Liouville field theory
ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅನುರೂಪ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಚಲನೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅದರ ವಿರಾಸೊರೊ ಸಮ್ಮಿತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರ ಚಾರ್ಜ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಅದರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿಯು. ಇದು ನಿರಂತರ ವರ್ಣಪಟಲದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಮೂರು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಚಯ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂಬ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಘಾತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದಾಗಿ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮುಕ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರವಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಜೋಡಣೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಶಕ್ತಿಯ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಶಕ್ತಿಯ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೊದಲು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಆವೇಗವು ಹಿನ್ನೆಲೆ ಚಾರ್ಜ್ ಇರುವ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಈ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗಿಲ್ಲ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಘಾತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವರ್ಣಪಟಲವು ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತದ ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ವರ್ಮಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ-ಚಲಿಸುವ ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊಮೆಂಟಾ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮುಕ್ತ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣ ರೇಖೆಯ ಬದಲು ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಆವೇಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವರ್ಣಪಟಲವು ನಿರ್ವಾತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ನಿರ್ವಾತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಆಪರೇಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಂಬಂಧ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಆಯಾಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವುಗಳ ಆವೇಗದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ ಗುಣಾಂಕವು ಇರುವ ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ (ಚಿಹ್ನೆಯು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ನಿಯತಾಂಕವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಡಿ. ಓ. ಝಡ್. ಝಡ್ ಸೂತ್ರವು ಮೂರು-ಬಿಂದುಗಳ ರಚನೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಡಿ. ಓ. ಝಡ್. ಝಡ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ (ಡಾರ್ನ್-ಒಟ್ಟೊ ಮತ್ತು ಝಮೋಲೋಡ್ಚಿಕೋವ್-ಝಮೋಲೋಡ್ಚಿಕೋವ್) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಬಹು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಮೂರು-ಬಿಂದು ರಚನೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂರು-ಬಿಂದು ರಚನೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದುಃ ಅವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಾಲ್ಕು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರೋಸಿಂಗ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ರೀಮನ್ ಕುಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿಯೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಟೋರಸ್ ಒನ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ರಚನೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ಗುರುತುಗಳಿಂದಾಗಿ, ಈ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಗೋಳದ ನಾಲ್ಕು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರೋಸಿಂಗ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಯಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಪ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ವರ್ಣಪಟಲವು ಒಂದು ನಿರಂತರತೆಯಾಗಿದೆ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಲ್ಲ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಮೊಮೆಂಟಾ, ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿರುವ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಆ ಜಾಗದ ರಿಕ್ಕಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿಯತಾಂಕವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಮೇಲೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡ ನಂತರ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಶ್ವರೇಖೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಶಕ್ತಿ-ಆವೇಗದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಘಟಕಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ಘಟಕಗಳೆಂದರೆ ಈ ಎರಡು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೇಂದ್ರ ಚಾರ್ಜ್ ಹೊಂದಿರುವ ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡೂ ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ, ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದರೆ, ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ. ಇದು ಬ್ಯಾಕ್ಗ್ರೌಂಡ್ ಚಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದರೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಒಂದು-ಬಿಂದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯದ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಈ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿಖರವಾದ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ಧ್ರುವಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ಕೂಲಂಬ್ ಅನಿಲ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಡಾಟ್ಸೆಂಕೊ-ಫತೇವ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ 1990 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಡಿಓಝಡ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲು ಊಹಿಸಲಾಯಿತು. 2010 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಕಠಿಣ ಸಂಭವನೀಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ಇದು ಡಿಓಝಡ್ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರಾಪ್ನ ಪುರಾವೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಇತರ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಮಿತಿಗಳು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಚಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಿದಾಗ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕರ್ಣೀಯ (ಎ-ಸರಣಿ) ವಿರಾಸೊರೊ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕೇಂದ್ರೀಯ ಚಾರ್ಜ್ ಅನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸಿದಾಗ, ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಆಯಾಮಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ರಂಕೆಲ್-ವ್ಯಾಟ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಸಿಎಫ್ಟಿ), ಇದರ ಮೂರು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿಲ್ಲ. ರಂಕೆಲ್-ವ್ಯಾಟ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಿಎಫ್ಟಿಗಳು ತಿಳಿದಿವೆಃ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಇದರ ಮೂರು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೂರು-ಬಿಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಿಎಫ್ಟಿ. WZW ಮಾದರಿಗಳಾದ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್-ಸೊಕೊಲೋವ್ ಕಡಿತದಿಂದ ವೆಸ್-ಜುಮಿನೋ-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಾದರಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (WZW ಮಾದರಿಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆವೃತ್ತಿ) ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. 2ಡಿ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಕೊಸೆಟ್ ಮಾದರಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ನಡುವೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಮಾಡುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಟೋಡಾ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಏಕರೂಪದ ಟೋಡಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಏಕರೂಪದ ಟೋಡಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ಗಳು ಒಂದು ಬೋಸನ್ನ ಬದಲಿಗೆ ಹಲವಾರು ಬೋಸನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಸಮ್ಮಿತಿ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಡಬ್ಲ್ಯೂ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಸೂಪರ್ಸೈಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸೂಪರ್ಸೈಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಸೈಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂಬ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂಪರ್ಸೈಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಿಂಹ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಮಾದರಿಯ ಸಮಗ್ರ ಮಾದರಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಿಂಹ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಚಲನೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸಿಂಹ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿಯ ನಿಖರವಾದ ಎಸ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಜೋಡಣೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಕೆಳಗೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾದರಿಯು ಸ್ವತಃ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಿಜಿಎಚ್ಎಸ್ ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ಜಾಕಿವ್-ಟೀಟೆಲ್ಬೊಯಿಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಗ್ರ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ರೇಖೀಯ ಡೈಲಾಟನ್ ಮತ್ತು ಟಚಿಯಾನ್ ಹಿನ್ನೆಲೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಡೈಲಾಟನ್ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚಲನೆಯ ಟಚಿಯಾನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣವು ಘಾತೀಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಯಾಕೋವ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ರೇಖೀಯ ಡೈಲಾಟನ್ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಚಾರ್ಜ್ ಪದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಟಚಿಯಾನ್ ಘಾತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಮಾದರಿಗಳು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಲಾಗ್-ಸಹಸಂಬಂಧಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾದ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳು ಲಾಗರಿದಮಿಕವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಉಷ್ಣ ಕಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಗಾಸಿಯನ್ ಮುಕ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಣದ ಗಿಬ್ಸ್ ಅಳತೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಗಾಸಿಯನ್ ಮುಕ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಲಾಗ್-ಸಹ-ಸಂಬಂಧಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಮಾದರಿಗಳ ಕೆಲವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೂ ಮೀರಿ). ಇತರ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಾದ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಾಗಿದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ, ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಇದು ಎಜಿಟಿ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಸೂಪರ್ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ಸ್ಟಾಂಟನ್ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೆಸರಿಡುವ ಗೊಂದಲವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಟೈಮ್-ಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಟೈಮ್ಲೈಕ್ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಾಗ ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಇದು ಕಾಲಮಾನದ ಬದಲು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಂತೆಯೇ ಇದೆ. 2022ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಈ ಮೂರು ಹೆಸರುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ ರಿಯಲಿ ವರ್ಕ್ಸ್ನ 2ಡಿ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಚಾರ್ಲಿ ವುಡ್ ಅವರ ಕ್ವಾಂಟಾ ನಿಯತಕಾಲಿಕೆಯ ಲೇಖನ, ಜೂನ್ 2021. ಲ್ಯುವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಚಯ, ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಸ್ಟಡಿಯಲ್ಲಿ ಆಂಟಿ ಕುಪಿಯೈನೆನ್ ಅವರ ಟಾಕ್, ಮೇ 2018. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ