Jet (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜೆಟ್ ಎಂಬುದು ಎಫ್ ಎಂಬ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಫ್ ನ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಜೆಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಜೆಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಅಮೂರ್ತ ಬಹುಪದಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಮೊದಲು ಒಂದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಜೆಟ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೋಧಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಹಲವಾರು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ನಂತರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಜೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜೆಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಕಠಿಣ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಹುಗುಣಗಳ ನಡುವಿನ ಜೆಟ್ಗಳ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಜೆಟ್ಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಜೆಟ್ಗಳ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೆಟ್ಗಳು ಜೆಟ್ನ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವು ಬಿಂದುವಿನ U ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ k + 1 ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಲ್ಲಿ ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ f ನ k-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಹುಪದ ಜೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ z ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಮೂರ್ತ ಬಹುಪದಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ನಿಜವಾದ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜೆಟ್ಗಳ ನಡುವೆ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಜೆಟ್ಗಳು ತಮ್ಮ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೂಲ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಜೆಟ್ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ k ಕ್ರಮದ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಜೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಅದರ ಮೂಲ-ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಅದರ ಚರರಾಶಿಯ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆಟ್ಗಳು, ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಕಾರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ನಾವು ನಂತರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಗಳು ಇದು ಕನಿಷ್ಠ (k + 1) ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು f ನ k-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಬಹುಪದವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆಟ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಜೆಟ್ಗಳು ಸಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಉತ್ಪನ್ನದ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಜೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಜೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ z ಅನ್ನು ನಿಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಜೆಟ್ಗಳು ಔಪಚಾರಿಕ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೇವಲ z, ಮಾಡ್ಯುಲೋದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಉಂಗುರದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ≤k + 1 ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರ್ಶವು. ನಾವು ಈಗ ಜೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ. ಅನಗತ್ಯ ತಾಂತ್ರಿಕತೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಮೂಲವನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. f (0) = 0 ಮತ್ತು g (0) = 0 ಇದ್ದರೆ, ಆಗ. ಜೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದು ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಜೆಟ್ಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಹಾಯಕ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೆ-ಜೆಟ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಆದರ್ಶವಾದ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು. ನಂತರ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಜೆಟ್ಸ್ಃ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜೆಟ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳು, ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, p-adic ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. k ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು p ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. f ಮತ್ತು g ಗಳು p ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ f ಮತ್ತು g ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು k ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಘೋಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು p ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ k-th-ಆರ್ಡರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಸೇರಿದಂತೆ) ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಐಎಫ್ಎಫ್ ನಿಂದ ಕೆ-th ಕ್ರಮಕ್ಕೆ. p ನಲ್ಲಿನ k-th-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಜೆಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯದ p ನಲ್ಲಿರುವ k-th-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಜೆಟ್ ಅನ್ನು f ನ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜೆಟ್ ಮತ್ತು ಜೆಟ್ ಜಾಗದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲವಾದರೂ, ಇದು ನಯವಾದ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಎರಕಹೊಯ್ದ ಕಾರಣ, ಅಂತಹ ಬಳಕೆಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದು p ನಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮಾಣುಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. p ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮಾಣುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆದರ್ಶವಾಗಿರಲಿ. (ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ.) ನಂತರ ಆದರ್ಶವು p ನಲ್ಲಿ k ಅನ್ನು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮಾಣುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ p ನಲ್ಲಿ ಜೆಟ್ ಜಾಗವನ್ನು p ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು p ನಲ್ಲಿ f ನ k-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂಶವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. - ಸ್ಪೇಸ್ಗಾಗಿ, ರಚನೆಯ ಕವಚದ ಕಾಂಡವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರದ ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶವಾಗಿರಲಿ. kth ಜೆಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ರಿಂಗ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇದು ಆದರ್ಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಟೇಲರನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಜೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬಹುಪದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ ಜೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ನಾವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಜೆಟ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. f ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇದರ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ f (p) = q ಅನ್ನು ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೆಟ್ಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ M ಮತ್ತು N ಎರಡು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ? ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅಂತಹ ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಜೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಅಸ್ಥಿರ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಜೆಟ್ಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೆಟ್ಗಳು ಜೆಟ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯಿಂದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳವರೆಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೆಟ್ಗಳು M ಒಂದು ಬಿಂದು p ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು p ಮೂಲಕ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಜೆಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ f (0) = p ನಂತಹ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. f ಮತ್ತು g ಗಳು p ಮೂಲಕ ಒಂದು ಜೋಡಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಾವು f ಮತ್ತು g ಗಳು p ನಲ್ಲಿ k ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, p ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆ U ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ,. ಈ ಜೆಟ್ಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸ್ವತಃ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ p ನಲ್ಲಿನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ k-th-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಪರ್ಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ f ನಿಂದ p ವರೆಗಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ k-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಥವಾ ಸೂಚಿಸಲಾದ f ನ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆ-ಥ್-ಆರ್ಡರ್ ಜೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನಂತರ ಪಿ ನಲ್ಲಿ ಕೆ-ಜೆಟ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪಿ ಎಂ ಮೇಲೆ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಎಂ ಮೇಲೆ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೆ-ಥ್-ಆರ್ಡರ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಟಿ. ಕೆ. ಎಂ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಸಂಕೇತವು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು). k = 1 ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆಃ T1M = TM. ಟಿಕೆಎಂ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಬೋಧಪ್ರದವಾಗಿದೆ. (xi) = (x1,., xn) ಯು p ಯ U ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ M ಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ದುರುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ನಾವು (xi) ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ದೂರು. ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು f ಮತ್ತು g ಮೂಲಕ p ಸಮಾನ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಭಾಗವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು n ಕಾರ್ಯಗಳು x1,., xn ಎಂಬುದು M ನಿಂದ M ಗೆ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡು ಸಮಾನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಇರಬೇಕು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, p ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ M ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, q ಎಂಬುದು p ನ ಸಮೀಪವಿರುವ M ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ n ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕೆಲವು ನಯವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ f ಮತ್ತು g ನಿಂದ p ವರೆಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವು ಈಗ ಹಕ್ಕಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ನೈಜ ಚಲಪರಿಮಾಣ ಟಿ ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ ಬದಲಿಗೆ ಜಿ ವಿರುದ್ಧ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಫ್ (0) = ಜಿ (0) = ಪಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (xi) ಕೆ-ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಪರ್ಕದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತೋರಿಕೆಯ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಟಿ. ಕೆ. ಎಂ. ಪ್ರತಿ ಸಮನ್ವಯ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ತೋರಿಕೆಯ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಏಕ-ಅಲ್ಲದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕು. ವಿಭಿನ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಸಂಬಂಧಿತ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಲಿ. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ρ (0) = 0 ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಜೆಟ್ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. (ಜೆಟ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.) ಆದರೆ ρ ಒಂದು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಮೃದುವಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಏಕವಚನವಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಸುಗಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಆ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜೆಟ್ ಅನ್ನು p ಮೂಲಕ ಅದರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ M. ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಹಿಂದೆ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, p ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ 1-ಜೆಟ್ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. p ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು p ನಲ್ಲಿನ ನಯವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. φ (p) = 0 ಹೊಂದಿರುವ p ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ φ ಒಂದು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಚರರಾಶಿಯ ನಯವಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ 1-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ 1-ಜೆಟ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ 2-ಜೆಟ್ಗಳ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸ್ಥಳ. ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ xi ಒಂದು ಬಿಂದು p ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ, ನಾವು f (t) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು p ಮೂಲಕ p ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕಗಳಂತೆಯೇ (ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ 1-ಜೆಟ್ಗಳು), ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ 2-ಜೆಟ್ಗಳು ಸಮನ್ವಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನ್ವಯದ ಮೇಲೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ. (yi) ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ. ಸರಪಳಿ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು t = 0 ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ರೂಪಾಂತರ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಲ್ಲಿ 2-ಜೆಟ್ಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಈಗ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಿಂದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ಎರಡು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. p ಯು M ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. p ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು f ಮತ್ತು g ಅನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ವಕ್ರರೇಖೆ γ ನಿಂದ p ಗೆ (ನಮ್ಮ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ), ನಾವು 0 ರ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಜೆಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುರಿ ಸ್ಥಳ N ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪಿ ಬಳಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪಿ ನಲ್ಲಿ ಎಫ್ ನ ಕೆ-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಫ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಸಮಾನ ವರ್ಗ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಲ್ಟಿಜೆಟ್ಗಳ ಜಾನ್ ಮ್ಯಾಥರ್ ಮಲ್ಟಿಜೆಟ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸಡಿಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಲ್ಟಿಜೆಟ್ ಎಂಬುದು ವಿವಿಧ ಬೇಸ್-ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಜೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಥರ್ ಅವರು ಮಲ್ಟಿಜೆಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ವರ್ಸಾಲಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಅವರು ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು. ವಿಭಾಗಗಳ ಜೆಟ್ಗಳು ಇ ಎಂಬುದು ಬಹುಗುಣಿತ ಎಂ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಯವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ Eಯ ವಿಭಾಗಗಳು ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ Mಯ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್. p ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಜೆಟ್ ಈ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಜೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು pಯಲ್ಲಿ Mಯಿಂದ Eಯವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. pಯಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳ ಜೆಟ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವು ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೆಟ್ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದಾದರೂ, ಸಂದರ್ಭವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೆಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, p ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳ ಜೆಟ್ಗಳ ಸ್ಥಳವು ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರಚನೆಯಿಂದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪಿ ಎಂ ಮೇಲೆ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಜೆಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇ ಯ ಕೆ-ಥ್-ಆರ್ಡರ್ ಜೆಟ್ ಬಂಡಲ್, ಜೆಕೆ (ಇ) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಜೆಟ್ ಬಂಡಲ್. ನಾವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ v ಯ 1-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ x ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ 1-ಜೆಟ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಪಟ್ಟಿ (vi) ಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಪಟ್ಟಿಯು ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರ v ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು wk ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, v ನ 1-ಜೆಟ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೊಸ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವು ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಜೆಟ್ ಗ್ರೂಪ್ ಜೆಟ್ ಬಂಡಲ್ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ರಾಸಿಲ್ 'ಷಿಕ್, ಐ. ಎಸ್., ವಿನೋಗ್ರಡೋವ್, ಎ. ಎಂ., [ಮತ್ತು ಇತರರು. ], ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಸಮಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮಗಳು, ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಪ್ರಾವಿಡೆನ್ಸ್, ಆರ್ಐ, 1999,. ಕೊಲಾರ್, ಐ., ಮಿಚೋರ್, ಪಿ., ಸ್ಲೋವಾಕ್, ಜೆ., ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ಃ ಬರ್ಲಿನ್ ಹೈಡೆಲ್ಬರ್ಗ್, 1993. ಸಾಂಡರ್ಸ್, ಡಿ. ಜೆ., ದಿ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಫ್ ಜೆಟ್ ಬಂಡಲ್ಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1989, ಓಲ್ವರ್, ಪಿ. ಜೆ., ಈಕ್ವಿವಲೆನ್ಸ್, ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿ, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1995, ಸರ್ದನಾಶ್ವಿಲಿ, ಜಿ., ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಫಾರ್ ಥಿಯೊರಿಟಿಯನ್ಸ್ಃ ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ಸ್, ಜೆಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಥಿಯರಿ, ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್, 2013,; ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಸಿಂಗ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಥಿಯರಿ