Unimodality
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದರೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದರೆ ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿನ ಒಂದೇ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ, ಹೇಗಾದರೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯುನಿಮೋಡಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಯುನಿಮೋಡಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಯುನಿಮೋಡಲ್ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದೇ ಉತ್ತುಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಮೋಡ್" ಎಂಬ ಪದವು ವಿತರಣೆಯ ಯಾವುದೇ ಉತ್ತುಂಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಮೋಡ್ನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ. ಒಂದೇ ವಿಧಾನವಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು "ಯುನಿಮೋಡಲ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು "ಬೈಮೋಡಲ್" (2), "ಟ್ರೈಮೋಡಲ್" (3), ಇತ್ಯಾದಿ, ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, "ಮಲ್ಟಿಮೋಡಲ್". ಚಿತ್ರ 1 ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ. ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ ವಿತರಣೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ವಿತರಣೆ, ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ ಸೇರಿವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 2 ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 3 ಬೈಮೋಡಲ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯ ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಸಿಡಿಎಫ್) ನ ವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಿಡಿಎಫ್ x <m ಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು x> m ಗೆ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, m ಮೋಡ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಯೂ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವಿತರಣೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವಿರಾಮವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಅಥವಾ "ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಮಾಣು" ಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪತೆಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅದರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕವೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಏಕರೂಪದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಸಂಭವ. ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಶೂನ್ಯಗಳು ಎಣಿಸದಿದ್ದಾಗ) ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಪಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವಿತರಣೆಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಗೆ ಒಂದು ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಅದು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅವು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹವು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಹುವಿಧದ ವಿತರಣೆಯ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಗಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಗಾಸ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಗಾಸ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಗಾಸ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಕ್ರಮದಿಂದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಉನ್ನತ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಏಕರೂಪತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ವೈಸೊಚಾನ್ಸ್ಕಿ-ಪೆಟುನಿನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎರಡನೆಯದು ವೈಸೊಚಾನ್ಸ್ಕಿ-ಪೆಟುನಿನ್ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, "ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ" ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ "ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿವೆ" ಎಂದು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೈಸೊಚಾನ್ಸ್ಕಿ-ಪೆಟುನಿನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಷ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೆಲ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸೆಲ್ಕೆ ತೋರಿಸಿದರು. ಮೋಡ್, ಮೀಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಮೀನ್ ಗಾಸ್ ಸಹ 1823 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದರು, ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಮತ್ತು ಮೀಡಿಯನ್ ν ಆಗಿರುವಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ μ ಮತ್ತು ω ಮೋಡ್ನಿಂದ ಮೂಲ ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಮ ν ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ μ ಗಳು (3/5) 1/2 ≈ 0.7746 ಪರಸ್ಪರರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ |. | ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. 2020 ರಲ್ಲಿ, ಬರ್ನಾರ್ಡ್, ಕಾಜಿ ಮತ್ತು ವಂಡಫೆಲ್ ಅವರು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪರಿಮಾಣದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಗರಿಷ್ಠ ದೂರವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪರಿಮಾಣದ ಸರಾಸರಿ ಸಮನಾದಾಗ), ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸರಾಸರಿಗೆ ದೃಢವಾದ ಅಂದಾಜುಗಾರನಾಗಿ ಮಧ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವಾಗ, ಮಿತಿಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಮೀಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ θ ನಡುವೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆಃ ಅವು ಪರಸ್ಪರರ 31/2 ≈ 1.732 ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆಃ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ ಪರಸ್ಪರರ 31/2 ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಬಹುದುಃ ಸ್ಕ್ಯೂನೆಸ್ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ರೋಹಟ್ಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಜೆಕೆಲಿ, ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ಕ್ಯೂನೆಸ್ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆಃ ಇಲ್ಲಿ κ ಎಂಬುದು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಮತ್ತು γ ಎಂಬುದು ಸ್ಕ್ಯೂನೆಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಲಾಸ್ಸೆನ್, ಮೊಕ್ವೆಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಎಸ್ ಇದು ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳ ಸೆಟ್. ಅವರು ಎಲ್ಲಾ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ದುರ್ಬಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದರುಃ ಈ ಮಿತಿಯು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು [0,1] ಮೇಲಿನ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಾನ-ತೂಕದ ಮಿಶ್ರಣದಿಂದ ಮತ್ತು {0} ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ತಲುಪಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಮೋಡಲ್ ಕಾರ್ಯ "ಮೋಡಲ್" ಎಂಬ ಪದವು ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. "ಏಕರೂಪ" ದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯ m ಗೆ, ಇದು x ≤ m ಗೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು x ≤ m ಗೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, f (x) ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು f (m) ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠತೆಗಳಿಲ್ಲ. ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅನೇಕವೇಳೆ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಧಾನವು ಆ ಆಸ್ತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಇದು ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಚತುರ್ಭುಜ ಗುಣಾಂಕ ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವು ಸೇರಿವೆ. ಮೇಲಿನವುಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಲವಾದ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f (x) ಒಂದು ದುರ್ಬಲವಾದ ಏಕರೂಪದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದು, m ಮೌಲ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು x ≤ m ಗೆ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x ≤ m ಗೆ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿರಂತರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ f (m) ಅನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು. ಬಲವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರದ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು. ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ತುದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಯುನಿಮೋಡಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಗೋಲ್ಡನ್ ಸೆಕ್ಷನ್ ಸರ್ಚ್, ಟೆರ್ನರಿ ಸರ್ಚ್ ಅಥವಾ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಶನ್ನಂತಹ ಸರ್ಚ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅದರ ಶ್ವಾರ್ಜಿಯನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ಎಲ್ಲಿದ್ದರೆ, f (x) ಕಾರ್ಯವು "S-ಯುನಿಮೋಡಲ್" ಆಗಿದೆ (ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "S-ಯುನಿಮೋಡಲ್ ಮ್ಯಾಪ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮರ್ಥ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ನ f (X) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ, f (G (Z)) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವಂತೆ X = G (Z) ಅನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇದ್ದರೆ f ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಿ (ಝಡ್) ಅನ್ನು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದೆಂದು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ಕೇವ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ವಾದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಬೈಮೋಡಲ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳು ಗಣಿತ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ