Borel set
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೊರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಎಂದರೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಯೂನಿಯನ್, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಪೂರಕಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ) ರೂಪುಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಎಮಿಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಗೆ, X ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೋರೆಲ್ σ-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. Xನಲ್ಲಿರುವ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು) ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಜಾಗದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಜಾಗದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಆ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಮಾನುಗತವು ಸಹ ಮೂಲಭೂತ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ σ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನೇಕ ಉತ್ತಮ ನಡವಳಿಕೆಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದು X ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. X ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ T ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ (ಅಂದರೆ, X ನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ P (X) ನ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ), T ಯ ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟಗಳು T ಯ ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಛೇದಕಗಳಾಗಿರಲಿ. i ಒಂದು ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, i ತಕ್ಷಣದ ಹಿಂದಿನ ಆರ್ಡಿನಲ್ i−1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವು Gω1 ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ω1 ಮೊದಲ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಆರ್ಡಿನಲ್ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಟ್ಗಳ ಪೂರಕತೆಯು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ m ಗೆ Gm ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ; ಇದಲ್ಲದೆ m ಒಂದು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಮಿತಿ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, Gm ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ B ಗೆ, ಕೆಲವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ αB ಇದೆ, ಅಂದರೆ αB ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ B ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ B ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳಲ್ಲಿ αB ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲ ಆರ್ಡಿನಲ್ ω1 ಆಗಿದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ರಿಯಲ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆರ್ ಮೇಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ, ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಧಾನತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ನಿರಂತರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ). ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು X ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. X ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವು ಜೋಡಿ (X, B) ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ B ಎಂಬುದು X ನ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಜಾರ್ಜ್ ಮ್ಯಾಕಿ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು "ಅದರ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ σ-ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್" ಎಂದು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಧುನಿಕ ಬಳಕೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ (ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ σ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಕಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ σ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳು ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಎಳೆದರೆ ಅದನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, Yಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು X ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದು. X ಒಂದು ಪೋಲಿಷ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, X ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮತ್ತು X ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮಾಡುವ X ಮೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ d ಇರುವಂತಹ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ X ಒಂದು ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವಾಗಿ R, Z, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. (ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಹಾರಾಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ.) ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ನೈಜ ರೇಖೆ ಆರ್, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಆರ್ ನ ಒಕ್ಕೂಟ, ಮತ್ತು ಆರ್ಎನ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ. ಪೋಲಿಷ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಅದರ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ಮೂಲಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗವು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪೋಲಿಷ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪೋಲಿಷ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ನಕ್ಷೆಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರಂತರ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲದ ನಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಬೋರೆಲ್ ಆಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯು ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನ್-ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಲುಸಿನ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬೋರೆಲ್ ಅಲ್ಲದ ರಿಯಲ್ಗಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅಳೆಯಲಾಗದ ಗುಂಪಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿಃ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಮುಂದಿನ ಅಂಶದ ಭಾಜಕವಾಗಿರುವಂತಹ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸೆಟ್ ಬೋರೆಲ್ ಅಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕೆಚ್ರಿಸ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ 209ನೇ ಪುಟದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಾಯಾಮ (27.2), 169ನೇ ಪುಟದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (22.9), ಮತ್ತು 14ನೇ ಪುಟದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಾಯಾಮ (3.4) (ii). ಇದನ್ನು ZF ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಇದನ್ನು ZF ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬೋರೆಲ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ZF ಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಬೋರೆಲ್ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಅನಂತ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ (ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ), ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ. ಪರ್ಯಾಯ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪಾಲ್ ಹಾಲ್ಮೊಸ್ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿಕ್ಕ σ-ರಿಂಗ್ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾರ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ವೆರ್ವಾಟ್ ಒಂದು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗದ ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅದರ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಇಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎರಡನೇ ಎಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಯಾಚುರೇಟೆಡ್ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದ್ದರೆ (ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ) ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಾದ ವಿಲಿಯಂ ಆರ್ವೆಸನ್, ಆನ್ ಇನ್ವಿಟೇಷನ್ ಟು ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, 1981 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. (ಪೋಲಿಷ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ 3ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ನೋಡಿ) ರಿಚರ್ಡ್ ಡಡ್ಲಿ, ರಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಅಂಡ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ. ವ್ಯಾಡ್ಸ್ವರ್ತ್, ಬ್ರೂಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೋಲ್, 1989 ನೋಡಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸೆಕ್ಟ್. 51 "ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬೈರ್ ಸೆಟ್ಗಳು". ಹಾಲ್ಸೇ ರಾಯ್ಡೆನ್, ರಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಪ್ರೆಂಟಿಸ್ ಹಾಲ್, 1988 ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಎಸ್. ಕೆಕ್ರಿಸ್, ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟಿವ್ ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, 1995 (ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥ್., ಸಂಪುಟ. 156) ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮಿಜಾರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ. ಟೋಪೋಲಜಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ