Taylor's theorem
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಒಂದು-ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು-th-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು ಕಾರ್ಯದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು ಕಾರ್ಯದ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಹಲವಾರು ಆವೃತ್ತಿಗಳಿವೆ, ಕೆಲವು ಅದರ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ದೋಷದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ 1715ರಲ್ಲಿ ಅದರ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಘೋಷಿಸಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಬ್ರೂಕ್ ಟೇಲರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಯಿತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಫಲಿತಾಂಶದ ಹಿಂದಿನ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ 1671ರಲ್ಲಿ ಜೇಮ್ಸ್ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ-ಮಟ್ಟದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಸರಳವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುವಿಧದ ಮತ್ತು ವಾಹಕ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ h1 (x) ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ a ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪವಿರುವ x ಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು ಇದೆ, ಇದರ ಗ್ರಾಫ್ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷವೆಂದರೆಃ x a ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ದೋಷವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಉಪಯುಕ್ತ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದುಃ ಕೇವಲ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಬದಲು, ಈ ಬಹುಪದವು ಒಂದೇ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂದಾಜು, ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜುಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿನ ದೋಷವೆಂದರೆ, ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, x a ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ನಾವು f ಗೆ ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಂದಿನಿಂದ ನಾವು ಆಯ್ದ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು f ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, k ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಲ್ಲಿನ ದೋಷವು x a ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳೂ ಸಹ ಇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಬಹುಪದದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ಅಂದಾಜಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು x = a ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆಃ ಇದನ್ನು (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿದೆಃ ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು-th ಕ್ರಮದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದ Pk ಯ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿನ ದೋಷವು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ-th ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಯಾವುದೇ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಉಳಿದ ಪದಕ್ಕೆ (ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ) ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ, ಅವು ಎಫ್ ಮೇಲಿನ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ವರ್ಧಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪದ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಫ್ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅಂದಾಜುಗಳು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಟೇಲರ್-ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ವಿವಿಧ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಬಹುದು (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅನಿಮೇಷನ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ.) ಉಳಿದ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದುಃ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a-r, a + r) ಅಂದಾಜಿಸಲಾದ ಡಿಗ್ರಿ kಯ ಬಹುಪದವಾದ Pk (x) ಗೆ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ. (ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಮಟ್ಟವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ದೋಷವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a − r, a + r) ಬಹುಪದವಾದ Pk (x) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯೊಳಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಚಿಕ್ಕ ಡಿಗ್ರಿ k ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ದೋಷ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೋಷ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯೊಳಗೆ ಪಿಕೆ (x) ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (a − r, a + r) ಹುಡುಕಿ. (ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ದೋಷ ಸಹಿಷ್ಣುತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.) ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯದ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಆವೃತ್ತಿಯ ನಿಖರವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಬಹುಪದವು a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f ಕಾರ್ಯದ-th ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ "ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಬೆಸ್ಟ್ ಫಿಟ್" ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು a-th ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದ p ಇದ್ದರೆ ಅದು p = Pk ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು ಉಳಿದ ಪದದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದದೊಂದಿಗೆ f ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ ಅಂದಾಜು ದೋಷವಾಗಿದೆ. ಲಿಟ್ಲ್-ಓ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಉಳಿದವುಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿ ಓದುತ್ತದೆ f ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದದ ಉಳಿದ ಪದ Rk ಗೆ ಹಲವಾರು ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಾಗಿವೆ. ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿಂದ ಈ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಇತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, G (t) ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ. ಈ ಆವೃತ್ತಿಯು ಉಳಿದ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ರೂಪಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೌಚಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕೌಚಿ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹಿಂದಿನವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರೆದಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಗಾಗಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಏಕೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, f ನ (k + 1) ನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [a, x] ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f ಒಂದು L-ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಟೈಲರ್ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಉಳಿದ ಪದವನ್ನು ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. a ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ I ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು-ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. I ಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿಜವಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ q ಮತ್ತು Q ಇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಉಳಿದ ಪದವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜು. ಇದು ಉಳಿದ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪದ ಸರಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಉದಾಹರಣೆ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷವು 10−5 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಟಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಟ್ ನ-ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉಳಿದ ಪದವನ್ನು 0 ಮತ್ತು x ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಕ್ಸ್ () ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಉಳಿದದ್ದಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಲು ex ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಈ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಾದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ತಲುಪಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗ (ಅಪವರ್ತನೀಯವನ್ನು ನೋಡಿ ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು.) ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿ, ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂದಾಜುಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಅಂದಾಜು ಐದು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳವರೆಗೆ ನಿಖರವಾದ ದಶಮಾಂಶ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕತೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು IR ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, f: I → R ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ a ω I ಗೆ ಕೆಲವು r> 0 ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕೌಚಿ-ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಧಾನವು ಕೆಲವು b ω R ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು, ಅದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪವರ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು f ನ ಡೊಮೇನ್ I ಅನ್ನು ಮೀರಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. a ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ f ನ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕೇವಲ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪವರ್ ಸರಣಿಯ ಸೀಮಿತ ಮೊಟಕುಗಳು, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐ ಮತ್ತು ಆರ್ <ಆರ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸರಣಿಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ f′ (a) ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಬಾಲದಿಂದ ಉಳಿದ ಪದವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ f ನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು k ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವಾಗ ತುಂಬಾ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ. (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾದರೂ, ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಅದು f ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು; ನಂತರ f ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಹಲವು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಫಂಕ್ಷನ್ f: R → R ನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು a ನಲ್ಲಿ ಅದರ "ಅನಂತ ಕ್ರಮ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದ" ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಉಳಿದ ಅಂದಾಜುಗಳು, ಯಾವುದೇ r ಗೆ, f ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು (a − r, a + r) ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮ k ಗೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ r> 0 ಗೆ ಪ್ರತಿ x ω (a − r, a + r) ಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು, ಸ್ಥಿರ r ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ k ಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ f ನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಕೆಲವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಅದು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವವರೆಗೆ ಮೇಲೆ ಸುತ್ತುವರಿಯದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು f ಅನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಅದು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯ f ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, f ಒಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕಾರ್ಯಃ ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಬಳಸುವುದು, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮ k ಗೆ, ಡಿಗ್ರಿ 2 (k−1) ನ ಕೆಲವು ಬಹುಪದ pk ಗೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ f ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಗೆ. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಃ f ನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯ Tf (x) = 0 ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ f ಕಾರ್ಯವು ಅಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ k ω N ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ r> 0 ಅಲ್ಲಿ Mk ಇದೆ, r> 0 ಮೇಲಿನ ಉಳಿದ ಬೌಂಡ್ () ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಿರ r ಗೆ k ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, Mk, r ನ ಮೌಲ್ಯವು rk ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೋಷವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ U ಱ್ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ f: C → C ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕುಬ್ಜಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಳಸಿಕೊಂಡು f: U → C ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಮುಚ್ಚಿದ ಡಿಸ್ಕ್ ಬಿ (ಝಡ್, ಆರ್) ≤ ಎಸ್ (ಝಡ್, ಆರ್) ಯು ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಆರ್> 0 ಇರಲಿ. ನಂತರ S (z, r) ವೃತ್ತದ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು S (z, r) ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತೆರೆದ ಸೆಟ್ U ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ f ಅನ್ನು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ U ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಬಾರಿ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ z ω U ಮತ್ತು r> 0 ಗಾಗಿ ಕೌಚಿಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ B (z, r) ω S (c, r) ω U. ಈ ಅಂದಾಜುಗಳು f ನ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ Tf ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, f (c) ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ f ಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೇಳಲಾಗುವ ಎಲ್ಲವೂ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ I ಅನ್ನು ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾದ U ωC ಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a-ಕೇಂದ್ರಿತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು (a − r, a + r) c-ಕೇಂದ್ರಿತ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳು B (c, r) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಆರ್. ಕೆ. ಎಂಬ ಉಳಿದ ಪದವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಬಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಆಧಾರಿತ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಕೌಚಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಮೇಲಿನಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಣನೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದರಿಂದ, ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಉಳಿದ ಸರಣಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕೌಚಿಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಏಕರೂಪದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ ಉದಾಹರಣೆ ಕಾರ್ಯವು ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅದರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂದರೆ, f ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕುಚಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಸರಳ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬೇರೆಡೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಈಗ z0 ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಅದರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಯಾವುದೇ ಡಿಸ್ಕ್ B (z0, r) ನಲ್ಲಿ r <|z −z0 | ನೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದೇ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು z ωC ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 0 ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ f ನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು B (0,1) ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು i ಮತ್ತು −i ನಲ್ಲಿನ ಧ್ರುವಗಳಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ z ωC ಗೆ |z |> 1 ನೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, 1ರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ fನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ z ωCಯೊಂದಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ f: Rn → R ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ L: Rn → R ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯ h: Rn → R ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು a ನಲ್ಲಿ f ನ (ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ) ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, f ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು a ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು a ನಲ್ಲಿ f ನ ಭೇದವನ್ನು α ω Nn ಮತ್ತು x ω Rn ಗಾಗಿ ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ-th ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ಲೈರಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಮಿಶ್ರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು a ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. f ನ ಎಲ್ಲಾ (k−1)-th ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು a ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a ನಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು k ಬಾರಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಟೇಲರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ k + 1 ಪಟ್ಟು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ f ನ ಆರ್ಡರ್ ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದವುಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ ಬಿ ಯಲ್ಲಿ (ಕೆ + 1)-ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ತಕ್ಷಣವೇ ಏಕರೂಪದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು, ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದದ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಾರಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕೆಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ ಹೇಳಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಿಲಿಟಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ (ಇದು ನಿಜ, ಏಕೆಂದರೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಿಲಿಟಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ), ಅಂಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಛೇದವು ಹೇಳಲಾದ ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಎಲ್ 'ಹೋಪಿಟಲ್ನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಹೊರತು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೆಯ-ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಯಾವುದೇ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಹಂತ 1: ಲೆಟ್ ಅಂಡ್ ಬಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು. ಹಂತ 2: ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತುಃ ಅಂತೆಯೇ, ಹಂತ 3: ಕೌಚಿ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು. ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ಕೆಲವರಿಗೆ ನೋಟ್ಃ ಇನ್ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಹ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಬಹುದು. ಇದು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಸೆಟ್ಃ ಹಂತ 4: ಪವರ್ ರೂಲ್ನಿಂದ ಬದಲಿಸಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದಃ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಅಥವಾ ಅಂತಿಮವಾಗಿಃ ಉಳಿದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ರೂಪಗಳಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ G ಯಾವುದೇ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ನಡುವಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕೌಚಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೆಲವರಿಗೆ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ. ಇಲ್ಲಿ ಅಂಶವು ನಿಖರವಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದದ ಉಳಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದನ್ನು () ಗೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಇದು ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನಿಜವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯ ನಂತರ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉಳಿದ ಪದದ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ. ಉಳಿದವುಗಳ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ರೂಪವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಬಹುದು. ಟಿಪ್ಪಣಿ ಮಾಡಿ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಬ್ಬರು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಉಳಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಸಹ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು ಆದರೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಳಕೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ f ನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿವೆ, f ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಊಹೆಗಳನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉಳಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ನಡುವಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರತೆಯು ಒಂದು-ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದೇ ಪುರಾವೆಯು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಈಗ ನಾವು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಟೇಲರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಳಿದ ಪದವನ್ನು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ ಸಹ ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ನಾವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು-ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪಕ್ಕದ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಪುರಾವೆಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು-ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಹಲವಾರು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಬಹುಪದ ಗುಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಅಂದಾಜು ಕೊಸೈನ್ ಗೆ ಕಟ್-ದಿ-ಗಂಟು ಟ್ರಿಗೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೇಲರ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಯಾನ್ಷನ್ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಪ್ರದರ್ಶಕ ಆಪ್ಲೆಟ್ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಹೋಲಿಸ್ಟಿಕ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿ ಕಲನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು