Symbolic integration
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಂಕೇತಿಕ ಏಕೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಫ್ (x) ಎಂಬ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದನ್ನು ಚರ್ಚೆಯನ್ನೂ ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಫ್ ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕಿಂತ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇನ್ಪುಟ್ ಅಥವಾ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಡಿಜಿಟಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಈಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನೇರವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿರುವ ಅನೇಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಮತ್ತು ಪೂರಕವಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ರಿಷ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತಾಂಕಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು, ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು n ನೇ ಮೂಲಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯ) ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದರ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ರಿಷ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೇರ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಬಹಳ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು. ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ರಿಡ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಾರಿಗೆ ತರಲಾಯಿತು; ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಜೇಮ್ಸ್ ಎಚ್. ಡೇವನ್ಪೋರ್ಟ್ ಅವರು ರಿಡ್ಯೂಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದರು; ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾನುಯೆಲ್ ಬ್ರಾನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, ಅವರು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಕ್ಸಿಯಂನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದರು, ಆದರೂ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲ ರಿಷ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಅನುಷ್ಠಾನವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಿಷ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಮೆಲ್ಲಿನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಕೊರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಭಿವರ್ಧಕರು ಮಾದರಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಳಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದಿದ್ದಾರೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಪೂರ್ಣ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ಗಿಂತ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಎದುರಿಸುತ್ತಿರುವ ಅನೇಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾದಂತಹ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಲುಕ್-ಅಪ್ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳು, ಬದಲಾಗುವ ರೂಪಾಂತರ, ಮಾದರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕುಶಲತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮ್ಯಾಪಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಭಿವರ್ಧಕರು ಪ್ರವರ್ತಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, ಆಕ್ಸಿಯಂ, ಮುಪಾಡ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ಅನುಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಏಕೀಕರಣದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಶನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಶನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ಬಹುಪದೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ, ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಶನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಲಾಗರಿಥಮ್, ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಅವು ಏರೀ ಫಂಕ್ಷನ್, ಎರರ್ ಫಂಕ್ಷನ್, ಬೆಸೆಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ರಮಾವಳಿಯಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವೇಗವಾದ ಗಣನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾದಾಗ, ಅವುಗಳ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಗಣನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಇದು ಏಕೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಂತಿಮ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಇದು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ಗಣನೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಪಲ್ಗಾಗಿ ಅಲ್ಗೋಲಿಬ್ ಗ್ರಂಥಾಲಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ C ಎಂಬುದು ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ), ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್-ಫ್ರೀ ಆನ್ಲೈನ್ ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಷನ್ ವಿತ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂಬ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.