Lipschitz continuity
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರುಡಾಲ್ಫ್ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರತೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಬಲ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅದು ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆಃ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂತಹ ಚಿಕ್ಕ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಇದು ಏಕರೂಪದ ನಿರಂತರತೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಂಧಿಸಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವೂ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರತೆಯು ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೋಚನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ-ಹೋಲ್ಡರ್ ನಿರಂತರ, ಅಲ್ಲಿ. ನಾವು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ-ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾದ-ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು (X, dX) ಮತ್ತು (Y, dY) ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ dX ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು dY ಸೆಟ್ Y ನಲ್ಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f: X → Y ಅನ್ನು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ನಿಜವಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ K ≤ 0 ಇದ್ದರೆ, X ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ x1 ಮತ್ತು x2 ಗೆ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ K ಅನ್ನು f ಮತ್ತು f ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ f ನ (ಅತ್ಯುತ್ತಮ) ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಅಥವಾ f ನ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. K = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಣ್ಣ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 0 ≤ K <1 ಮತ್ತು f ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೋಚನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ x1 ಮತ್ತು x2ಗಳಿಗೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, Y ಎಂಬುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ dY (y1, y2) = |y1 −y2 |, ಮತ್ತು X ಎಂಬುದು Rನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, x1 = x2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಸಮಾನತೆಯು (ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ) ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾದ K ≤ 0 ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಎಲ್ಲಾ x1 ≤ x2 ಗೆ, ಹಲವಾರು ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು K ಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. X ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ x ಗೆ U ನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ U ಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ f ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, X ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, X ನ ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ f ಅನ್ನು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಅಗತ್ಯವಾದ ಆದರೆ ಸಾಕಾಗದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, X ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f ಕಾರ್ಯವು ಹೋಲ್ಡರ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ X ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ x ಮತ್ತು y ಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ M ≤ 0 ಇದ್ದರೆ X ನಲ್ಲಿ α> 0 ಕ್ರಮದ ಹೋಲ್ಡರ್ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ α ಕ್ರಮದ ಹೋಲ್ಡರ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು α> 0 ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ K ±1 ಗೆ, f ಅನ್ನು K-ಬಿಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು K-b-ಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಎಂದೂ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅಂತಹ ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲು ಎಫ್ ಬಿಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಅಥವಾ ದ್ವಿ-ಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಎ ಬಿಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದರ ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಬಿಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವೂ ಸಹ ಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಆಗಿದೆ. (ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ) ಅಲ್ಲದ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ) ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ (ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ) ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ (ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ) ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಸಹ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವು g: R → R ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯದ ಗುಂಪಿನ ಹೊರಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು a <b ಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ g (b) − g (a) [a, b] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ g′ ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, f: I → R ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು I ನಲ್ಲಿರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ |f ′ (x) | ≤ K ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, f ಎಂಬುದು ಗರಿಷ್ಠ K ನಲ್ಲಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಿಲಿಟಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾಪ್ f: U → Rm, ಅಲ್ಲಿ U ಎಂಬುದು Rn ನಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, K ಯು f ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ Df ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ. ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಕ್ಷೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡೊಮೇನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ. {fn} ಎಂಬುದು ಎರಡು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ fn ಕೆಲವು K ಯಿಂದ ಸುತ್ತುವ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. fn ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾದರೆ, ಆಗ f ಸಹ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಅದೇ K ಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ಪೀನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬನಾಚ್ ಜಾಗದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಟೋನ್-ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ). ಪ್ರತಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಿರಂತರವಾದ ಕೋಟೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸುತ್ತುವರಿದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಮೂಹವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್ಝೆಲಾ-ಅಸ್ಕೋಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, {fn} ಎಂಬುದು ಬಂಧಿಸಲಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಲಿಮಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕೂಡ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿದೆ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಅದೇ ಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ≤ ಕೆ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ fα, ಕಾರ್ಯವು (ಮತ್ತು) ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಅದೇ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ, ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. U ಎಂಬುದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ Mನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು f: U → R ಒಂದು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳು M → R ಇರುತ್ತವೆ, ಅವು f ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು fನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಕಿರ್ಸ್ಜ್ಬ್ರಾನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ). ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ k ಯು ಯು ಯು. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ f ಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಚಾರ್ಟ್ಗಳ ಅಟ್ಲಾಸ್ ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳು ಬಿಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸೂಡೋಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ರಚನೆಯು ಅಂತಹ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಅನುಗುಣವಾದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ರಚನೆಯು ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಲೀನಿಯರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ನಡುವೆ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆಃ ಪಿಎಲ್ ರಚನೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಫ್ (x) ಅನ್ನು x ನ ಮೇಲಿನ ಅರೆ-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಎಫ್ (x) ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ x1 ಮತ್ತು x2 ಗೆ ಎಫ್ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆಗಿದೆ. ಎಫ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಆದರೆ ಮಧ್ಯಮ ಗಾತ್ರದ, ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ, ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ K = 50 ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ C = 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಏಕ-ಬದಿಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಆದರೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ F (x) = e − x, C = 0. ಡಿನಿ ಕಂಟಿನ್ಯುಯಿಟಿ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಫ್ ಕಂಟಿನ್ಯುಯಿಟಿ ಕ್ವಾಸಿ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಜಾನ್ಸನ್-ಲಿಂಡೆನ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ≤ 0, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪು X ≤ Rn, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ 0 <ε <1, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು (1 + ε)-ದ್ವಿ-ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ರಚನೆಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ.