Bennett's inequality
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಬೆನೆಟ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಉನ್ನತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆನೆಟ್ರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನ್ಯೂ ಸೌತ್ ವೇಲ್ಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಜಾರ್ಜ್ ಬೆನೆಟ್ 1962ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹೇಳಿಕೆ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರಲಿ. ಮುಂದೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ (1975) ಮತ್ತು ಫ್ಯಾನ್, ಗ್ರಾಮ ಮತ್ತು ಲಿಯು (2012) ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬೆನೆಟ್ನ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುಧಾರಣೆಯ ಮಾರ್ಟಿನ್ಗೇಲ್ ಆವೃತ್ತಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ. ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಾರಾಂಶಗಳು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬೆನೆಟ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸಾರಾಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅವುಗಳ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದಾಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಉಪ-ಗಾಸಿಯನ್ ಬಾಲಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೆನೆಟ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪಾಯ್ಸೋನಿಯನ್ ಬಾಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬೆನೆಟ್ರ ಅಸಮಾನತೆಯು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಏಕಾಗ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪದಗಳಿಗೆ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಬೆನೆಟ್ರ ಅಸಮಾನತೆಯು ಈ ಮಿತಿಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಇತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಅಥವಾ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಘಟಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಬೈನರಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಬೆನೆಟ್ರ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಫಾರ್, ಸೋ ಫಾರ್. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಬೆನೆಟ್ ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಾಲ-ಮಿತಿಗಳ ಸಾರಾಂಶ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು