Unit interval
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕಾಂಕದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, 0ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಮತ್ತು 1ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರ). ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಪಾತ್ರದ ಜೊತೆಗೆ, ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, "ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ 0 ರಿಂದ 1 ರ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಇತರ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ,, ಮತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಕಾಯ್ದಿರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದು, ವಿಸ್ತೃತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿ, ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ ಅನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ಪ್ರತಿಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಏಕಾಂಕದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಗಡಿಯು 0 ಮತ್ತು 1 ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ (ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮತ್ತು ಅನಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕಾಂಕ ಮಧ್ಯಂತರವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಇಡೀ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ. ಅನಂತ ಉದ್ದದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಆ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿರುವ 1 ನೇ ಉದ್ದದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವು ಇಡೀ ರೇಖೆಯಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 1ರ ಚೌಕದಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು, ಪರಿಮಾಣ 1ರ ಘನದಷ್ಟೇ, ಮತ್ತು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ n-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳದಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಸ್ಪೇಸ್ ಫಿಲ್ಲಿಂಗ್ ಕರ್ವ್ ನೋಡಿ). ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೂಹಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಬಿಂದುಗಳು) ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವು (0,1) ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಒಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. 1 ರಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿದಾಗ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ x ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ, ಹೀಗಾಗಿ ಅಂತಹ x ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದಾಗಿ ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನೀಡುವ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಟಕಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಎರಡು ಉದ್ದದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ತಾನ್. ಈ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, "ಏಕಾಂಕ ಮಧ್ಯಂತರ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಹಿಸುವ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಗಣಿತದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಿವರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, (ಅನಲಾಗ್ ಆಫ್ ದಿ) ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವು ಅದರ ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್ ಇರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದೇ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಮೂಲವು 0 ಮತ್ತು ಗುರಿ 1 ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೋಲುವ ಕ್ವಿವರ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಡೊಮೇನ್ {0,1} ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 0 ಅಥವಾ 1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು, 0 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ನಿರಾಕರಣೆ (NOT) ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಸಂಯೋಗ (AND) ಅನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ () ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಅವರ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಭಜನೆ (OR) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಾರ್ಕಿಕ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹು-ಮೌಲ್ಯದ ತರ್ಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸತ್ಯದ "ಮಟ್ಟ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಎಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್, ಕ್ಯೂಬ್, ಸರ್ಕಲ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲ ಮತ್ತು ಸ್ಫಿಯರ್ ಯುನಿಟ್ ಇಂಪಲ್ಸ್ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರಾಬರ್ಟ್ ಜಿ. ಬಾರ್ಟ್ಲ್, 1964, ದಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ರಿಯಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಜಾನ್ ವಿಲೇ & ಸನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು 1 (ಸಂಖ್ಯೆ) ಟೋಪೋಲಜಿ