Granger causality
ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ಪರೀಕ್ಷೆಯು 1969 ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಒಂದು ಸಮಯದ ಸರಣಿಯು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಿಂಜರಿತಗಳು ಕೇವಲ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ಪೂರ್ವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ಭವಿಷ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕ್ಲೈವ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ವಾದಿಸಿದರು. "ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ" ದ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಆಳವಾದ ತಾತ್ವಿಕವಾದುದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಷಯಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚಿನ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯಕಾರಣದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಪೋಸ್ಟ್ ಹಾಕ್ ಎರ್ಗೋ ಪ್ರಾಪ್ಟರ್ ಹಾಕ್ ಭ್ರಾಂತಿಯಿಂದಾಗಿ, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು "ಮುನ್ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ" ವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. "ಕಾರ್ಯಕಾರಣ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವುದು ತಪ್ಪಾದ ಹೆಸರಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾರ್ಯಕಾರಣವನ್ನು "ಆದ್ಯತೆ" ಎಂದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಸ್ವತಃ ನಂತರ 1977 ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೊಂಡಂತೆ, "ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ". X ಯು Y ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಬದಲು, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವು X ಯು Y ಅನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ನ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೂಲಕ (ಮತ್ತು ವೈ ನ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೂ ಸಹ ಸೇರಿವೆ), ಆ ಎಕ್ಸ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವೈ ಯ ಭವಿಷ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಸಮಯದ ಸರಣಿ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾಸ್ ವೈಗೆ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊರಗಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ "ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ" ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಲವು ಅಧ್ಯಯನಗಳು "ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ" ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತಲುಪಿವೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿ ಹೇಳಿದರು. "ಸಹಜವಾಗಿ, ಅನೇಕ ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ ಪ್ರಬಂಧಗಳು ಪ್ರಕಟವಾದವು" ಎಂದು ಅವರು ತಮ್ಮ ನೊಬೆಲ್ ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಗಣನೆಯ ಸರಳತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಮಯ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಇದು ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣದ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸುಪ್ತ ಗೊಂದಲದ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ತತ್ಕ್ಷಣದ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ತನ್ನದೇ ಆದ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು X ನ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ Y ನ ಮೌಲ್ಯದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು Y ನ ಸ್ವಂತ ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ Y ನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳಿಗಿಂತ ಉತ್ತಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಮತ್ತೊಂದು ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ Y ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ತತ್ವಗಳು ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಎರಡು ತತ್ವಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಕಾರಣವು ಅದರ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕಿಂತ ಮೊದಲೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರಣವು ಅದರ ಪರಿಣಾಮದ ಭವಿಷ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅನನ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯಕಾರಣದ ಬಗೆಗಿನ ಈ ಎರಡು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕಾರಣದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರುಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಇಡೀ ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾರಣಗಳು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಮಯ ಸರಣಿಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಟ್ಟದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಕೈಕೆ ಮಾಹಿತಿ ಮಾನದಂಡ ಅಥವಾ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಮಾಹಿತಿ ಮಾನದಂಡದಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ವಿಳಂಬಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. (1) ಟಿ-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು (2) ಇದು ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಇತರ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮಾದರಿಗೆ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಯಾವುದೇ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣತ್ವದ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಬರಬಹುದು. ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯು y ಮತ್ತು x ಸ್ಥಿರ ಸಮಯದ ಸರಣಿಗಳಾಗಿರಲಿ. x ಯು ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾಸ್ y ಅಲ್ಲ ಎಂಬ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ಮೊದಲು y ನ ಏಕರೂಪದ ಸ್ವಯಂ-ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲು y ನ ಸರಿಯಾದ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಮುಂದೆ, x ನ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ವಯಂ-ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ತಮ್ಮ ಟಿ-ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಮಹತ್ವದ್ದ x ನ ಎಲ್ಲಾ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಅವರು ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ (ಇದರ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು x ಗಳು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲ). ಮೇಲಿನ ವರ್ಧಿತ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, p ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು q ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, x ನ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ x ನ ಯಾವುದೇ ಮಂದಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ x ಯು ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾರಣ y ಅನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಯ ಸರಣಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಟೋರೆಗ್ರೆಸಿವ್ ಮಾಡೆಲ್ (ವಿಎಆರ್) ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಬಹುವಿಧದ ಸಮಯದ ಸರಣಿಯಾಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮಯದ ವಿಳಂಬದೊಂದಿಗೆ ವಿಎಆರ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ) ಸಮಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಾಸರಿ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಮೇಲಿನ ರೇಖೀಯ ವಿಧಾನಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರಣವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಅವರಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ. ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸ್ವಯಂ-ಋಣಾತ್ಮಕ ಮಾದರಿಯಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಉತ್ತಮ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಸಾಧನಗಳಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಮಿತಿಗಳು ಅದರ ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವು ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾರಣತ್ವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಕಾರಣತ್ವದ ಹ್ಯೂಮಿಯನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ಸಂಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರಣ-ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ಎರಡೂ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಳಂಬಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂರನೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣದ ಪರ್ಯಾಯ ಊಹೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಇನ್ನೂ ವಿಫಲರಾಗಬಹುದು. ಆದರೂ, ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಕುಶಲತೆಯು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗ್ರೇಂಜರ್-ಕಾರಣ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಜೋಡಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ ದಾರಿತಪ್ಪಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಹೇಳಿದ ನಂತರ, ಕಾರಣದ ಸಂಭವನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರಣವನ್ನು ಆ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಕಾರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರೀಚೆನ್ಬಾಚ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಕಾರಣದ "ಸ್ಕ್ರೀನಿಂಗ್ ಆಫ್" ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸುವ ಇತರ ಸಂಭವನೀಯ ಮೂಲಗಳೆಂದರೆಃ (1) ಸಾಕಷ್ಟು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಥವಾ ತುಂಬಾ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿರುವುದು, (2) ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಸಂಬಂಧ, (3) ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು (4) ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಟೋರೆಗ್ರೆಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ದೋಷ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಸಂವೇದನಾಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ವಿಧಾನವು ಹಣಕಾಸಿನ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಹಣಕಾಸಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಂಚಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅಸಮ್ಮಿತ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾನಲ್ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ (ನಾನ್-) ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯೂ ಲಭ್ಯವಿದೆ. GARCH (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸ್ವಯಂ-ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟುವ ಷರತ್ತಿನ ಹೆಟೆರೊಸೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ) ಪ್ರಕಾರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಯ ಸರಣಿ ಮಾದರಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಅನೇಕ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ನರವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಮೆದುಳಿನ ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ನರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ನಂಬಿಕೆ ಇತ್ತು; ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾದ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಂಪರ್ಕವು ಆ ತುಣುಕಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳಿಂದ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ, ಮೆದುಳಿನಲ್ಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಹರಿವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನವಾದ, ಜಾಲ-ಕೇಂದ್ರಿತ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕ್ರಮ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ವಿವರಣೆಯು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮೆದುಳಿನ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಜಾಲಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ. ಈ ಜಾಲಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕಾಲಕ್ರಮೇಣ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಅದೇ ಇನ್ಪುಟ್ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನೀವು ನೆಟ್ವರ್ಕ್ನಿಂದ ಅದೇ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಜಾಲಗಳ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಮೆದುಳಿನ ವಿವಿಧ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವೆ ಈ ರೀತಿಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನರಕೋಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಸಮೂಹದ ದಹನ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳಿಂದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಹಿತಿಯ ಹರಿವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಅನ್ವೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯ ದಿಕ್ಕಿನ ಹರಿವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಪರಿಣಾಮದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಅದು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಈ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗ್ರೇಂಜರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನರಕೋಶದ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಊಹಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರಿ ನರಕೋಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೂಹ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೂಹವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಗುರಿ ನರಕೋಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಹದಗೆಡಿಸಿದರೆ, ಅದು ಪ್ರಸ್ತುತ ನರಕೋಶದೊಂದಿಗೆ "ಜಿ-ಕಾರಣ" ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ವಿಧಾನಗಳು ನಿರಂತರ-ಮೌಲ್ಯದ ದತ್ತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದಾಗಿತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ನ್ಯೂರಲ್ ಸ್ಪೈಕ್ ಟ್ರೈನ್ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು, ಅದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿತು, ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಅದರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ತೀರ್ಮಾನಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, 2011 ರಲ್ಲಿ, ನರ-ಸ್ಪೈಕ್ ರೈಲುಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದಾದ ಹೊಸ ಸಾಮಾನ್ಯ-ಉದ್ದೇಶದ ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್-ಕಾರಣ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು. ನ್ಯೂರಲ್ ಸ್ಪೈಕ್ ಟ್ರೈನ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್-ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಬಿಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಬೈನರಿ ಘಟನೆಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯ-ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ಘಟನೆಯು ನಿಜವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಹಿತಿಯ ಈ ರೀತಿಯ ಬೈನರಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ನರಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಟುವಟಿಕೆಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದೇ ನರಕೋಶದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ತರಂಗರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನರಕೋಶದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ನಿಜವಾದ ಮಾಹಿತಿಯು "ಸ್ಪೈಕ್" ನ ಸಂಭವ ಮತ್ತು ಸತತ ಸ್ಪೈಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ನ್ಯೂರಲ್-ನೆಟ್ವರ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಹರಿವನ್ನು ಒಂದು ವೀಕ್ಷಣಾ ಅವಧಿಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ನ್ಯೂರಾನ್ಗೆ ಸ್ಪೈಕ್ ಮಾಡುವ ಸಮಯಗಳಾಗಿ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದು-ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ಪೈಕ್ಗಳ ಸಮಯ, ಸ್ಪೈಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾಯುವ ಸಮಯ, ಎಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ, ಪ್ರತಿ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಮಯವನ್ನು ವಿವೇಚಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಬಾರಿ ಬಿನ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಘಟನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, 1s ಮತ್ತು 0s ನ ಗುಂಪಾಗಿ, ಬೈನರಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂರಲ್-ಸ್ಪೈಕಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗಳ ಸರಳವಾದ ವಿಧವೆಂದರೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸ್ಮರಣೆಯಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಫೈರಿಂಗ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ ಇದು ಯಾವುದೇ ಸ್ಪೈಕಿಂಗ್ ಇತಿಹಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನರಕೋಶಗಳು ಅದರ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಅವಧಿಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ (ಜೈವಿಕ ಭೌತಿಕ) ಇತಿಹಾಸದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದರ ಸ್ವಂತ ಇತಿಹಾಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿಯೂರಾನ್ ಸ್ಪೈಕ್ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ತತ್ಕ್ಷಣದ ಫೈರಿಂಗ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಏಕಮಾನದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಘಟಕ ಸಮಯವನ್ನು ಆ ಸಮಯದ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ಪೈಕ್ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಮ್ಮ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ನರಕೋಶವು ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಪೈಥಾನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಃ ಪೈಥಾನ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಆರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ನಲ್ಲಿ "ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ" ವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕ್ಲೈನ್ಬರ್ಗ್, ಎಸ್. ಮತ್ತು ಹ್ರಿಪ್ಸಕ್, ಜಿ. (2011) "ಬಯೋಮೆಡಿಕಲ್ ಇನ್ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕಾರಣ ತೀರ್ಮಾನದ ವಿಮರ್ಶೆ" ಜೆ. ಬಯೋಮೆಡ್ ಇನ್ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ "ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಟೈಮ್ ಸೀರೀಸ್ ಟೈಮ್ ಸೀರೀಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಡಿಃ ಕೌಸಾಲಿಟಾ t#Ökonometrie (ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್)