Probability space
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯತೆ ತ್ರಿವಳಿ ಎಂಬುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಅಥವಾ "ಪ್ರಯೋಗ" ದ ಔಪಚಾರಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಎ ಎಸೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈವೆಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಇದು ಘಟನೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯ, ಇದು ಈವೆಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಂವೇದನಾಶೀಲ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು, ಈ ಅಂಶಗಳು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಹಲವಾರು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡೈ ಎಸೆಯುವಿಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮಾದರಿ ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈವೆಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಾಗಿ, ನಾವು ಮಾದರಿ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಅದು ನಂತರ ("5 ರಂದು ಡೈ ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್") ನಂತಹ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ("ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಡೈ ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್") ನಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯನ್ನು ಆ ಘಟನೆಯಲ್ಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ-ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸಿದಾಗ, ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದಿಂದ "ಪ್ರಕೃತಿ" ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು "ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆಯ್ದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈವೆಂಟ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳು "ಸಂಭವಿಸಿವೆ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಆ ಘಟನೆಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಈ "ಆಯ್ಕೆ" ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸೋವಿಯತ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆಂಡ್ರೆ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರು 1930 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆಧುನಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಗಣಿತದ ತ್ರಿವಳಿ. ಇತರ ಮಾದರಿಗಳಂತೆ, ಅದರ ಲೇಖಕರು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯಾವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಾದರಿಯ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿದರ್ಶನವೂ (ಅಥವಾ ಪ್ರಯೋಗದ ರನ್) ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಪ್ರಯೋಗದ ವಿವಿಧ ರನ್ಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಬಯಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಗ್ರಹವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, "ಘಟನೆ" ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಘಟನೆಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘಟನೆಯನ್ನು "ಸಂಭವಿಸಿದೆ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರಬಹುದು, ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅನೇಕ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಯೋಗವು ಎರಡು ಡೈಸ್ಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಾಗ, 7 ಪಿಪ್ಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಿಪ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಈವೆಂಟ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೊದಲ ಡೈನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪಿಪ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಐದು ಪಿಪ್ಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಯ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ "7 ಪಿಪ್ಗಳು" ಮತ್ತು "ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಿಪ್ಗಳು" ಎಂಬ ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯದ ನಡುವಿನ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಶೂನ್ಯ ಘಟನೆಗಳು ಅಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಒಂದು (ಘಟನೆಯು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ, ಬಹುತೇಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಸರಳ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕುಃ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಘಟನೆಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ,, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು (ಇದು ಮಾದರಿಯ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಂಭವಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ). ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದೇ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯುವಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎರಡೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ (ಮಾದರಿಯು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ) ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಖಚಿತವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಒಂದು ಘಟನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲಃ ಕೆಲವು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕೇವಲ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇತರವುಗಳನ್ನು "ಅಳೆಯಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಜಾವೆಲಿನ್ ಎಸೆತದ ಉದ್ದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "60 ಮತ್ತು 65 ಮೀಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ" ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ "60 ಮತ್ತು 65 ಮೀಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ" ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವು ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಇಡೀ ಜಾಗದ ಅಳತೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ-ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್, σ-ಬೀಜಗಣಿತ (σ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ)-ಘಟನೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ, ಪೂರಕಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಆಗಲೂ ಸಹ ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ನಿಯಮದ ಪರಿಣಾಮವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಛೇದಕಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ-ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಃ P ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದೆ (σ-ಸಂಯೋಜಕ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ): ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಕೇಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಹೇಳಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಘಟನೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ). ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯು ಸರಳ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ σ-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾದ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ. ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹದನ್ನು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೂ, ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು; ಅಂತಹವುಗಳನ್ನು ಪರಮಾಣುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಹೆಚ್ಚು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ (ಬಹುಶಃ ಖಾಲಿ) ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಮೊತ್ತವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು, ಇದು ನಮಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇದ್ದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ (ಪರಮಾಣು) ಭಾಗವಾಗಿ (ಬಹುಶಃ ಖಾಲಿ) ಮತ್ತು ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಭಾಗವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಮಾಣುವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ω ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಸಿಗದಂತಿರಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ), ಸಮೀಕರಣವು () ವಿಫಲವಾದರೆಃ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕಲನಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು "ಜನರೇಟರ್" ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ನಂತರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಜನರೇಟರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಮಿತಿಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು σ-ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿವೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವು ಜನರೇಟರ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಅಳೆಯಲಾಗದ ಸೆಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದ್ದರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿವಿಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆ 1 ಪ್ರಯೋಗವು ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯದ ಕೇವಲ ಒಂದು ತಿರುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆಃ σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ("ತಲೆಗಳು"), ("ಬಾಲಗಳು"), ("ತಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳಿಲ್ಲ"), ಮತ್ತು ("ತಲೆಗಳು ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳು"); ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ,. ತಲೆಗಳನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಐವತ್ತು ಪ್ರತಿಶತ ಅವಕಾಶವಿದೆ ಮತ್ತು ಬಾಲಗಳಿಗೆ ಐವತ್ತು ಪ್ರತಿಶತ ಅವಕಾಶವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ,,, ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2 ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 8 ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆಃ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಲ್ಲಿ "HTH" ಎಂದರೆ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ನಾಣ್ಯವು ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ಇಳಿಯುವುದು, ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ಬಾಲಗಳು, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬಾರಿಗೆ ಮತ್ತೆ ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ಇಳಿಯುವುದು). ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಘಟನೆಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗಳು ωನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆಲಿಸ್ಗೆ ಎರಡನೇ ಟಾಸ್ನ ಫಲಿತಾಂಶ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅವಳ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ′ ಎಂಬುದು ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಯೂನಿಯನ್, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ σ-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ. ಬ್ರಿಯಾನ್ಗೆ ಒಟ್ಟು ಬಾಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅವನ ವಿಭಜನೆಯು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅವನ σ-ಬೀಜಗಣಿತವು 24 = 16 ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡು σ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಹೋಲಿಸಲಾಗದವುಃ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲ; ಎರಡೂ 2 ωನ ಉಪ-σ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮತದಾರರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ 100 ಮತದಾರರನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕಾದರೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಗವರ್ನರ್ಗೆ ಯಾರಿಗೆ ಮತ ಹಾಕುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಕೇಳಿದರೆ, 100 ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾದ ಮತದಾರರ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸೆಟ್ ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬದಲಿ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆಃ 100 ವಿಭಿನ್ನ ಮತದಾರರ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು (ಆಲಿಸ್, ಬ್ರಿಯಾನ್) (ಬ್ರಿಯಾನ್, ಆಲಿಸ್) ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮತದಾರನಿಗೆ ಅವನ/ಅವಳ ಭವಿಷ್ಯದ ಆಯ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅವನು/ಅವಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಲಘುವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಶ್ವಾರ್ಜಿನೆಗ್ಗರ್ ಕನಿಷ್ಠ 60 ಮತಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದಾರೋ ಇಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದು ಆಲಿಸ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆಕೆಯ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆಃ (1) ಶ್ವಾರ್ಜಿನೆಗ್ಗರ್ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ 60 ಜನರು ಮತ ಚಲಾಯಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸೆಟ್; (2) ಶ್ವಾರ್ಜಿನೆಗ್ಗರ್ಗೆ 60 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮತ ಚಲಾಯಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸೆಟ್; (3) ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಸ್ಪೇಸ್; ಮತ್ತು (4) ಖಾಲಿ ಸೆಟ್. ಶ್ವಾರ್ಜಿನೆಗ್ಗರ್ಗೆ ಮತ ಚಲಾಯಿಸಲಿರುವ ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮತದಾರರು ಬ್ರಿಯಾನ್ಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಅವನ ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು σ-ಬೀಜಗಣಿತವು 2101 ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಲಿಸ್ನ σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಬ್ರಿಯಾನ್ನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆಃ ಬ್ರಿಯಾನ್ನ σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದಾದ "ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿ" σ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮತದಾರರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆ 4 0 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವಿನ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ω = [0,1], ಎಂಬುದು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು P ಎಂಬುದು [0,1] ನಲ್ಲಿನ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮ್ನ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು, ಎಲ್ಲಿ, ಜನರೇಟರ್ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಇದು [0,1] ನಲ್ಲಿ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ω ನಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 5. ಒಂದು ನ್ಯಾಯಯುತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ 0 ಮತ್ತು 1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಮೂಹವಾದ ω = {0,1} ν ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಜನರೇಟರ್ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದು ಘಟನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎನ್ ಟಾಸ್ಗಳು ಸ್ಥಿರ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟನೆಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ 2-n ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಈ ಎರಡು ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆಃ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು {0,1} φ ಮತ್ತು [0,1] ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಲ್ಲಃ ಇದು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳದ ಎರಡು ರೂಪಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಒಂದು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಲ್ಲದ ಪರಮಾಣು-ಅಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೂಲ ಅನ್ವಯಗಳು ಗುಣಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲದ ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಸುಲಭ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಎಂಬುದು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ X: ω → S ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದಿಂದ ω ಮತ್ತೊಂದು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳ S ಗೆ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಎ. ಎಸ್. ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪಿ. ಆರ್. (ಎಕ್ಸ್. ಎ.) ಎಂಬ ಸಂಕೇತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ω ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದರೆ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ω ನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ω ಬಳಸಿ ನಾವು ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು (ω, P) ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಬರೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ω ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಬಳಸಿದರೆ ನಮ್ಮ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ P ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಲ್ಲಿ ನಾವು ತೊಂದರೆಗೆ ಸಿಲುಕುತ್ತೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ತುಂಬಾ "ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ", ಅಂದರೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕದಾದ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ω ನ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಚಿಕ್ಕ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಅವರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಅಂದರೆ,) ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಎ ನೀಡಿದ ಬಿ ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ" ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ವತಂತ್ರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಮತ್ತು, ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯು ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರ σ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು σ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು, ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಯಾವುದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು, ಮತ್ತು ಒಂದರ ಸಂಭವವು ಇನ್ನೊಂದರ ಸಂಭವವನ್ನು ಸೂಚಿಸದಿದ್ದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಥವಾ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದಕವು ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅವುಗಳ ಛೇದನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಿಂತ ಬಲವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆಯಾದ ಘಟನೆಗಳು ಆಗಿದ್ದರೆ. ಇದು ಘಟನೆಗಳ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಅನಂತ) ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಘಟನೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಂಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ. ಈ ಘಟನೆಯನ್ನು "ಎ ಮತ್ತು ಬಿ" ಮತ್ತು ಘಟನೆಯನ್ನು "ಎ ಅಥವಾ ಬಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೇಸ್ (ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್) ಮೆಷರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಫಜಿ ಮೆಷರ್ ಥಿಯರಿ ಫಿಲ್ಟರ್ಡ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಟಾಲಾಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಕಾನ್ಸಂಟ್ರೇಶನ್ ಇನ್ಇಕ್ವಾಲಿಟಿ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿ ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಡಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ (1812) ಅನಾಲಿಟಿಕಲ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಎಂಬ ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಗ್ರಂಥವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಮೂಲತಃ ಫ್ರೆಂಚ್ನಲ್ಲಿಃ ಥಿಯೋರಿ ಅನಾಲಿಟಿಕ್ ಡೆಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟ್ಸ್. ಆಂಡ್ರೇ ನಿಕೋಲಜೆವಿಚ್ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ (1950) ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧುನಿಕ ಅಳತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಡಿಪಾಯ; ಮೂಲ ಜರ್ಮನ್ ಆವೃತ್ತಿ (ಗ್ರುಂಡ್ಬೆಗ್ರಿಫ್ ಡೆರ್ ವಹ್ರ್ಷೀನ್ಲಿಚ್ಕೈಟ್ರೆಚ್ನಂಗ್) 1933 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಜೆಫ್ರೀಸ್ (1939) ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಆನ್ ಎಂಪಿರಿಸಿಸ್ಟ್, ಬಯೇಸಿಯನ್ ಅಪ್ರೋಚ್ ಟು ದಿ ಫೌಂಡೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ. ಎಡ್ವರ್ಡ್ ನೆಲ್ಸನ್ (1987) ರಾಡಿಕಲಿ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಬೇಸ್ಡ್ ಆನ್ ನಾನ್ ಸ್ಟಾಂಡರ್ಡ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್. ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. http://www.math.princeton.edu ~ ನೆಲ್ಸನ್/ಪುಸ್ತಕಗಳು. ಎಚ್. ಟಿ. ಎಂ. ಎಲ್ ಪ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ ಬಿಲ್ಲಿಂಗ್ಸ್ಲೆಃ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆ, ಜಾನ್ ವಿಲೇ ಮತ್ತು ಸನ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಟೊರೊಂಟೊ, ಲಂಡನ್, 1979. ಹೆಂಕ್ ಟಿಜ್ಮ್ಸ್ (2004) ಅಂಡರ್ಸ್ಟ್ಯಾಂಡಿಂಗ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಎ ಲೈವ್ಲಿ ಇಂಟ್ರೋಡಕ್ಷನ್ ಟು ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಫಾರ್ ದಿ ಬಿಗಿನರ್ಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯುನಿವ್. ಪ್ರೆಸ್ ಮಾಡಿ. ಡೇವಿಡ್ ವಿಲಿಯಮ್ಸ್ (1991) ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಳತೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಪದವಿಪೂರ್ವ ಪರಿಚಯ, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ. ಪ್ರೆಸ್ ಮಾಡಿ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಡೈಸ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಅನಿಮೇಷನ್ ವರ್ಚುವಲ್ ಲ್ಯಾಬೋರೇಟರೀಸ್ ಇನ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಅಂಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ (ಪ್ರಧಾನ ಲೇಖಕ ಕೈಲ್ ಸೀಗ್ರಿಸ್ಟ್), ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಪೇಸಸ್ ಸಿಟಿಜೆಂಡಿಯಂ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ಪೆರಿಮೆಂಟ್ (ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ) ಸ್ಪೇಸ್ (ಗಣಿತ)