Combinatorial principles
ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜನೆಯ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊತ್ತದ ನಿಯಮ, ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆ-ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎಣಿಕೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾರಿವಾಳದ ರಂಧ್ರದ ತತ್ವವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೊ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊ ವಸ್ತುವಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುರುತುಗಳು ಎರಡು ಎಣಿಕೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಬಲ ಸಾಧನಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೂ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಮೊತ್ತದ ನಿಯಮವು ಒಂದು ಘಟನೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು (ಅಥವಾ ಏನನ್ನಾದರೂ ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗಗಳು) ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆಗೆ (ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮಾರ್ಗಗಳು) ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಎರಡೂ ಸಂಭವಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಅಥವಾ ಎರಡು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ), ಆಗ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು (ಅಥವಾ ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲು ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳು) ಇವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಒಂದು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಗಾತ್ರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವು ಏನನ್ನಾದರೂ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಿ ಮಾರ್ಗಗಳಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಎ·ಬಿ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮತ್ತೊಂದು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆ-ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವವು ಸೇರ್ಪಡೆ-ಹೊರಗಿಡುವ ತತ್ವವು ಅನೇಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಗಾತ್ರ, ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ನ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಛೇದನದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಇದ್ದಾಗಃ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, A1,....................................................................................................... ಡಬಲ್ ಎಣಿಕೆಯು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಣಿಸುವ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಪಾರಿವಾಳದ ರಂಧ್ರದ ತತ್ವವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎ> ಬಿ, ನಂತರ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶದ ವಿಧಾನವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶದ ವಿಧಾನವು ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಗುಂಪಿನ "ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶ" ವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮದ ಪದಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಕ್ರಮದ ಈ ಹೊಸ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುರುತುಗಳು ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನುಕ್ರಮದ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಪದಗಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳು