Uniform 4-polytope
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ (ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಕೋರಾನ್) 4-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಶೃಂಗ-ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಜೀವಕೋಶಗಳು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮುಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. 47 ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳಿವೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ 17 ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಎರಡು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ನಕ್ಷತ್ರ ರೂಪಗಳೂ ಇವೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ಇತಿಹಾಸಃ 1852: ಲುಡ್ವಿಗ್ ಶ್ಲಾಫ್ಲಿ ತನ್ನ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯಾದ ಥಿಯೋರಿ ಡೆರ್ ವೈಲ್ಫಚೆನ್ ಕೊಂಟಿನ್ಯುಯಿಟ್ನಲ್ಲಿ 4 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ 6 ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿವೆ ಮತ್ತು 5 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 3 ಮಾತ್ರ ಇವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ನಿಯಮಿತ ಸ್ಟಾರ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು (ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಕೋಶಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳು) 1852: ಲುಡ್ವಿಗ್ ಸ್ಕ್ಲಾಫ್ಲಿ 10 ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಟಾರ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಲ್ಲಿ 4 ಅನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಕೊಂಡರು, 6 ಅನ್ನು ಕೋಶಗಳು ಅಥವಾ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಯಾಯಿತಿ ಮಾಡಿದರು. 1883: ಎಡ್ಮಂಡ್ ಹೆಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ (ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) ಐನ್ಲೈಟಂಗ್ ಇನ್ ಡೈ ಲೆಹ್ರೆ ವಾನ್ ಡೆರ್ ಕುಗೆಲ್ಟೀಲುಂಗ್ ಮಿಟ್ ಬೆಸೊಂಡೆರೆರ್ ಬೆರಾಕ್ಸಿಚ್ಟಿಗಂಗ್ ಇಹ್ರೆರ್ ಅನ್ವೆಂಡಂಗ್ ಔಫ್ ಡೈ ಥಿಯೋರಿ ಡೆರ್ ಗ್ಲೀಚ್ಫ್ಲಾಕಿಜೆನ್ ಉಂಡ್ ಡೆರ್ ಗ್ಲೀಚೆಕಿಜೆನ್ ಪಾಲಿಡರ್ ನಲ್ಲಿ 10 ನಾನ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನಿಯಮಿತ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಮಿ-ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ಃ (ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅವರ ಏಕರೂಪದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿನ ವಿವಿಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು) 1900: ಥೊರೋಲ್ಡ್ ಗೊಸ್ಸೆಟ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಆನ್ ದಿ ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಅಂಡ್ ಸೆಮಿ-ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಫಿಗರ್ಸ್ ಇನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಫ್ ಎನ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಎಂಬ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಕೋಶಗಳೊಂದಿಗೆ (ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳು) ನಾನ್ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಸೆಮಿ-ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಸರಿಪಡಿಸಿದ 5-ಕೋಶ, ಸರಿಪಡಿಸಿದ 600-ಕೋಶ ಮತ್ತು ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. 1910: ಅಲಿಸಿಯಾ ಬೂಲ್ ಸ್ಟಾಟ್, ತನ್ನ ಪ್ರಕಟಣೆಯಾದ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕಲ್ ಡಿಡಕ್ಷನ್ ಆಫ್ ಸೆಮಿರೆಗುಲರ್ ಫ್ರಮ್ ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಫಿಲ್ಲಿಂಗ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಘನ ಮತ್ತು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಈ ರಚನೆಯು 45 ಅರೆ-ಕೋನೀಯ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದೆ, ಇದು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ನಾನ್ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ನೂಬ್ 24-ಸೆಲ್ ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಅವಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾಗಿವೆ. 1911: ಪೀಟರ್ ಹೆಂಡ್ರಿಕ್ ಸ್ಕೌಟೆ ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಂದ ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಪಡೆದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಬೂಲ್-ಸ್ಟಾಟ್ನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರು, 5-ಕೋಶ, 8-ಕೋಶ/16-ಕೋಶ ಮತ್ತು 24-ಕೋಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮರೂಪತೆಯಿಂದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿದರು. 1912: ಇ. ಎಲ್. ಎಲ್ಟೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಗೊಸೆಟ್ನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ದಿ ಸೆಮಿರೆಗುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಹೈಪರ್ಸ್ಪೇಸ್, ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸೆಮಿರೆಗುಲರ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳುಃ 1940: ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ತನ್ನ ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳುಃ 1965: ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ರೂಪಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ಗೈ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಕಟಣೆಯಾದ ನಾಲ್ಕು-ಆಯಾಮದ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಿದರು, ಇದನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಕೇವಲ ಒಂದು ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು. 1966ರಲ್ಲಿ ನಾರ್ಮನ್ ಜಾನ್ಸನ್ ತಮ್ಮ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧವಾದ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹನಿಕೋಂಬ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಲಹೆಗಾರ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅವರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು, 4 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. 1986 ರಲ್ಲಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ II ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶ ರಚನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅಸಂಗತ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. 1998-2000:4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನಾರ್ಮನ್ ಜಾನ್ಸನ್ ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಹೆಸರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಓಲ್ಶೇವ್ಸ್ಕಿಯ ಆನ್ಲೈನ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗಣನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಯಿತು (ಈ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಜಾನ್ಸನ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಕೋರಾ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿದರು, 3-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಂತೆ, ಗ್ರೀಕ್ ಮೂಲಗಳಾದ ಪಾಲಿ ("ಅನೇಕ") ಮತ್ತು ಚೋರೋಸ್ ("ಕೊಠಡಿ" ಅಥವಾ "ಸ್ಥಳ") ನಿಂದ. ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಕೋರಾದ ಹೆಸರುಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಉಂಗುರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯಗಳೊಂದಿಗೆ 6 ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಕೋರಾದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ; ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆ t0,1, ಕ್ಯಾಂಟಿಲೇಷನ್, t0,2, ರನ್ಸಿನೇಷನ್ t0,3, ರೆಕ್ಟಿಫೈಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಏಕ ಉಂಗುರದ ರೂಪಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಉಂಗುರವು ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಮೂರನೇ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿರುವಾಗ ದ್ವಿ, ಟ್ರೈ-ಪ್ರಿಫಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 2004: ಕಾನ್ವೇ-ಗೈ ಸೆಟ್ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಕೊ ಮುಲ್ಲರ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧವಾದ ವೈರ್ಡಿಮೆನ್ಶನಲ್ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ಚೆ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಮುಲ್ಲರ್ ತನ್ನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಜಾನ್ಸನ್ನ ಹೆಸರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಿದನು. 2008: ದಿ ಸಿಮೆಟ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಥಿಂಗ್ಸ್ ಅನ್ನು ಜಾನ್ ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಮೊದಲ ಮುದ್ರಣ-ಪ್ರಕಟಿತ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿ ರಿಂಗ್ಡ್ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ-ಸ್ನೂಬ್, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಮತ್ತು ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ಗಳು-ಇದನ್ನು ಅವರು ಉತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರೋಪ್ರಿಸಮ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆದರು. ಅವರು ತಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಐಜ್ಕ್-ಅಂಬೋ ಹೆಸರಿಸುವ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಂಗುರದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಿಟ್ರಂಕೇಷನ್ ಅನ್ನು ಮೀರಿ ಬಳಸಿದರು ಮತ್ತು ಜಾನ್ಸನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಪುಸ್ತಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು. ಅನಿಯಮಿತ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷತ್ರ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳುಃ (ನಾನ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ) 1966: ಜಾನ್ಸನ್ ತನ್ನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ 4-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ನಾನ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಒಂದು ಸಹಯೋಗದ ಹುಡುಕಾಟದಲ್ಲಿ, 2005ರವರೆಗೆ ಜೊನಾಥನ್ ಬೋವರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಓಲ್ಶೆವ್ಸ್ಕಿ ಒಟ್ಟು 1845 ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ನಾನ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್) ಗುರುತಿಸಿದ್ದರು, ಜೊತೆಗೆ 2006ರಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 1849ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಕಂಡುಬಂದವು. ಎಣಿಕೆ 75 ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ 74 ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಇದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದರಿಂದ-ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ ಅನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಅನಂತ ವರ್ಗಗಳು ಅಥವಾ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳಲ್ಲ. 2020-2023:342 ಹೊಸ ಪಾಲಿಕೋರಾಗಳು ಕಂಡುಬಂದವು, ಇದು ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2191ಕ್ಕೆ ತಂದಿತು. ಈ ಪಟ್ಟಿಯು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. ನಿಯಮಿತ 4-ಬಹುಪದಗಳು ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ಲಾಫ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು {p, q, r} ಪ್ರಕಾರದ ಜೀವಕೋಶಗಳು {p, q}, ಪ್ರಕಾರದ ಮುಖಗಳು {p}, ಅಂಚಿನ ಅಂಕಿಗಳು {r}, ಮತ್ತು ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳು {q, r}. ಸಾಮಾನ್ಯ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ {p, q, r} ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಕೋಶಗಳಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರ {p, q} ಮತ್ತು ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿ-ಅಂಶವಾಗುವ {q, r} ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆಃ 16 ನಿಯಮಿತ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು, ಎಲ್ಲಾ ಕೋಶಗಳು, ಮುಖಗಳು, ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆಃ 6 ನಿಯಮಿತ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳುಃ 5-ಕೋಶ {3,3,3}, 8-ಕೋಶ {4,3,3}, 16-ಕೋಶ {3,3,4}, 24-ಕೋಶ {3,4,3}, 120-ಕೋಶ {5,3,3}, ಮತ್ತು 600-ಕೋಶ [3,3,5]. 10 ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರ 4-ಬಹುಪದಗಳು-ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ 120-ಕೋಶ, ಸಣ್ಣ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 120-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 600-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 600-ಕೋಶ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ 3, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ID6, ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ 120-ಕೋಶ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿ 4-ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ 5 ಮೂಲಭೂತ ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿ ಬಿಂದು ಗುಂಪು ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆಃ A4 =, B4 =, D4 =, F4 =, H4 =. 3 ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು A3A1 =, B3A1 =, H3A1 =, ಮತ್ತು ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿವೆಃ I2 (p) × I2 (q) =. ಪ್ರತಿ ಗುಂಪನ್ನು ಕನ್ನಡಿ ಸಮತಲಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಗೌರ್ಸ್ಯಾಟ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ವೈಥಾಫ್ ರಚನೆಯಿಂದ 4 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಬಿಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡ್ಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ಉಂಗುರಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಣ್ಣದ ನೋಡ್ಗಳಿಂದ ನೋಡಿದಂತೆ, ಕನ್ನಡಿ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳನ್ನು ಸಮ-ಶಾಖೆಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. [a, b, a] ರೂಪದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳು, [a, b, a] ಎಂಬ ವಿಸ್ತೃತ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು [3,3,3], [3,4,3], ಮತ್ತು [p, 2, p] ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಈ ವಿಸ್ತೃತ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಣ್ಣದ ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ನಡಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನಲ್ಲಿ ಉಂಗುರರಹಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ನಿಷ್ಕ್ರಿಯವಾಗಿದ್ದರೆ), ಅದು ಎಲ್ಲಾ ನಿಷ್ಕ್ರಿಯ ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಣ್ಣದ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್ಗಳು ರಿಂಗ್ (ಸಕ್ರಿಯ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು "ಖಾಲಿ" ವೃತ್ತಾಕಾರದ ನೋಡ್ಗಳು "ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎಣಿಕೆ 6 ನಿಯಮಿತ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ 64 ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. 5 ಪ್ಲ್ಯಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳಾಗಿವೆ (1 ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಹೈಪರ್ಪ್ರಿಸಮ್ ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ನಿಯಮಿತದೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ) 13 ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಘನವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳಾಗಿವೆ 9 ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ನಿಯಮಿತ A4 [3,3,3] ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿವೆ (5-ಕೋಶ) ಕುಟುಂಬ. 9 ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ನಿಯಮಿತ ಎಫ್4 [3,4,3] ಗುಂಪಿನ (24-ಕೋಶ) ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿವೆ. (ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) 15 ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿ4 [3,3,4] ಗುಂಪಿನ (ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್/16-ಕೋಶ) ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿವೆ (3 24-ಕೋಶ ಕುಟುಂಬದೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ) 15 ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಚ್4 [3,3,5] ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿವೆ (120-ಕೋಶ/600-ಕೋಶ) ಕುಟುಂಬ. [3,4,3] ಗುಂಪಿನ (24-ಕೋಶ) ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ 1 ವಿಶೇಷ ಸ್ನೂಬ್ ರೂಪ. 1 ವಿಶೇಷ ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್. ಒಟ್ಟುಃ 68−4 = 64 ಈ 64 ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಜಾರ್ಜ್ ಓಲ್ಶೆವ್ಸ್ಕಿ ಕೆಳಗೆ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಮ್ಮಿತಿ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ 64ರ ಜೊತೆಗೆ, ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ 2 ಅನಂತ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆಃ ಏಕರೂಪದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ಸೆಟ್-sr {p, 2} × {}-ಎರಡು ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು. ಏಕರೂಪದ ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಸೆಟ್-{p} × {q}-ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಎ4 ಕುಟುಂಬ 5-ಕೋಶವು 120 ಕ್ರಮದ ದ್ವಿಗುಣ ಪೆಂಟಾಕೋರಿಕ್ [3,3,3] ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಐದು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಮುಖಗಳನ್ನು (ಕೋಶಗಳನ್ನು) ಅವುಗಳ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷತ್ರ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೂರು ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದ ರೂಪಗಳು, *, 240ನೇ ಕ್ರಮದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಸ್ತೃತ ಪೆಂಟಾಕೋರಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ 5-ಕೋಶದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ದ್ವಿಗುಣದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪು [3,3,3] +, ಆರ್ಡರ್ 60, ಅಥವಾ ಅದರ ಡಬಲಿಂಗ್ +, ಆರ್ಡರ್ 120 ಇದೆ, ಇದು ಓಮ್ನಿಸ್ನಬ್ 5-ಕೋಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ. ಬಿ4 ಕುಟುಂಬ ಈ ಕುಟುಂಬವು ದ್ವಿಗುಣ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಕಾಕೋರಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, [<ಐಡಿ1], 24x16 = 384:4! = ನಾಲ್ಕು ಅಕ್ಷಗಳ 24 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು, ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ 24 = 16. 3 ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಮೊದಲ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಇವು ಇತರ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತವೆ, [1 +, 4,3,3], [4, (3,3) +], ಮತ್ತು [4,3,3] +, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳು 192. ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು 16-ಕೋಶ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು (*) ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವಂತೆಯೇ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, 16-ಕೋಶವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ 24-ಕೋಶವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮುಂದಿನ ಕುಟುಂಬದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ. ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಈ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅರ್ಧ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ [(3,3) +, 4] ಕ್ಯಾಂಟಿಟ್ರಂಕೇಟೆಡ್ 16-ಕೋಶ ಅಥವಾ ಮೊಟಕುಗೊಂಡ 24-ಕೋಶದ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋಶಗಳು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಘನಗಳು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಅಂತರಗಳಲ್ಲಿ 96 ಹೊಸ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್4 ಕುಟುಂಬ ಈ ಕುಟುಂಬವು ದ್ವಿಗುಣಿತ ಐಕೋಸಿಟೆಟ್ರಾಕೋರಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, [3,4,3], 24x48 = 1152ರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಃ 24 ಜೀವಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ 48 ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು. 3 ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಮೊದಲ ಎರಡು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಜೋಡಿಗಳು ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಇವು ಇತರ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತವೆ, [3 +, 4,3], [3,4,3 +], ಮತ್ತು [3,4,3] +, ಇವೆಲ್ಲವೂ 576ರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶವು, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಸರಿನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸ್ನೂಬ್ ಕ್ಯೂಬ್ಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ; ಬದಲಿಗೆ, ಅದನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ 24-ಕೋಶದ ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಸಮ್ಮಿತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೇವಲ 576, (ಅಯಾನಿಕ್ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಐಕೋಸಿಟೆಟ್ರಾಕೋರಿಕ್ ಗುಂಪು, [3 +, 4,3]). 5-ಕೋಶದಂತೆ, 24-ಕೋಶವು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ರೂಪಗಳು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು 2304ಕ್ಕೆ ತರುತ್ತವೆ (ವಿಸ್ತೃತ ಐಕೋಸಿಟೆಟ್ರಾಕೋರಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿ). ಈ ಕುಟುಂಬವು 120 ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ 120x120 = 24x600 = 14400:120 ಕ್ರಮದ ದ್ವಿಗುಣ ಹೆಕ್ಸಾಕೊಸಿಕೋರಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ 600 ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ 24 ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ [5,3,3] +, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮ 7200. 120-ಜೀವಕೋಶದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು 600-ಜೀವಕೋಶದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು ಡಿ4 ಕುಟುಂಬ ಈ ಡೆಮಿಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ ಕುಟುಂಬವು, [<ಐಡಿ1], ಯಾವುದೇ ಹೊಸ ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಪರ್ಯಾಯ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕುಟುಂಬವು ನಾಲ್ಕು ಅಕ್ಷಗಳ ಕ್ರಮ 12 × 16 = 192:4!/2 = 12 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅರ್ಧ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ 24 = 16. ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ, [31,1,1] +, ಕ್ರಮ 96. 3 ವಿಭಜಿತ ಶಾಖೆಯ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ರಿಂಗ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು 6 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು, [3 [31,1,1] = [3,4,3], ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು 24-ಕೋಶ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶವು, ಈ ಬಾರಿ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ [31,1,1] +, ಅಳಿಸಲಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ 96 ಹೊಸ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ 24-ಕೋಶದ ಪರ್ಯಾಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಸ್ನೂಬ್ ಮಾಡಲಾದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವುದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಈ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಕೆಪ್ಲರ್ ಸ್ನೂಬ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸ್ನೂಬ್ ಕ್ಯೂಬ್ ಮತ್ತು ಸ್ನೂಬ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್. ಗ್ರಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಏಕರೂಪದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಇದೆ, ಇದು 20 ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು 300 ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಎರಡು ಲಂಬವಾದ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬ್ಯಾಂಡ್ನಿಂದ ಸೇರಿಕೊಂಡ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲ. ಇದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅಯಾನಿಕ್ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪು, [10,2 +, 10], ಆರ್ಡರ್ 400 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ ಎರಡು ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ; ಪರಿಚಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ 3-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು, ಅವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳು ಎರಡು ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆಃ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು-ಒಂದು ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್. ಈ ಕುಟುಂಬವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು 3-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಡುಯೋಪ್ರಿಸಮ್ಸ್ಃ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕುಟುಂಬವೆಂದರೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು, ಅಂದರೆ. ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಅಂತಹ 4-ಬಹುಪದಗಳ ಜೀವಕೋಶಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ (ಬೇಸ್ ಕೋಶಗಳು) ಇರುವ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು (ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಕೋಶಗಳು) ಸೇರುವ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ಪದರಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕುಟುಂಬವು 75 ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 18 ಕನ್ವೆಕ್ಸ್; ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಕ್ಯೂಬ್-ಪ್ರಿಸ್ಮ್, ಮೇಲೆ ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ ಎಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ). 18 ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳನ್ನು 5 ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು 13 ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಘನವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೇಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳುಃ A3 × A1 ಈ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು [3,3,2], 48ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ, [(3,3) +, 2] ಮತ್ತು [3,3,2] +, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳುಃ B3 × A1 ಈ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಕುಟುಂಬದ ಸಮ್ಮಿತಿಯು [4,3,2], 96ನೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ 2, ಕ್ರಮ 48ರ 6 ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪರ್ಯಾಯ 4-ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಮಿತಿಗಳೆಂದರೆ [(4,3) +, 2], [1 +, 4,3,2], [4,3,2 +], [4,3 +, 2], [4, (3,2) +], ಮತ್ತು [4,3,2] +. ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳುಃ H3 × A1 ಈ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯು [5,3,2], 240ರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಉಪಗುಂಪುಗಳಿವೆ, [(5,3) +, 2] ಮತ್ತು [5,3,2] +, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಕೋರಾನ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಡುಯೋಪ್ರಿಸಮ್ಗಳುಃ [p] × [q] ಎರಡನೆಯದು ಏಕರೂಪದ ಡುಯೋಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಡುಯೋಪ್ರಿಸಮ್ನ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡಿಂಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು. ಇದರ ಶೃಂಗದ ಆಕೃತಿಯು ಡಿಸ್ಪೆನಾಯ್ಡ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಕುಟುಂಬವು ಮೊದಲನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡು "ಅಂಶ" ಬಹುಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಇರುವ ಹೈಪರ್ಪ್ರಿಸಂಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. p-ಗನ್ ಮತ್ತು q-ಗನ್ (a "p, q-ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್") ಅಂಶಗಳಿರುವ ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು p ≤ q ಆಗಿದ್ದರೆ 4pq ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂಶಗಳು ಎರಡೂ p-ಗನ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮ್ಮಿತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು 8p2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ಅನ್ನು 4,4-ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ ಎಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. {p} × {q} ನ ವಿಸ್ತೃತ f-ವಾಹಕವು (p, p, 1) * (q, q, 1) = (pq, 2pq, pq + p + q, p + q) ಆಗಿದೆ. ಜೀವಕೋಶಗಳುಃ p-q-ಗೋಣಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು, q-p-ಗೋಣಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು ಮುಖಗಳುಃ pq ಚೌಕಗಳು, p-q-ಗೋನ್ಗಳು, q-p-ಗೋನ್ಗಳ ಅಂಚುಗಳುಃ 2pq ಶೃಂಗಗಳು-pq ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಾದೃಶ್ಯವಿಲ್ಲ. p-q ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ನ ಅನಂತ ಸೆಟ್-- p q-ಗೋಣಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು, q p-ಗೋಣಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳುಃ ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಸಾಧ್ಯ. = ಡ್ಯುಯೊಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. p = q = 2 ಅನ್ನು ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ 16-ಕೋಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. p = 5, q = 5/3 ಅನ್ನು ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗ್ರೇಟ್ ಡುಯಾಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು p-2q-ಗೋಣಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಯಾಂಟಿಪ್ರಿಸ್ಮಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು (2p-4q ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ನ ಅಂಚಿನ-ಪರ್ಯಾಯ) ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳುಃ [p] × [] × [] ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ಅನಂತ ಸಮೂಹವು 4-p ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಃ (p ± 3)-- p ಘನಗಳು ಮತ್ತು 4 p-ಗೋಣಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು-(ಎಲ್ಲವೂ 4-p ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ನಂತೆಯೇ) ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ನ ಕಡಿಮೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, {4} × {4}. ಪಾಲಿಗೋನಲ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳುಃ [p] × [] × [] ಏಕರೂಪದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಏಕರೂಪದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ): (p ≤ 2)-- 2 p-ಗೋನ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳು, 2 p-ಗೋನ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು ಮತ್ತು 2p ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಪಿ-ಗೋಣಲ್ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ 4ಪಿ ತ್ರಿಕೋನ, 4ಪಿ ಚದರ ಮತ್ತು 4ಪಿ-ಗೋನ್ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು 10p ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 4p ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಎಲ್ಲಾ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ 4ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿತು (ಖಾಲಿ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ನೋಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಮೊದಲನೆಯದು, s {21,1,1}, ಇದು ಡೆಮಿಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ನ ಸೂಚ್ಯಂಕ 24 ಉಪಗುಂಪನ್ನು (ಸಮ್ಮಿತಿ [2,2,2] +, ಕ್ರಮ 8) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, h {4,3,3} (ಸಮ್ಮಿತಿ [1 +, 4,3,3] = [31,1,1], ಕ್ರಮ 192). ಎರಡನೆಯದು, s {31,1,1}, ಇದು ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶದ ಸೂಚ್ಯಂಕ 6 ಉಪಗುಂಪು (ಸಮ್ಮಿತಿ [31,1,1 +, ಕ್ರಮ 96) ರೂಪವಾಗಿದೆ, s {3,4,3}, (ಸಮ್ಮಿತಿ [3 +, 4,3], ಕ್ರಮ 576). ಇತರ ಪರ್ಯಾಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಓಮ್ನಿಟ್ರಂಕೇಟೆಡ್ ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ನಿಂದ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಮಾನ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಿತಿಮೀರಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಆರು ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ ಆದರೆ ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ). ಅಂತಹ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಉಂಗುರದ ಆಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳ ಎರಡು ಅರ್ಧ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಶೃಂಗ-ಪರಿವರ್ತಕ 4-ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಸಮಾನ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಏಕರೂಪದ ಪರ್ಯಾಯಗಳಂತೆಯೇ, ಅವು ಏಕರೂಪದ ಆಕೃತಿಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ [4,3,3] +, ಕ್ರಮ 192, ಪರ್ಯಾಯ ಸರ್ವವ್ಯಾಪಿ ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯಗಳೊಂದಿಗಿನ ವೈಥಾಫ್ ರಚನೆಗಳು ಶೃಂಗ-ಪರಿವರ್ತಕ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಬಾಹು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂತರಗಳು (ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಸುತ್ತಲೂ) ನಿಯಮಿತ ಅಥವಾ ಅರೆ-ನಿಯಂತ್ರಕವಲ್ಲದ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಅಂಕಿ-ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿತ ಹೆಸರು ಕ್ಯಾಲಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್. ಈ ವರ್ಗವು ಜಾನ್ಸನ್ ಘನವಸ್ತುಗಳ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಜೀವಕೋಶಗಳಾಗಿ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಕುಪೋಲಾ. ಜಾನ್ಸನ್ ಘನದೊಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗದ ಸಂರಚನೆಯು ಶೃಂಗದ ಆಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚೌಕಾಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ತಳದ ಸುತ್ತಲೂ 3.3.4 ಮತ್ತು ತುದಿಯಲ್ಲಿ 3.3.3.3. ನಾಲ್ಕು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಮಬಾಹು ಪ್ರಕರಣಗಳ ಬಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಸುತ್ತಲಿನ ಕೋಶಗಳ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 46 ನಾನ್ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಕೋರಾಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು 46 ವೈಥೋಫಿಯನ್ 4-ಬಹುಪದಗಳು ಆರು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನಿಯಮಿತ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಉಳಿದ ನಲ್ವತ್ತನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಲಿಕೋರಾದಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಅವುಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ 4-ಬಹುಪದಗಳಿಂದ 40 ಏಕರೂಪದ 4-ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಶೃಂಗಗಳು, ಅಂಚುಗಳು ಅಥವಾ ಮುಖಗಳಲ್ಲಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳ ಕಾಲಮ್ಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಆ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಶಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವೈಥೋಫಿಯನ್ ಕೆಲಿಡೋಸ್ಕೋಪ್ನ ನಾಲ್ಕು ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ನೋಡ್ಗಳಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಕನ್ನಡಿಗಳ (π/n ರೇಡಿಯನ್ಗಳು ಅಥವಾ 180/n ಡಿಗ್ರಿಗಳು) ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ನೋಡ್ಗಳು ಪ್ರತಿ ರೂಪಕ್ಕೂ ಯಾವ ಕನ್ನಡಿಗಳು ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ; ಅದರ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕನ್ನಡಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಕ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಜೇನುಗೂಡುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಘನ ಜೇನುಗೂಡಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (ಟೆಸೆರಾಕ್ಟ್ ಮತ್ತು 16-ಕೋಶ, ಅಥವಾ 120-ಕೋಶ ಮತ್ತು 600-ಕೋಶಗಳಂತಹವು), ನಂತರ ಬಿಟ್ರಂಕೇಟಿಂಗ್, ರನ್ಸಿನೇಟಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಓಮ್ನಿಟ್ರಂಕೇಟಿಂಗ್ ಎರಡೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಅದು ಎರಡೂ ಪೋಷಕರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಎ4, ಬಿ4, ಎಫ್4, ಎಚ್4 ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ 46 ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಕೋರಾಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪೂರ್ಣ ವಿಸ್ತೃತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ನಕಲುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಡಿ4 ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೂ, ವಿವಿಧ ಕುಟುಂಬಗಳಿಂದ ಅದರ 3 ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ನೂಬ್ 24-ಕೋಶವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆವರಣದಲ್ಲಿನ ಎಣಿಕೆಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು 1ರಿಂದ 46ರವರೆಗಿನ ಚಂದಾದಾರಿಕೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 3-3 ಮತ್ತು 4-4 ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಬಿ 4 ಕುಟುಂಬದೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡನೆಯದು. ಏಕರೂಪದ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಕೋರಾ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಅನಂತ ಡ್ಯೂಪ್ರಿಸಮ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನೇಕ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಕೋರಾಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. 1852ರಲ್ಲಿ, ಲುಡ್ವಿಗ್ ಶ್ಲಾಫ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರಗಳಾದ ಪಾಲಿಕೋರಾಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರುಃ {5,3,5 2}, {5/2,3,5}, {3,3,5 2}, ಮತ್ತು {5/2,3,3}. 1883ರಲ್ಲಿ, ಎಡ್ಮಂಡ್ ಹೆಸ್ ಇತರ ಆರುಃ {3,5,5 2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, ಮತ್ತು {3,5/2,5} ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ನಾರ್ಮನ್ ಜಾನ್ಸನ್ ಅವರು 1966 ರ ತಮ್ಮ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಏಕರೂಪದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ತರಹದ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಕೋರಾವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂರು ಡೈಟ್ರಿಗೋನಲ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಅಂದಿನಿಂದ ಜೊನಾಥನ್ ಬೋವರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಓಲ್ಶೆವ್ಸ್ಕಿ ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರ ಸಂಶೋಧಕರು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಒಟ್ಟು 2125 ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಕೋರಾವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಸ್ಟಾರ್ ಪಾಲಿಗನ್ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಪ್ರಸ್ತುತ ಸೆಟ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ 3-ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ 4-ಸ್ಪೇಸ್ ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಜೇನುಗೂಡಿನ-ಸಂಬಂಧಿತ ಅನಂತ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ನಿಯಮಿತ ವಕ್ರ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಜೇನುಗೂಡುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಂತ 4-ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಪ್ಯಾರಾಕಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಏಕರೂಪದ ಜೇನುಗೂಡುಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎ. ಬೂಲ್ ಸ್ಟಾಟ್ಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪೇಸ್ ಫಿಲ್ಲಿಂಗ್ಗಳಿಂದ ಸೆಮಿರೆಗುಲರ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಡಿತ, ಕೊನಿನ್ಕ್ಲಿಜ್ಕೆ ಅಕಾಡೆಮಿಯ ವೆರ್ಹಾಂಡೆಲಿಂಗನ್ ವ್ಯಾನ್ ವೆಟೆನ್ಸ್ಚಾಪೆನ್ ಅಗಲ ಘಟಕ ಆಮ್ಸ್ಟರ್ಡ್ಯಾಮ್, ಎರ್ಸ್ಟೆ ಸೆಕ್ಟಿ 11,1, ಆಮ್ಸ್ಟರ್ಡ್ಯಾಮ್, 1910 ಬಿ. ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್; ಲಂಡನ್ಃ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, c2003. .. ವೋಲ್ಕರ್ ಕೈಬೆಲ್, ವಿಕ್ಟರ್ ಕ್ಲೀ ಮತ್ತು ಗುಂಟರ್ ಎಮ್. ಜೀಗ್ಲರ್ ಅವರು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ಃ ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸೆಟರ್, ಎಂ. ಎಸ್. ಲಾಂಗ್-ಹಿಗ್ಗಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಸಿ. ಪಿ. ಮಿಲ್ಲರ್ಃ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ, ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸಾಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ರಾಯಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ಆಫ್ ಲಂಡನ್, ಲಂಡನ್, 1954 ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಡೋವರ್ ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1973 ಕೆಲಿಡೋಸ್ಕೋಪ್ಸ್ಃ ಸೆಲೆಕ್ಟೆಡ್ ರೈಟಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಎಫ್. ಆರ್ಥರ್ ಶೇರ್ಕ್, ಪೀಟರ್ ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್, ಆಂಥೋನಿ ಸಿ. ಥಾಂಪ್ಸನ್, ಏಷ್ಯಾ ಐವಿಕ್ ವೈಸ್, ವಿಲೇ-ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್, 1995, (ಪೇಪರ್ 22) ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ I, [ಗಣಿತ. ಜೀತ್. 46 (1940) 380-407, ಎಂಆರ್ 2,10] (ಪೇಪರ್ 23) ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ II, [ಮಠ. ಜೀತ್. 188 (1985) 559-591] (ಪೇಪರ್ 24) ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ III, [ಮಠ. ಜೀತ್. 200 (1988) 3-45] ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಓ. ಜೆ. ಮೋಸರ್. ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳು 4 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್. 1980 ಪುಟ 92, ಪುಟ 122. ಜಾನ್ ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ, ಹೈಡಿ ಬರ್ಗಿಯಲ್, ಚೈಮ್ ಗುಡ್ಮ್ಯಾನ್-ಸ್ಟ್ರಾಸ್, ದಿ ಸಿಮೆಟ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಥಿಂಗ್ಸ್ 2008, (ಅಧ್ಯಾಯ 26) ಜಾನ್ ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ ಮತ್ತು ಎಂ. ಜೆ. ಟಿ. ಗೈಃ ಫೋರ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಕೊಲೋಕ್ವಿಯಂ ಆನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ ಅಟ್ ಕೋಪನ್ ಹ್ಯಾಗನ್, ಪುಟ 38 ಮತ್ತು 39,1965 ಎನ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜಾನ್ಸನ್ಃ ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹನಿಕೋಂಬ್ಸ್, ಪಿಎಚ್ಡಿ ಡಿಸರ್ಟೇಶನ್, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಟೊರೊಂಟೊ, 1966 ಎನ್. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜಾನ್ಸನ್ಃ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳು, (2015) ಅಧ್ಯಾಯ 11: ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪುಗಳು ರಿಚರ್ಡ್ ಕ್ಲಿಟ್ಜಿಂಗ್, ಸ್ನಬ್ಸ್, ಪರ್ಯಾಯ ಮುಖಗಳು, ಮತ್ತು ಸ್ಟಾಟ್-ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು, ಸಮ್ಮಿತಿಃ ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನ, ಸಂಪುಟ. 21, ಸಂಖ್ಯೆ 4,329-344, (2010) ಗೂಗಲ್ ಬುಕ್, 370-381 ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಏಕರೂಪ, ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು, ಮಾರ್ಕೊ ಮುಲ್ಲರ್. ಜೊನಾಥನ್ ಬೋವರ್ಸ್, ಜಾರ್ಜ್ ಓಲ್ಶೆವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ನಾರ್ಮನ್ ಜಾನ್ಸನ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಈ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಅವಲೋಕನ ಜಾವಾ 3ಡಿ ಆಪಲ್ಗಳು ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾನ್ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ 4-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಜೋನಾಥನ್ ಬೋವರ್ಸ್ ಸ್ಟೆಲ್ಲಾ 4ಡಿ ಸ್ಟೆಲ್ಲಾ (ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್) 64 ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಅನಂತ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಚೋರಾದ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಸ್ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಜ್ಯಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ ಮಾಡರ್ನ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದ 4ಡಿ-ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ದೇರ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಎ4), ಸಂಪುಟ. 9, ನಂ. 4 (2012) ಮೆಹ್ಮೆತ್ ಕೋಕಾ, ನಜೀಫ್ ಓಜ್ದೆಸ್ ಕೋಕಾ, ಮುಧಾಹಿರ್ ಅಲ್-ಅಜ್ಮಿ (2012) 4-ಬಹುಪದಗಳು