Coefficient of determination
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಆರ್2 ಅಥವಾ ಆರ್2 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಆರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್" ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಗಳು) ನಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶ ಭವಿಷ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾಹಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಊಹೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿಯು ವಿವರಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮಾದರಿಯು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಯನ್ನು ಇದು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆರ್2ಗೆ ಹಲವಾರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ, ಅವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗವು ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ R2 ಬದಲಿಗೆ r2 ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಂಧವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಿದಾಗ, r2 ಕೇವಲ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾದರಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ (ಅಂದರೆ, r) ವರ್ಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, R2 ಎಂಬುದು ಬಹು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆರ್2 ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಆ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾದರಿ-ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆಯದಿದ್ದಾಗ ಇದು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು. ಮಾದರಿ-ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಆರ್ 2 ಇನ್ನೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಂಧವನ್ನು ಸೇರಿಸದೆ ನಡೆಸಿದಾಗ, ಅಥವಾ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ದತ್ತಾಂಶದ ಸರಾಸರಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಲ್ಲಿ ಎಂ. ಎ. ಇ., ಎಂ. ಎ. ಪಿ. ಇ., ಎಂ. ಎಸ್. ಇ. ಮತ್ತು ಆರ್. ಎಂ. ಎಸ್. ಇ. ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು (ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ) ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಾಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಶೇಕಡಾವಾರು ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಂತರದ ಕ್ರಮಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ಪರೀಕ್ಷಾ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಸ್. ಎಂ. ಎ. ಪಿ. ಇ. ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಕಳಪೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ದೃಢವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ (Ypred) ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ (Yobs) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಳ್ಳೆಯತನವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ, ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ R2 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, Yobs = m·Ypred + b). ಆರ್2 ಯೊಬ್ಸ್ ಮತ್ತು ಯಿಪ್ರೆಡ್ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಳ್ಳೆಯ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕುಃ ಯೊಬ್ಸ್ = 1 · ಯ್ಪ್ರೆಡ್ + 0 (ಅಂದರೆ, 1:1 ಸಾಲು). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹವು y1,., yn ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾದ n ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ yi ಎಂದು ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ y = [y1,., yn] T ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅಳವಡಿಸಲಾದ (ಅಥವಾ ಮಾದರಿಯ, ಅಥವಾ ಊಹಿಸಲಾದ) ಮೌಲ್ಯವಾದ f1,., fn (fi ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ xi, ವೆಕ್ಟರ್ f ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಉಳಿದ ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನು ಐ = ಯಿ − ಫೈ (ವಾಹಕ ಇ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದ ಸರಾಸರಿ ಇದ್ದರೆಃ ನಂತರ ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎರಡು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದುಃ ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು, ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ವರ್ಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ (ದತ್ತಾಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ): ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ. ಯಾವಾಗಲೂ ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿಯುವ ಬೇಸ್ಲೈನ್ ಮಾದರಿಯು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಬೇಸ್ಲೈನ್ಗಿಂತ ಕೆಟ್ಟ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳು ನಕಾರಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, R2 ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ (FVU) ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಪದವು ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (ಮಾದರಿಯ ದೋಷಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ (ದತ್ತಾಂಶದ) ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆಃ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ R2 = 0.49 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ 49 ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ 51 ಪ್ರತಿಶತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ, ವರ್ಗಗಳ ವಿವರಿಸಿದ ಮೊತ್ತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ವರ್ಗಗಳ ಹಿಂಜರಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ವರ್ಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಇತರ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಎಲ್ಎಸ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಇದ್ದಾಗ, R2 ನ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು n ಎಂಬುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲಿನ ಅವಲೋಕನಗಳ (ಪ್ರಕರಣಗಳು) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತವಾಗಿ (ಮಾದರಿಯ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇದು ಎಸ್ಎಸ್ಆರ್ಇಜಿ/ಎನ್) ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ (ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಇದು ಎಸ್ ಸ್ಟಾಟ್/ಎನ್) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ಈ ವಿಭಜನೆಯು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು φ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ಪಡೆದಾಗ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸೌಮ್ಯವಾದ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಓದುತ್ತದೆಃ ಮಾದರಿಯು qi ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು i ಅಥವಾ ಇತರ ಮುಕ್ತ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆ qi = xi ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಷರತ್ತುಗಳ ಸಮೂಹವು ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು ಮತ್ತು ಇದು ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಅವಶೇಷಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿಃ ಚೌಕಾಕಾರದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ಪ್ರತಿಬಂಧ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಬಹು ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, ಆರ್ 2 ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ (ಊಹಿಸಲಾದ) ದತ್ತಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ವಿವರಣಕಾರನೊಂದಿಗಿನ ರೇಖೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಬಂಧ ಪದವಿಲ್ಲದೆ, ಇದು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದಾದರೆ, R2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೂಲ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯ ದತ್ತಾಂಶ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೌಲ್ಯವು ನೇರವಾಗಿ ಮಾದರಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಯಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಮಾದರಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ (α + βfi ರೂಪದ ಪರಿಷ್ಕೃತ ಮುನ್ಸೂಚಕವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ) ಮುನ್ಸೂಚಕವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಎವೆರಿಟ್ನ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಬಳಕೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ "ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ" ಎಂಬ ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆಃ ಎರಡು (ಸಾಮಾನ್ಯ) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವರ್ಗ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಆರ್2 ಒಂದು ಮಾದರಿಯ ಯೋಗ್ಯತೆಯ ಒಳ್ಳೆಯತನದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಯದ ಆರ್ 2 ಗುಣಾಂಕವು ಹಿಂಜರಿತ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು ನೈಜ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. 1 ರ ಆರ್ 2 ಹಿಂಜರಿತ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 0 ರಿಂದ 1 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಹೊರಗಿನ R2 ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಾದರಿಯು ಡೇಟಾವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಮುನ್ಸೂಚಕಕ್ಕಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಿದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ಡೇಟಾದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ತಪ್ಪು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಅಥವಾ ಅಸಂಬದ್ಧ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಲ್ಸೇತ್ನ 1ನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ (ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ), R2 ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಕ್ವಾಲ್ಸೇತ್ನ 2ನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, R2 ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು. ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಂದರೆ, ಎಸ್ಎಸ್ಆರ್ಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಂತೆ R2 ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (R2 ಎಂದರೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಏಕತಾನತೆ-ಇದು ಎಂದಿಗೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಇದು ಆರ್2ನ ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಳಕೆಯ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಆರ್2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು (ಕಿಚನ್ ಸಿಂಕ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್) ಸೇರಿಸುತ್ತಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರಿನ ಅನಿಲ ಮೈಲೇಜ್, ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನ್ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಕಾರಿನ ಮಾದರಿಯ ಮಾರಾಟವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿಯ ಹೆಸರಿನ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರ ಅಥವಾ ಕಾರನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಇಂಜಿನಿಯರ್ನ ಎತ್ತರದಂತಹ ಅಪ್ರಸ್ತುತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಆರ್ 2 ಎಂದಿಗೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾದ ಆರ್2 ಅನ್ನು ನೋಡುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ವಿವರಣೆಯು ಬಹುತೇಕ R2ನಂತೆಯೇ ಇದೆ ಆದರೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಅಂಕಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ದಂಡ ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಿಂದ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಆರ್2 ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ನೂ ಉಪಯುಕ್ತ ಅಳತೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ತೂಕದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಿಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ 2 ನ ಪರ್ಯಾಯ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಆದರೆ "ಕಚ್ಚಾ" ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ ಇನ್ನೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಮಾದರಿಗೆ ಆರ್2 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಬಹು ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ, ith ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್, p ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳು, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಶೂನ್ಯ ದೋಷ ಪದವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್2 ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವು ಮಾದರಿಯ ಜಾಗತಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, R2 ಎಂಬುದು [0,1] ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Xನಲ್ಲಿನ ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು) ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದಾದ Yiನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. R2ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳು "ವಿವರಿಸಿದ" ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಳವಡಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಯು ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು R2 = 1 ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ R2 = 0 ಯಾವುದೇ 'ರೇಖೀಯ' ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ನೇರ ರೇಖೆಯ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ, ಇದರರ್ಥ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮಾದರಿಯು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಥಿರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ (ಇಳಿಜಾರು = 0, ಪ್ರತಿಬಂಧ =)). R2 = 0.7 ನಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ "ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಎಪ್ಪತ್ತು ಪ್ರತಿಶತವನ್ನು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉಳಿದ ಮೂವತ್ತು ಪ್ರತಿಶತವು ಅಜ್ಞಾತ, ಸುಪ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಥವಾ ಅಂತರ್ಗತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದ ಇತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿವರಣೆಗಳಂತೆ ಆರ್2ಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯೆಂದರೆ "ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ". ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಂದರ್ಭಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಸುಳಿವುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂದಾಜು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು, ಸ್ವತಃ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಇತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಚ್ಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಹಗುರವಾದ) ಒಯ್ಯುವ ಅಭ್ಯಾಸವು ಶ್ವಾಸಕೋಶದ ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ನ ಸಂಭವದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಚ್ಗಳನ್ನು ಒಯ್ಯುವುದು ಕ್ಯಾನ್ಸರ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ("ಕಾರಣ" ಎಂಬ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ). ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಿಂದ ಅಳವಡಿಸಲಾದ ಒಂದೇ ರಿಗ್ರೆಸರ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, R2 ಎಂಬುದು ರಿಗ್ರೆಸರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಉತ್ಪನ್ನ-ಕ್ಷಣ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆರ್ 2 ಎಂಬುದು ನಿರ್ಮಿತ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಬಹು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಆರ್2ನ ಹಣದುಬ್ಬರ ಸಾಮಾನ್ಯ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಹಿಂಜರಿತಕಾರಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಆರ್2 ಕನಿಷ್ಠ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಆರ್ 2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ, ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ, ಗ್ರ್ಯಾಂಗರ್ ಕಾರ್ಯಕಾರಣದಲ್ಲಿನ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಂತೆಯೇ ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಎಫ್-ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೂ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಇದರ ಜ್ಞಾಪನೆಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು R2 ಅನ್ನು Rq2 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ q ಎಂಬುದು X ನಲ್ಲಿನ ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವರಣಕಾರರ ಸಂಖ್ಯೆ). ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು, ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ xi ಎಂಬುದು ಕೇಸ್ i ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಾಲು ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು xi ನ ಆಯಾ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಉದ್ದೇಶದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯವು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ (ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ದತ್ತಾಂಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ith ಸಾಲು xi) ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವೆಚ್ಚಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು y ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ, R2 ನ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಕಾರಣವೆಂದರೆಃ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ದತ್ತಾಂಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುವ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಹಾಗೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಆರ2 ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾದ-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬಯಾಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ; ಸರಿಯಾದ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ; ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ; ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ಇದೆ; ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು; ಘನ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಡೇಟಾ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿವೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಆರ್2ನ ಬಳಕೆಯು (ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತವು, "ಆರ್ ಬಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್" ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇನ್ನೊಂದು ಅಥವಾ) ಮಾದರಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಆರ್2 ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. () ಅನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಹಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಮೊರ್ದೆಕೈ ಎಝೆಕಿಯೆಲ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ತಿದ್ದುಪಡಿಯು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಡಿಫ್ರೆಸ್ ಎಂದರೆ ಮಾದರಿಯ ಸುತ್ತಲಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು, ಮತ್ತು ಡಿ. ಎಫ್. ಟಿ. ಓ. ಟಿ ಎಂದರೆ ಸರಾಸರಿ ಸುತ್ತಲಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂದಾಜಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. dfresಅನ್ನು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ n ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ p ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, dfres = n − p. dftotಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ p ಎಂದರೆ ಸರಾಸರಿಗೆ ಏಕತೆ, ಅಂದರೆ. dftot = n − 1. ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು R2 ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ ಆರ್ 2 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಆರ್ 2 ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರ್2ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಆರ್2ನಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು (ಹೊಸ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದಾಗಿ) ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ನೋಡಲು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆರ್2 ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಶ್ರೇಣಿವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ಸರಿಹೊಂದಿಸಿದ ಆರ್ 2 ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ/ಅನಗತ್ಯ ಪದಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದುವ ಆದರ್ಶ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹಿಂಜರಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ ಆರ್ 2 ಅನ್ನು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ 2 ನ ಕಡಿಮೆ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜುಗಾರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಗಮನಿಸಿದ ಮಾದರಿ ಆರ್ 2 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ (ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ನಿರ್ಮಾಣದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಆಯ್ಕೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವಾಗ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆರ್ 2 ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ R2 ಅಂಕಿಅಂಶದ ಹಿಂದಿನ ತತ್ವವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ R2 ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಉಳಿದಿರುವ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು, ಇದನ್ನು ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು. ದೋಷ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರರನ್ನು ಬಳಸಿದರೂ, ಸರಿಹೊಂದಿಸಲಾದ ಆರ್ 2 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ 2 ನ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರನಲ್ಲ, ಇದು ದೋಷಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಬದಲು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇಂಗ್ರಾಮ್ ಓಲ್ಕಿನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಪ್ರ್ಯಾಟ್ ಅವರು ಆರ್2 ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಕನಿಷ್ಠ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆದರು, ಇದನ್ನು ಓಲ್ಕಿನ್-ಪ್ರ್ಯಾಟ್ ಅಂದಾಜುಗಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. R2 ಅನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಗಳು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಎಝೆಕಿಯೆಲ್) ಹೊಂದಿಸಿದ R2 ಗಿಂತ ಓಲ್ಕಿನ್-ಪ್ರ್ಯಾಟ್ ಅಂದಾಜಿನ ಅಂದಾಜು ಆವೃತ್ತಿ ಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಓಲ್ಕಿನ್-ಪ್ರ್ಯಾಟ್ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಬೇಕು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ ಭಾಗಶಃ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪೂರ್ಣ (ಇಆರ್) ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮುನ್ಸೂಚಕಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಈ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನೋವಾ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದ ನಂತರ ಭಾಗಶಃ ಆರ್ 2 ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ R2 ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ನಿರ್ಣಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆಃ R2 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕೊಳೆಯುವುದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡ ಮತ್ತು F-ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಮಾದರಿ ಆಯ್ಕೆ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಹೊಸ ರಿಗ್ರೆಸರ್ ಅನ್ನು ಮಾಡೆಲ್ಗೆ ಸೇರಿಸಬೇಕೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಟ್ಟು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಸೇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಇತರ ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗೆ ರಿಗ್ರೆಸರ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ರಿಗ್ರೆಸರ್ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಡ್ಡ-ಸಂಬಂಧಗಳು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಶೋಧನೆಗಳು ಸಂಬಂಧಿತ ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಊಹೆಯಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಹೂರ್ನ್ವೆಗ್ (2018) ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಹಲವಾರು ಕುಗ್ಗುವ ಅಂದಾಜುದಾರರು-ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ, ರಿಡ್ಜ್ ಹಿಂಜರಿತ, ಮತ್ತು (ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ) ಲಾಸ್ಸೊ-ಅವರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಒಎಲ್ಎಸ್ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ಕುಗ್ಗಿಸಿದಾಗ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕಡೆಗೆ ಈ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಝಡ್-ಸ್ಕೋರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲ್ಪಿತ ಹಿಂಜರಿತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಂದಾಜು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು 75 ಪ್ರತಿಶತದ ಎ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದರೆ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಡೇಟಾ-ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ಡ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ನಿಖರತೆಯು 75 ಪ್ರತಿಶತದಷ್ಟು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೊನ್ನೆಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಊಹೆಯಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ('ಆರ್-ಔಟರ್') ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಬಾರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೇರುತ್ತವೆ. ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶವು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಿಗ್ರೆಸರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಇದರ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು 0ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಅಸಾಧಾರಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು, ಹಲವಾರು ಸಂಕೋಚನ ಅಂದಾಜುದಾರರು ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಸ್ತುತತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಲಾಸ್ಸೊ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ. ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ನಲ್ಲಿ R2 ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಹುಸಿ-R2 ನ ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಮೂಲತಃ ಕಾಕ್ಸ್ & ಸ್ನೆಲ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆರ್ 2, ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮ್ಯಾಗೀಃ ಅಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿ) ಮತ್ತು ಎನ್ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಡಿ ಎಂಬುದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅನುಪಾತ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಿಕೊ ನಾಗೆಲ್ಕೆ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆಂದು ಗಮನಿಸಿದರುಃ ಎರಡನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ ಇದು ನಿರ್ಣಯದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಮಾದರಿಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಇದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರದಿಂದ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ; ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಾದರಿಯು ವಿವರಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ; ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತವೆ, 0 ಆ ಮಾದರಿಯು ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು 1 ಇದು ಗಮನಿಸಿದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಯಾವುದೇ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ಮಾದರಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಾರದು, R2 0 ಮತ್ತುಃ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾಗೆಲ್ಕೆರ್ಕೆ ಒಂದು ಅಳತೆಯ R2 ಅನ್ನು R2/R2 ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಅವಶೇಷಗಳ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಉಳಿಕೆಗಳ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಯೋಗ್ಯತೆಯ ಒಳ್ಳೆಯತನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಉಳಿದಿರುವ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಆರ್2 ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ಮಾನದಂಡಗಳೆರಡೂ ಅವುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಆರ್ 2 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 1 ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣವು 0 ರಿಂದ ಅನಂತದವರೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉತ್ತಮ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. R2 ನ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನ ಮತ್ತು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಈ ಪದವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ yi ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಉಳಿದಿರುವ ಮಾನದಂಡಗಳು ಸಹ ಆ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಆದರೆ R2 ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ದತ್ತಾಂಶದ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಃ R2 = 0.998, ಮತ್ತು ಉಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳು = 0.302. y ಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 1000 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಎಸ್. ಐ. ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ ಬದಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿ), ಆಗ R2 ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶೇಷಗಳ ಪ್ರಮಾಣ = 302 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಿಟ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಏಕ-ನಿಯತಾಂಕ ಸೂಚಕವೆಂದರೆ ಅವಶೇಷಗಳ ಆರ್. ಎಂ. ಎಸ್. ಇ, ಅಥವಾ ಅವಶೇಷಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು 0.135 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಬಲವಂತವಿಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ರಚನೆಯು ಆನುವಂಶಿಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸೆವಾಲ್ ರೈಟ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1921 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಅನ್ಸ್ಕೊಂಬೆ ಅವರ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಗುಡ್ನೆಸ್ ಆಫ್ ಫಿಟ್ ನ್ಯಾಶ್-ಸಟ್ಕ್ಲಿಫ್ ಮಾದರಿ ದಕ್ಷತೆ ಗುಣಾಂಕ (ಜಲಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನ್ವಯಗಳು) ಪಿಯರ್ಸನ್ ಉತ್ಪನ್ನ-ಕ್ಷಣ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ನಷ್ಟದಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಕಡಿತ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮಾದರಿ ಊರ್ಜಿತಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮೂಲ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ವಿಚಲನ ಹಂತವಾರು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಡಯಾಗ್ನೋಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನುಪಾತಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳು