Homeomorphism group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಿಂದ ಸ್ವತಃ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಕಾರ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪುಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ. ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಬೈ ನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವು (ಇದು ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ) ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಾಗವನ್ನು ಏಕರೂಪವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಗಳ ಇತರ ಸೆಟ್ಗಳಂತೆ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್-ಓಪನ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಂತಹ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ನಿಯಮಿತ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಾಕಾರವು ನಂತರ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜಾಗವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಿಲೋಮವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪಾಗುತ್ತದೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ನಕ್ಷೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪಲ್ಲ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ವಸ್ತುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಐಸೊಟೋಪಿ ಮೂಲಕ ಭಾಗಶಃ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎಂಸಿಜಿಯನ್ನು 0 ನೇ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪು ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವರ್ಗ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಐಸೊಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು ನಂತರ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ) ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಥಿಯರಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ