Categorification
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸಮೂಹ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ, ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಲೂಯಿಸ್ ಕ್ರೇನ್ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. ವರ್ಗೀಕರಣದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣವು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೂಲಕ ಒಂದು ವರ್ಗದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣವು ನೇರವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೂ, ವರ್ಗೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಅಧ್ಯಯನದ ಪ್ರಮುಖ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಹೇಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (ದುರ್ಬಲ) ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳು. ವರ್ಗೀಕರಣ ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಣವು ನಿಖರವಾದ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು 'ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ' ದಂತಹ ಪದಗಳಂತೆಯೇ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 'ಸೀಫಿಕೇಷನ್' ನಂತೆ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವರ್ಗೀಕರಣದ ಒಂದು ರೂಪವು ಸೆಟ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ರಚನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಂದು ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು (ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜೋಡಣೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಸಹಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಾಗಿಸುವಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ, ನಿಜವಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು, ಮತ್ತು ಸಹ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು) ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಗಾ ಇಡಲು ವಸ್ತುಗಳ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು) ಮೊದಲು ಬಂದವು. ನಂತರ, ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು-ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಮೂರ್ತ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು "ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಮಾತ್ರ" ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಇದು "ವರ್ಗೀಕರಣ"-ವರ್ಗೀಕರಣವು ಈ ಹಂತವನ್ನು ಹಿಮ್ಮೆಟ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಎಮ್ಮಿ ನೋಥರ್ ಅವರು ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಆಧುನಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಲವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ನೀಡಿದರು. ಗಂಟು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಂಟು ಬದಲಾಗದೆ ಇರುವಂತೆ ಖೋವಾನೋವ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಲಯವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವರ್ಗೀಕರಣದ ನಕ್ಷೆಯು ವಿಭಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಶುರ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ನೆಚ್ಚಿನ ಆಧಾರದಿಂದ ಅಕ್ಷರದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ನೆಚ್ಚಿನ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ರಚನೆಗಳು ಹೇಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್-ರಿಚರ್ಡ್ಸನ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅವುಗಳ ಬೇಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ವರ್ಗಕ್ಕೆ, ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವಂತಹ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು (ದುರ್ಬಲ) ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಎಂಡೋಫಂಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. , ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ಸಂಖ್ಯಾ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಉನ್ನತ ವರ್ಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವಲಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಮೇಲಿನ ಲೇಖಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರ ಬ್ಲಾಗ್ ಪೋಸ್ಟ್ (ಬೇಜ್): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ