Goldbach's conjecture
ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ನ ಊಹೆಯು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. 2ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿ ಸಮ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆಯು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗಣನೀಯ ಪ್ರಯತ್ನದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. 1742ರ ಜೂನ್ 7ರಂದು, ಪ್ರಶ್ಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅವರು ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ಗೆ (XLIII ಅಕ್ಷರ) ಪತ್ರವೊಂದನ್ನು ಬರೆದರು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರುಃ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ 1 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಈಗ-ಪರಿತ್ಯಕ್ತ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಘಟಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪತ್ರದ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಊಹೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಯೂಲರ್ 30 ಜೂನ್ 1742ರ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಅವರಿಗೆ ಅವರು ಮಾಡಿದ ಹಿಂದಿನ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಆ ಎರಡು ಊಹೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಿದ್ದರು. 30 ಜೂನ್ 1742ರ ದಿನಾಂಕದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದ್ದಾನೆಃ "ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಊಹೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಊಹೆಯ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದರೆಃ ಕನಿಷ್ಠ ಊಹೆಯ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದರೆಃ ಮತ್ತು ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಹಳೆಯ ಊಹೆಯ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯು ಯೂಲರ್ ಅವರಿಗೆ ನೆನಪಿಸಿತುಃ ಈ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಧುನಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ 4ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೂರನೇ ಊಹೆಯ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗೆ (ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗದೆ) ವಿರುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯು ಬಹುಶಃ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ಅದನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲು, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಅಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ). ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಧುನಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಹಳೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳಂತೆಯೇ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಆಧುನಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮೊದಲ ಆಧುನಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂರನೇ ಆಧುನಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯು (ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದದ್ದು) ಇಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಊಹೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು "ಬಲವಾದ", "ಸಮ", ಅಥವಾ "ಬೈನರಿ" ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಊಹೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ನ ದುರ್ಬಲ ಊಹೆ", "ಬೆಸ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಊಹೆ" ಅಥವಾ "ತ್ರಿಕೋನ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಊಹೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎರಡನೇ ಆಧುನಿಕ ಹೇಳಿಕೆಯ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವು, ದುರ್ಬಲ ಊಹೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು 2013 ರಲ್ಲಿ ಹರಾಲ್ಡ್ ಹೆಲ್ಫ್ಗಾಟ್ ಅವರು ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ ಸರಣಿಗೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಲೇಖನವನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ರೆಫರಿ ಸೂಚಿಸಿದ ಪ್ರಮುಖ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಹೆಲ್ಫ್ಗಾಟ್ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಹಲವಾರು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಹೆಲ್ಫ್ಗಾಟ್ನ ಪುರಾವೆ ಇನ್ನೂ ಪೀರ್-ರಿವ್ಯೂಡ್ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ದುರ್ಬಲ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಲವಾದ ಊಹೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದಂತೆ, ನಂತರ ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಲ್ಫ್ಗಾಟ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಪರಿಣಾಮ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅವರ ಬಲವಾದ ಊಹೆಯು ಸಾಬೀತಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಬಲವಾದ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ದುರ್ಬಲ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಯನ್ನು) ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1938ರಲ್ಲಿ, ನಿಲ್ಸ್ ಪಿಪ್ಪಿಂಗ್ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಕಠಿಣ ಪರಿಶ್ರಮದಿಂದ ದೃಢಪಡಿಸಿದರು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ; ಟಿ. ಒಲಿವೇರಾ ಇ ಸಿಲ್ವಾ ಅವರು ವಿತರಿಸಿದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ನಡೆಸಿದರು, ಇದು 2013 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ (ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಾರಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ) ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ. ಈ ಹುಡುಕಾಟದ ಒಂದು ದಾಖಲೆಯೆಂದರೆ ಅದು 9781ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕುಲ್ಲಿ-ಹ್ಯೂಗಿಲ್ ಮತ್ತು ಡುಡೆಕ್ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ (ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ) ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಎಲ್ಲಾ x ≤2 ಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (x, x + 9696 log ^ 2x] ಎರಡು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಿದೆ. ಮೌಲಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಊಹೆಯ ಪರವಾಗಿ (ದುರ್ಬಲ ಮತ್ತು ಬಲವಾದ ಎರಡೂ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ) ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತವೆಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಸಂಭವನೀಯ ವಾದದ ಅತ್ಯಂತ ಕಚ್ಚಾ ಆವೃತ್ತಿಯು (ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ ಊಹೆಯ ಬಲವಾದ ರೂಪಕ್ಕಾಗಿ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಸರಿಸುಮಾರು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 3 ಮತ್ತು 3ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಈ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಎರಡು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಒಟ್ಟು ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಂತಹ ಅನೇಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಈ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ವಾದವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಘಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವುದು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಹ ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, 2ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ 3 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಸಹ 3 ಕ್ಕೆ ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾ, 1923ರಲ್ಲಿ ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಎಡೆನ್ಸರ್ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ (ತಮ್ಮ ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಟುಪಲ್ ಊಹೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ) ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇರುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಇವಾನ್ ಮ್ಯಾಟ್ವೀವಿಚ್ ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಿಂದ ಈ ಸೂತ್ರವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಯಾವಾಗ ಎಂಬ ಊಹೆ ಮಾತ್ರ. ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಬೆಸವಾಗಿರುವಾಗ 0 ಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ನ ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿಸ್ತೃತ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವಳಿ ಪ್ರಧಾನ ಊಹೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಊಹೆಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಕಷ್ಟವೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಕ್ಷೆಯು ಧೂಮಕೇತುವಿನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ನ ಧೂಮಕೇತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಧೂಮಕೇತುವು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿಗಿಯಾದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 3 ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಬಲವಾದ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಯು ದುರ್ಬಲ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್ ಅವರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಿಕೊಲಾಯ್ ಚುಡಾಕೋವ್, ಜೋಹಾನ್ಸ್ ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ಕಾರ್ಪುಟ್ ಮತ್ತು ಥಿಯೋಡರ್ ಎಸ್ಟರ್ಮನ್ ಅವರು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು (ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಹಾಗೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ 1 ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ). 1930ರಲ್ಲಿ, 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಲೆವ್ ಷ್ನಿರೆಲ್ಮನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ; ಷ್ನಿರೆಲ್ಮನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಷ್ನೈರೆಲ್ಮನ್ರ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಷ್ನಿರೆಲ್ಮನ್ ಸ್ವತಃ ಅದನ್ನು ಪಡೆದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತರುವಾಯ ಒಲಿವಿಯರ್ ರಾಮರೆ ಅವರಂತಹ ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರು, ಅವರು 1995 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ 6 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಹೆಲ್ಫ್ಗಾಟ್ ಅವರ ದುರ್ಬಲ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ 4 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೇರವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 1924ರಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಡಿ ಮತ್ತು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವವರೆಗಿನ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕಿಂತ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. 1948ರಲ್ಲಿ, ಜರಡಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ರೇನಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಚೆನ್ ಜಿಂಗ್ರನ್ 1973ರಲ್ಲಿ ಜರಡಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅರ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಚೆನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. 1975ರಲ್ಲಿ, ಹ್ಯೂ ಮಾಂಟ್ಗೊಮೆರಿ ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ವಾಘನ್ ಅವರು "ಹೆಚ್ಚಿನ" ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರದ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹವು ಶೂನ್ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 1951ರಲ್ಲಿ, ಯೂರಿ ಲಿನ್ನಿಕ್ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ 2ರ ಘಾತಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜಾನೋಸ್ ಪಿಂಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಇಮ್ರೆ ರುಝಾ ಅವರು 2020 ರಲ್ಲಿ ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. 2002ರಲ್ಲಿ ರೋಜರ್ ಹೀತ್-ಬ್ರೌನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್-ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫ್ ಶ್ಲೇಜ್-ಪುಚ್ತಾ ಅವರು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯು ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅವರ ಊಹೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ದುರಾಸೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಿಳ್ಳೈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅವರ ದುರಾಸೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ನ ಊಹೆಗೆ ಹೋಲುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಚೌಕಗಳಂತಹ ಇತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ನಾಲ್ಕು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ವಾರಿಂಗ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಾರಿಂಗ್-ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ನೋಡಿ. ಹಾರ್ಡಿ ಮತ್ತು ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ತಮ್ಮ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ I ಎಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆಃ "ಪ್ರತಿ ದೊಡ್ಡ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯು () ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ದ್ವಿಗುಣದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ". ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಲೆಮೋಯಿನ್ನ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಲೆವಿಯ ಊಹೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಯನ್ನು 1984ರಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಗೆನ್ಸ್ಟೆರ್ನ್ ಅವರು ಹೇಳಿದರು ಮತ್ತು 1996ರಲ್ಲಿ ಮೆಲ್ಫಿ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ಪ್ರತಿ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. 4208ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ (ಒಂದೇ ಜೋಡಿಗೆ ಸೇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ) ಎಂದು ಹೇಳುವ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಹಾರ್ವೆ ಡಬ್ನರ್ ಮಂಡಿಸಿದರು. 4208ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ 34 ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ; ಈ ಬಲವಾದ ಊಹೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಊಹೆಯನ್ನೂ ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಡಬ್ನರ್ ಗಣನೆಯ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ ಅವರ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ () ಎಂಬುದು ಚೀನೀ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಿ ಚೆನ್ ಜಿಂಗ್ರನ್ ಅವರ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆಯ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ಸು ಚಿ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಗ್ರೀಕ್ ಲೇಖಕ ಅಪೋಸ್ಟೋಲೋಸ್ ಡಾಕ್ಸಿಯಾಡಿಸ್ ಬರೆದ 1992ರ ಕಾದಂಬರಿ ಅಂಕಲ್ ಪೆಟ್ರೋಸ್ ಅಂಡ್ ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಚ್ಸ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಚರ್ನ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ, ಐಸಾಕ್ ಅಸಿಮೋವ್ ಬರೆದ "ಸಿಕ್ಸ್ಟಿ ಮಿಲಿಯನ್ ಟ್ರಿಲಿಯನ್ ಕಾಂಬಿನೇಶನ್ಸ್" ಎಂಬ ಸಣ್ಣ ಕಥೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮಿಚೆಲ್ ರಿಚ್ಮಂಡ್ನ 2008ರ ನಿಗೂಢ ಕಾದಂಬರಿ ನೋ ಒನ್ ಯು ನೋದಲ್ಲಿ ಈ ಊಹೆಯು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಗೋಲ್ಡ್ಬಾಕ್ನ ಊಹೆಯು 2007ರ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ ಚಲನಚಿತ್ರ ಫೆರ್ಮಾಟ್ಸ್ ರೂಮ್ನ ಕಥಾವಸ್ತುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವ ಟೆರೆನ್ಸ್ ಟಾವೊ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಐದು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್. ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪತ್ರವನ್ನು ಯೂಲರ್ಗೆ-ಪಿಡಿಎಫ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ (ಜರ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ) ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅವರ ಊಹೆ, ಕ್ರಿಸ್ ಕಾಲ್ಡ್ವೆಲ್ ಅವರ ಪ್ರಧಾನ ಪುಟಗಳ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಗೋಲ್ಡ್ಬ್ಯಾಕ್ ಊಹೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆ, ಟೋಮಸ್ ಒಲಿವೇರಾ ಇ ಸಿಲ್ವಾ ಅವರ ವಿತರಿಸಿದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹುಡುಕಾಟ. ಪೂರಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಊಹೆಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು