Bounded set
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಬಂಧಿಸಲ್ಪಡದ ಗುಂಪನ್ನು ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ "ಬೌಂಡೆಡ್" ಎಂಬ ಪದವು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಬೌಂಡರಿಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತವು ಗಡಿರೇಖೆಯಿಲ್ಲದ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಒಂದು ಗಡಿರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ x2 + 1 ಮತ್ತು x2-1 ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿರುವ 2-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಸ್ಥಳ R2ನ ಉಪಗುಂಪು S ಅನ್ನು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ). ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ S ಅನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ k ಇದ್ದರೆ (S ನಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಅಂದರೆ S ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ s ಗಳಿಗೂ k ≤ s. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡೂ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬಂಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬಂಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ (M, d) ನ ಉಪಗುಂಪು S, r> 0 ಇದ್ದರೆ, ಅದು S ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ s ಮತ್ತು t ಗೆ, ನಾವು d (s, t) <r ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ (M, d) ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ (ಅಥವಾ d ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ) M ತನ್ನದೇ ಆದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಒಟ್ಟು ಮಿತಿಯು ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Rnನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಇವೆರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆರ್. ಎನ್. ನ ಉಪವಿಭಾಗವು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೈನ್-ಬೋರೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ನೆಸ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಬೌಂಡೆಡ್ನೆಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಏಕರೂಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಂತೆ, ನಂತರ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅದು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಬಂಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಮಿತಿಯ ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು "ಗಾತ್ರ" ದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗಣ Pಯ ಉಪಗುಂಪು Sಅನ್ನು, Pಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶ k ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ Sಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ sಗಳಿಗೆ k ± s ಇದ್ದರೆ, ಮೇಲೆ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. k ಅಂಶವನ್ನು Sನ ಮೇಲಿನ ಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬಂಧದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.) ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ ಪಿ ಯ ಉಪವಿಭಾಗ ಎಸ್ ಅನ್ನು ಅದು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡೂ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇವಲ ಸೆಟ್ ಎಸ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪಿ ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಸೆಟ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎ ಬೌಂಡೆಡ್ ಪೊಸೆಟ್ ಪಿ (ಅಂದರೆ, ಸ್ವತಃ, ಉಪವಿಭಾಗವಲ್ಲ) ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಯ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸೀಮಿತ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಪಿ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮದ ನಿರ್ಬಂಧದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಬೌಂಡೆಡ್ ಪೊಸೆಟ್ ಪಿ ಯ ಉಪವಿಭಾಗ ಎಸ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಪೊಸೆಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆರ್. ಎನ್. ನ ಉಪಗುಂಪು ಎಸ್. ಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಆರ್. ಎನ್. ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ ಮಾತ್ರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಸ್ ಅನ್ನು ಆರ್. ಎನ್. ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಲೆಕ್ಸಿಕೋಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಲ್ಲ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಅಥವಾ ಕೋಫೈನಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಅಂಶವಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್" ಎಂದರೆ ಸ್ವತಃ ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿ ಅನ್ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದರ್ಥ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಡೊಮೇನ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಬೌಂಡೆಡ್ನೆಸ್ ಆರ್ಡರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಆರ್ಡರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ