಜೋಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಟ್ರೆಪೀಜಿಯಂ ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳು ಘಟಕಗಳಿಂದ ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಮರಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆಃ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿಗೆ ಕೊಸೈನ್ ನಿಯಮ. ಕೊರೊಲ್ಲರಿ 3. ಸಂಯುಕ್ತ ಕೋನ ಸೈನ್ (+) ಆಗಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಯುಕ್ತ ಕೋನ ಸೈನ್ (+) ಗೆ ಸೂತ್ರ. ಕೊರೊಲ್ಲರಿ 4. ಸಂಯುಕ್ತ ಕೋನವು ಸೈನ್ (−) ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಯುಕ್ತ ಕೋನ ಸೈನ್ (−) ಗೆ ಸೂತ್ರ. ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಟಾಲೆಮಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್ ದಾಖಲಿಸಿದ ಮೂರನೇ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳನ್ನು (ಸುತ್ತಳತೆಯಲ್ಲಿ 36° ಗೆ ಇಳಿಯುವುದು) ಮತ್ತು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳನ್ನು (ಸುತ್ತಳತೆಯಲ್ಲಿ 30° ಗೆ ಇಳಿಯುವುದು) ನೀಡಿದರೆ, 6° ಗೆ ಇಳಿಯುವ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಾಚೀನ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತವಾಗಿತ್ತು. ಕೊರೊಲ್ಲರಿ 5. ಆಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಟಾಲೆಮಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್ ದಾಖಲಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಕೋನ ಕೊಸೈನ್ (+) ಐದನೇ ಪ್ರಮೇಯದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಬಿಡಿ. ನಂತರ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಯುಕ್ತ ಕೋನದ ಸೂತ್ರ ಕೊಸೈನ್ (+) ನಮ್ಮ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಸಂಕೇತದ ಕೌಶಲ್ಯದ ಕೊರತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯ) ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರಪಂಚವು ಅತ್ಯಂತ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಸಾಧನವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು ಎಂಬುದು ಮೇಲಿನ ಉಪಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು, ಇದು ಆ ಕಾಲದ ಕಾಗ್ನೋಸೆಂಟಿಗೆ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಿಖರವಾದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು (ಸೈನ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ) ರಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವನ್ನು ಅವರು ನೋಡಿದಂತೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲು ತಮ್ಮ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಪ್ಟೋಲೆಮಿಗಿಂತ ಮೂರು ಶತಮಾನಗಳ ಮೊದಲು ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸ್ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದರಿಂದ, ಆತನಿಗೆ 'ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯ' ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಬೇಕು. ಪ್ರಾಚೀನ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಹಾದಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಇತಿಹಾಸವು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಟಿಮೊಚಾರಿಸ್ನ ನಕ್ಷತ್ರ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ, ಅಂತಹ ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್ಗಳ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ 'ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯ' ದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಎರಡನೆಯದರ ನಿಜವಾದ ಮೂಲಗಳು ನಂತರ ಪ್ರಾಚೀನತೆಯ ಮಂಜಿನಿಂದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣ ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಅಸಮಂಜಸವಲ್ಲ. ಟಾಲೆಮಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಂದಿಗೂ ನಿಜವಲ್ಲ. ಟಾಲೆಮಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಈ ಸತ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ಎಬಿಸಿಡಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಅನುಪಾತದ ಕುರಿತಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಬದಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು ಕರ್ಣೀಯಗಳ (ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜದ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಃ ವ್ಯಾಸದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೆಂದರೆಃ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಒಂದೇ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ವಿಭಜನೆಗೆ ಎರಡು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಘೋಷಿಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮಃ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ ಎರಡನ್ನೂ ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅವುಗಳ ತಕ್ಷಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಃ ಕ್ಯಾಸಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಮತ್ತು ಎಸ್. ಎಲ್. ಗ್ರೀಟ್ಜರ್ (1967) "ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು". § 2.6 ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ರಿವಿಜಿಟೆಡ್, ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೇರಿಕಾ ಪುಟಗಳು. 42-43. ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್ (1543) ಡಿ ರೆವಲ್ಯೂಷನಿಬಸ್ ಆರ್ಬಿಯಮ್ ಕೊಲೆಸ್ಟಿಯಂ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಹಾಕಿಂಗ್ ಸಂಪಾದಿಸಿದ ಆನ್ ದಿ ಶೋಲ್ಡರ್ಸ್ ಆಫ್ ಜೈಂಟ್ಸ್ (2002) ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅನುವಾದ, ಪೆಂಗ್ವಿನ್ ಬುಕ್ಸ್ ಅಮರಸಿಂಘೆ, ಜಿ. ಡಬ್ಲ್ಯು. ಐ. ಎಸ್. (2013) ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆ, ಗ್ಲೋಬಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಆನ್ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಅಂಡ್ ಮಾಡರ್ನ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರೀಸ್ (ಜಿಜೆಎಆರ್ಸಿಎಂಜಿ) 2 (1): 20-25 (ಪಿಡಿಎಫ್). ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಗಣಿತ ಪುಟಗಳಿಗಾಗಿ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ-ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಟ್-ದಿ-ಗಂಟು ಸಂಯುಕ್ತ ಕೋನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಕಟ್-ದಿ-ಗಂಟು ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥ್ ಟಾಲೆಮಿಯ ಅಸಮಾನತೆ ಹಾರ್ವರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಡಿ ರೆವಲ್ಯೂಷನಿಬಸ್ ಆರ್ಬಿಯಮ್ ಕೊಲೆಸ್ಟಿಯಂ. ಡೀಪ್ ಸೀಕ್ರೆಟ್ಸ್ಃ ದಿ ಗ್ರೇಟ್ ಪಿರಮಿಡ್, ದಿ ಗೋಲ್ಡನ್ ರೇಷಿಯೋ ಮತ್ತು ಜೇ ವೇರ್ನ್ಡಾರ್ಫ್ನ ರಾಯಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ, ದಿ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಷನ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್. ಪುಸ್ತಕ XIII ಆಫ್ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ಸ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತಗಳ ಪ್ರಮೇಯ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು