Maschke's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೆನ್ರಿಕ್ ಮಾಸ್ಕೆಯವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಜಿ ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆಯೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ವಹಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ತುಣುಕುಗಳ (ಘಟಕಗಳು) ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಜೋರ್ಡಾನ್-ಹೋಲ್ಡರ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಉಪ ನಿರೂಪಣೆಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೂ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ತುಣುಕುಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆಃ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಉಪ ನಿರೂಪಣೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಯಾವಾಗ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ತರವನ್ನು) ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಗಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನಂತರ ಅದರ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಗುಂಪಿನ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ವರ್ಗ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ನೈಸರ್ಗಿಕ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಷುರ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎಂಬ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಮಾಡ್ಯೂಲ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಅದರ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ ನಡುವೆ ವರ್ಗಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ). ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೇಳುತ್ತದೆಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನರ್ರಚಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಅರೆ-ಸರಳ ಉಂಗುರಗಳ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್-ಆರ್ಟಿನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನೀಡಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾವಾಗ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಹಲವಾರು ಪ್ರತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು. ಕ್ಷೇತ್ರವು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೈಜ ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಭಜನಾ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸಂಕಲನಗಳು ಓವರ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ವರ್ಗಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನರ್ರಚಿಸಲಾದ ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ, ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಗ್ರೂಪ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯು ಅನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನ ವಿ ಪೂರಕದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, W ಮತ್ತು V ಮೇಲೆ G ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಣ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ G ಯಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆನ್ ನಿರ್ಬಂಧವು ಸಹ ಒಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಮಾಡ್ಯೂಲ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ V ಒಂದು K [G]-ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. V ಒಂದು ನೇರ ಸಾರಾಂಶ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಂತರ φ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ K-ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, K [G] ಅನ್ನು V ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು V ಮೇಲೆ ಗುರುತನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ, K [G] ಅನ್ನು V ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ). ಇದಲ್ಲದೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ φ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ K [G]-ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ. ವಿಭಜಿತ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ,. ಪ್ರತಿ ಉಪಘಟಕವು ನೇರ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕೆ [ಜಿ] ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಹೇಳಿಕೆ ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯು Kಯಲ್ಲಿ #G ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮವು ಸಹ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳಲು ಕಾರಣವಾಗಬಹುದುಃ Kಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು Gಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಅದು K [G] ಅರೆ ಸರಳವಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ ಹೌದು. ಪುರಾವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ I ಒಂದು K [G]-ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಕೆ [ಜಿ] ಯ ಪ್ರತಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉಪಘಟಕ ವಿ ಗೆ, ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. V ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ, ಮತ್ತು V ಯ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಾಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಿಡಿ. ನಂತರ ಅದು I ಮತ್ತು V ಎರಡರಲ್ಲೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದು V ಎಲ್ಲಾ V ಗೆ I ನ ನೇರ ಪೂರಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ K [G] ಅರೆ ಸರಳವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲದ G ಅನಂತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ K ಕ್ಷೇತ್ರವು #G ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನಂತ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. 1-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ವ್ಯಾಪಿಸಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧವು ಅದರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಉಪ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, W, U ಎರಡೂ ಮತ್ತುಃ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ U ಯು 1-ಆಯಾಮದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ 1-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಏಕೈಕ ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p, ಮತ್ತು ಗುಂಪು, ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸರಳವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ವಾದದಿಂದ, 1-ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು 1-ಆಯಾಮದ ಉಪ-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು