Mason–Stothers theorem
ಮೇಸನ್-ಸ್ಟೋಥರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಮೇಸನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಹುಪದಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎಬಿಸಿ ಊಹೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. 1981ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ವಾಲ್ಟರ್ ವಿಲ್ಸನ್ ಸ್ಟೋಥರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಿದ ಆರ್. ಸಿ. ಮೇಸನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಹುಪದಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಇಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದು ಅದೇ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದರ ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ,, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಷರತ್ತು, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, p ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು, ಮೂರು ಬಹುಪದಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿ (ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ಆದರೆ ರಾಡಿಕಲ್ನ ಡಿಗ್ರಿ ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಸನ್-ಸ್ಟೊಥರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯು ಇರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ನೀಡುವುದು, ಅಸಮಾನತೆಯು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಸನ್-ಸ್ಟೋಥರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಉಪಸೂತ್ರವು ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಹುಪದಗಳು ವಿಭಜಿಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು, ಅಥವಾ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರೂಫ್ ಮೇಸನ್-ಸ್ಟೊಥರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿತು. ಹಂತ 1. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ವ್ರೋನ್ಸ್ಕಿಯನ್ನರು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರೂ ಸಮಾನರು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಹಂತ 2. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು, ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ್ದು ಮತ್ತು ಅದು, ಮತ್ತು ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೀಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ (ಹಾಗೆಯೇ ಮತ್ತು ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ) ಹೀಗೆ (ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಹೊರತು). ಹಂತ 3. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಇವು ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರಣ ನಾವು ಹಂತ 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ-(ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ)-(ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ)-(ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) (ಕೆಲವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ವಲಯವನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ, ಕುಲದ ನಯವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ, ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಮೇಲೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು ಅದು ಪಿ 1 ಗೆ ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ವರ್ಷ ಜೆ. ಎಚ್. ಸಿಲ್ವರ್ಮನ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಪರ್ಯಾಯ ಕಿರು ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಮೇಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಜೆ. ಎಫ್. ವೋಲೋಚ್ ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಡಿ. ಬ್ರೌನ್ವೆಲ್ ಮತ್ತು ಡಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಮಾಸರ್ ಅವರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಿದೆ, ಇದು-ವೇರಿಯೇಬಲ್-ಯುನಿಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪುಗಳು-ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯವು ಮೇಸನ್-ಸ್ಟೊಥರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಎಬಿಸಿ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್, ವಿಶಾಲ್ ಲಾಮಾ ಅವರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಲ್ಯಾಂಗ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದ ಪುರಾವೆಯ ಸ್ವಚ್ಛಗೊಳಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿ. ಬಹುಪದಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು