Fermion doubling
ಜಾಲರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಹಾಕಿದಾಗ ಫೆರ್ಮಿಯೋನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ ವಿವೇಚಿಸಲಾಗಿರುವ ಡಿರಾಕ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿರುಚಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಲ್ಸನ್-ನಿನೋಮಿಯಾ ಪ್ರಮೇಯವು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕೈರಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಡಿರಾಕ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಮುಕ್ತ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ನ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದಿಂದ ವಿಕ್ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಡಿರಾಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಾಹಕದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಜಾಲರಿ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿವೇಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಜಾಲರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಜಾಲರಿ ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು-ಘಟಕ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಳಸಿದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವಿವೇಚನಾಧಿಕಾರವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವಿವೇಚನಾಧಿಕಾರವಾಗಿದ್ದು, ವಾಹಕಗಳು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಏಕ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಹಂತಗಳು ನಿಷ್ಕಪಟ ಮುಕ್ತ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಡಿರಾಕ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದೇ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಬದಲಿಗೆ ಹದಿನಾರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ವಿಭಿನ್ನ ರುಚಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಣಗಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಣಗಳು ಹೇಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಮಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹದಿನೈದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಬಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಸ್ತೃತ ಕಣದ ಅಂಶವನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು. ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮ್ಮಿತಿ ನಿಷ್ಕಪಟ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹೊಸ ರುಚಿ-ವಿನಿಮಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿರಂತರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳು ಹದಿನಾರು ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,,, ಮತ್ತು. ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಡಿರಾಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜೊತೆ ಎಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಹದಿನಾರು ಸಮ್ಮಿತಿ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಕೇವಲ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹದಿನಾರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಇದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬ್ರಿಲ್ಲೋಯಿನ್ ವಲಯದ ಕೇಂದ್ರದ ಬಳಿ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಒಂದು ಮೂಲೆಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲೆಯ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ರೂಪಾಂತರವು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಅಭಿರುಚಿಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿರುಚಿಗಳು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರಬಾರದು. ಇಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣದಕ್ಕೆ ಬ್ರಿಲ್ಲೋಯಿನ್ ಆವೇಗವು ಕಣದ ಭೌತಿಕ ಆವೇಗವಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಅದು. ಬದಲಿಗೆ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ನ ರುಚಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವು ಡಬಲ್ಗಳ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಜವಾಬ್ದಾರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯು ಇನ್ನೂ ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಡಬಲ್ಗಳ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಪದವಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಪಗೇಟರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧ ನಿರಂತರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್ ಪ್ರೊಪಗೇಟರ್ ಒಂದೇ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದೇ ಕಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಷ್ಕಪಟ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಸರಣಕಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದರಿಂದ ಆವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಮೊಮೆಂಟಾಕ್ಕೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗ ಹದಿನೈದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಧ್ರುವಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹೊಸ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಪ್ರಭೇದವಾಗಿದ್ದು, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಕಣಗಳನ್ನು ವಿವೇಚಿಸಿದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳು ಅದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರೊಪೆಗೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಆವೇಗದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಬಳಲುವುದಿಲ್ಲ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಲ್ಲದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಪ್ರಸರಣಕಾರಕವು ಮೂಲದ ಸುತ್ತಲೂ ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಣ್ಣ ಆವೇಗದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೂ ಇರಬೇಕು. ಆದರೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾದ ಪ್ರಸರಣಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಶೂನ್ಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ದಾಟಬೇಕು, ಇದು ಬ್ರಿಲ್ಲೌಯಿನ್ ವಲಯದ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಕಪಟ ಫರ್ಮಿಯನ್ ಪ್ರಸರಣಕಾರ. ಇದು ಬೋಸೋನಿಕ್ ಪ್ರಸರಣಕಾರಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೂಲದ ಸುತ್ತಲೂ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಿರಂತರ ಪ್ರಸಾರಕವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಥಳೀಯೇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಡಬಲ್ಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಆವೇಗದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಸರಣದ ಧ್ರುವದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮ ವಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧದ ಶೂನ್ಯಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮಿನಿಮಾಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳು ವಿವಿಧ ಕಣ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನವು ಮೂರು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಎಂಟು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉಳಿದ ಎಂಟು ಡಬಲ್ಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಕಳೆದುಹೋಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ವಿಲೋಮ ವಿಕ್ ರೂಪಾಂತರದ ನಿಷ್ಕಪಟ ಅನ್ವಯದಿಂದಾಗಿ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸರಳವಾದ ಬದಲಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡದ ಅಡಚಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಪೂರ್ಣ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಾನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪ್ರಸಾರಕಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎಂಟು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಒಂದೇ ಪ್ರಸರಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಒಟ್ಟು ಹದಿನಾರು ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ನೈವ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಜಾಲರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಡುವಿನ ಅಡಚಣೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅವುಗಳ ಕಣಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ನಿರ್ಣಯಗಳು ನೀಲ್ಸನ್-ನಿನೋಮಿಯಾ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜಾಲರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನೋ-ಗೋ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್, ಅನುವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ, ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಎಡಗೈ ಮತ್ತು ಬಲಗೈ ವೇಯ್ಲ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಕೊರತೆಯಿದ್ದಾಗ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಎಷ್ಟು ಡಬಲ್ಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮುರಿಯದೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಡಬಲ್ ಇರುತ್ತದೆ, ನೈವ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಹದಿನೈದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಕೈರಲ್ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಕೈರಲಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಜಾಲರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವುದು ಡಬಲ್ಗಳಿಂದಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು ಅನೇಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿರುಚಿಗಳು ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಡಬಲ್ಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅಭಿರುಚಿಗಳನ್ನು ಬೆರೆಸುವ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಆವೇಗವನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ರುಚಿಯ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳು ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸದೆ ಎರಡು ರುಚಿಯ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ವರ್ಚುವಲ್ ಗೇಜ್ ಬೋಸನ್ನ ವಿನಿಮಯದಿಂದ ಚದುರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು, ನೀಲ್ಸನ್-ನಿನೋಮಿಯಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಬೇಕು, ಇದು ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿತ ನಿರ್ಣಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಡೊಮೈನ್ ವಾಲ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಿನ್ಸ್ಪಾರ್ಗ್-ವಿಲ್ಸನ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ. ಓವರ್ಲ್ಯಾಪ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ (ಜಿನ್ಸ್ಪಾರ್ಗ್-ವಿಲ್ಸನ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ನ ಪ್ರಕಾರ). ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ನಾನ್ ಲೋಕಲ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣ. ಎಸ್ಎಲ್ಎಸಿ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ಸ್ಥಳೀಯವಲ್ಲದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ. ಸ್ಟೇಸಿ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ಸ್ಥಳೀಯವಲ್ಲದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ. ಸ್ಟ್ಯಾಗರ್ಡ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ (ಕೊಗುಟ್-ಸಸ್ಕೈಂಡ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್): ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅನುವಾದದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ, ಡಬಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಮಮಿತಿಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಉತ್ಪಾದನೆಃ ಈ ವಿಧಾನವು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್-ಬಿಲಿನಿಯರ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧವಲ್ಲದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಐಕ್ಟೆನ್-ಪ್ರೆಸ್ಕಿಲ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಒಂದು ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು ವೆಕ್ಟರ್-ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೈರಲ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ನಡಿ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಎರಡು ಡೊಮೇನ್ ಗೋಡೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕನ್ನಡಿ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಚಿರಲ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ತಿರುಚಿದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ (ವಿಲ್ಸನ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ನ ಪ್ರಕಾರ). ವಿಲ್ಸನ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಃ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಅನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ವೇಗ, ಅವುಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನದ ಸುಲಭತೆ ಮತ್ತು ಅಸಾಧಾರಣ ಸಂರಚನೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಕ್ಷೀಯ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಉಳಿದ ಕೈರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ಎಷ್ಟು ಡಬಲ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿಯೂ ಅವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು, ಕೆಲವು ಡಬಲ್ ಅಥವಾ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಆದರೆ ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ನೈವ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಬದಲಿಗೆ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಬ್ಯಾಕ್ವರ್ಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ಗಳ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಐಜೆನ್ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಆಟಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಬಹುದು. ನಿರಂತರತೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಐಜೆನ್ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಐಜೆನ್ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಣಾಮವು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ವಿವೇಚಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕಣದ ವಿಷಯದ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಿರಂತರ ಆಪರೇಟರ್ನ ಹರ್ಮಿಟಿಸಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದುಳಿದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ಗಳು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ನಂತರದ ವಿವೇಚನೆ ನೀಲ್ಸನ್-ನಿನೋಮಿಯಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮುರಿದು, ಫರ್ಮಿಷನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹರ್ಮಿಶನ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನ್-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಸ್ವಯಂ-ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಶೃಂಗ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಾನ-ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಕೌಸ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಫೋನಾನ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿಃ ಘನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿದ್ಯಮಾನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಸ್