Ending lamination theorem
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು "ಎಂಡ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು", ಅವು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕೆಲವು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲೆ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಲ್ಯಾಮಿನೇಶನ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಮೂಲತಃ ಊಹಿಸಲಾದ ಎಂಡಿಂಗ್ ಲ್ಯಾಮಿನೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತ್ಯದ ಲ್ಯಾಮಿನೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತ ಪರಿಮಾಣದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಮೊಸ್ಟೋ ರಿಗಿಡಿಟಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮೊಸ್ಟೋವ್ ಬಿಗಿತ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಾಣವು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಬಹುಗುಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಒಬ್ಬರು ಬಹುಗುಣದ "ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ" ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಂತ್ಯದ ಲ್ಯಾಮಿನೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅಂತಿಮ ಲ್ಯಾಮಿನೇಷನ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಟ್ಯಾಮನೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅಂತಿಮ ಲ್ಯಾಮಿನೇಷನ್ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಇಎಲ್ಟಿ ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಡಿಂಗ್ ಲ್ಯಾಮಿನೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಎಂಡಿಂಗ್ ಲ್ಯಾಮಿನೇಷನ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 3-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ S × [0,1] ರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮೃದುವಾದ ತುದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ S ಅನ್ನು ಅಂತ್ಯದ "ಅನಂತದ ಬಿಂದುಗಳು" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ತುದಿಯ ಕೊನೆಯ ಲ್ಯಾಮಿನೇಶನ್ (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ) ಎಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಮಿನೇಶನ್ ಆಗಿದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಎಸ್ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಎಸ್ನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಯೂನಿಯನ್ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಲಿಫ್ಟ್ಗಳು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಈ ಸರಳ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ನ ಮಿತಿಯು ಅಂತ್ಯದ ಲ್ಯಾಮಿನೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ 3-ಕ್ಲೈನಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ