Ring (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಉಂಗುರಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳಾಗಿವೆಃ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉಂಗುರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರದ ಅಂಶಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವು ಬಹುಪದಗಳು, ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳಂತಹ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಸ್ತುಗಳೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಉಂಗುರವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಅಡಿಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎರಡನೇ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಅಡಿಷನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಈ ಕೊನೆಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು "ಕಾಣೆಯಾದ" i "ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ; ನೋಡಿ.) ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆಯೇ (ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಕ್ರಮವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದೇ) ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಆಳವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತವು, ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದು, ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಚಾರಗಳಿಂದ ಬಹಳವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಅಂತಹ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್, ಅವುಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳ ಸೆಟ್, ಅಫೈನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ ಸೇರಿವೆ. ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನೈಜ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಂಗುರಗಳು, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಉಂಗುರಗಳು, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಉಂಗುರಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಡೆಡೆಕಿಂಡ್, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್, ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಮತ್ತು ನೋಥರ್ ಅವರ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಂಗುರಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು 1870 ರಿಂದ 1920 ರವರೆಗೆ ವ್ಯಾಪಿಸಿತ್ತು. ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉಂಗುರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ಅವು ನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಂತಹ ಗಣಿತದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಎರಡು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು + (ಸೇರ್ಪಡೆ) ಮತ್ತು ⋅ (ಗುಣಾಕಾರ) ಹೊಂದಿದ್ದು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಸೆಟ್ಗಳ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರಿಂಗ್ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆಃ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ (ಅಂದರೆ, ಸಹವರ್ತಿ). ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ (ಅಂದರೆ, ಪರಿವರ್ತನೀಯ). ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ (ಅಂದರೆ, ಸಂಯೋಜಕ ಗುರುತು). ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಸಂಯೋಜಕ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ). ಇದು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕಪದವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆಃ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ (ಅಂದರೆ, ಸಹವರ್ತಿ). ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ (ಅಂದರೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತು). ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿತರಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆಃ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ (ಎಡ ವಿತರಣಾ). ಎಲ್ಲರಿಗೂ (ಸರಿಯಾದ ವಿತರಣೆ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಈ ಲೇಖನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಉಂಗುರವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ರಚನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಗೆ rng (IPA:) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ + ಮತ್ತು ⋅ ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹವು rng ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವರ್ತುಲವಲ್ಲ. ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ "ರಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಂದರೆ. ರಿಂಗ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ರಿಂಗ್ ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲಃ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಂವಹನವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಂತಹವು) ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ವರ್ತುಲ ಎಂದರೆ ಸಂವಹನ ವರ್ತುಲ ಎಂಬ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ, ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರವನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರದ ಸಂಯೋಜಕ ಸಮೂಹವು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದಾದರೂ, ಇದನ್ನು ಇತರ ವರ್ತುಲ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆಯು "" ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು rng ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. (ಒಂದು ಆರ್. ಎನ್. ಜಿ. ಗೆ, ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವಿಟಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ ಅದು ಉಳಿದ ಆರ್. ಎನ್. ಜಿ ಊಹೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಊಹಿಸಬಹುದಾಗಿದೆಃ) ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಧುನಿಕ ಲೇಖಕರು ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ "ರಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರೂ, ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹವರ್ತಿಯಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಈ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೆಲವರು ಇದ್ದಾರೆ. ಈ ಲೇಖಕರಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಬೀಜಗಣಿತವೂ ಒಂದು "ವರ್ತುಲ" ವಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಮೂಹ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಚಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿ ವೃತ್ತದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಉಂಗುರದ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆಃ ಸಂಯೋಜಕ ಗುರುತು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದ ಸಂಯೋಜಕ ವಿಲೋಮವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ, ಒಂದು ಅಂಶವು (ಶೂನ್ಯವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು. ಒಂದು ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಘಟಕ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ), ಅದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಶೂನ್ಯ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಶೂನ್ಯ ಉಂಗುರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದದ್ದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 4 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸಿಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಮೊತ್ತವು ಉಳಿದಿರುತ್ತದೆ (ಯಾವಾಗಲೂ 8 ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಈ ಉಳಿದವು ಒಂದೋ ಅಥವಾ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಳಿದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಇದು ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2-ಬೈ-2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2-ಬೈ-2 ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ರಿಂಗ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಶವು ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಾಗಿದೆ. ವೇಳೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಉಂಗುರವು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲಕ್ಕೆ, ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ವರ್ತುಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯಾಮದ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನೋಡಿಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವರ್ತುಲವನ್ನು ನೋಡಿ. ರಿಂಗ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಬಹುಪದೀಯ ರಿಂಗ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. 1871ರಲ್ಲಿ, ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆತ "ಐಡಿಯಲ್" (ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಕುಮ್ಮರ್ ಅವರ ಐಡಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು "ಮಾಡ್ಯೂಲ್" ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ "ರಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿಲ್ಲ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ "ಝಹ್ಲ್ರಿಂಗ್" (ನಂಬರ್ ರಿಂಗ್) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು 1892ರಲ್ಲಿ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1897ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, "ರಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವು "ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್" ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಬಲ್ಲದು, ಇದನ್ನು ಇಂದಿಗೂ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪೈ ರಿಂಗ್), ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು "ಸಂಬಂಧಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಾಂತ್ರಿಕವಲ್ಲದ ಪದವಾಗಿ "ಗುಂಪು" ಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ವೆ ಕೊಹ್ನ್ ಪ್ರಕಾರ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಒಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಸಮಾನತೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) "ನೇರವಾಗಿ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಸುತ್ತುವ" ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಈ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಉನ್ನತ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸ್ಥಿರ ಗುಂಪಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಶಕ್ತಿಗಳು "ಚಕ್ರ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತವೆ". ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಂತರಃ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮತ್ತು ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಲಿದೆ. ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಮತ್ತು ನೋಥರ್ ಉಂಗುರದ ಮೊದಲ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1915 ರಲ್ಲಿ ಅಡಾಲ್ಫ್ ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ನೀಡಿದರು, ಆದರೆ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಆಧುನಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಠಿಣವಾಗಿದ್ದವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆತನು ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ-ವಿಭಾಜಕವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿತ್ತು. 1921 ರಲ್ಲಿ, ಎಮ್ಮಿ ನೋಥರ್ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳ (1 ರೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದೆ) ಆಧುನಿಕ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ಬೆರೀಚೆನ್ನಲ್ಲಿನ ಐಡಿಯಾಲ್ಥಿಯೋರಿಯಲ್ಲಿ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮತ್ತು "ರಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವು "ರಿಂಗ್" ಗಾಗಿ ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದವು, ಆದರೆ ನೋಥರ್ಸ್ ಮಾಡಲಿಲ್ಲ. ಸುಮಾರು 1960 ರವರೆಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಪುಸ್ತಕಗಳು "ರಿಂಗ್" ಗೆ a ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ನೋಥರ್ನ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದವು. 1960 ರ ದಶಕದಿಂದ, "ರಿಂಗ್" ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ 1 ರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಯಿತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆರ್ಟಿನ್, ಬೌರ್ಬಾಕಿ, ಐಸೆನ್ಬುಡ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಗ್ನಂತಹ ಗಮನಾರ್ಹ ಲೇಖಕರ ಮುಂದುವರಿದ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ. 2022 ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಪುಸ್ತಕಗಳೂ ಸಹ ಇವೆ, ಅವು ಪದದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಈ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಗಾರ್ಡ್ನರ್ ಮತ್ತು ವೈಗಾಂಡ್ಟ್, ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ (ಸ್ಥಿರ ಉಂಗುರದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ), ಎಲ್ಲಾ ಉಂಗುರಗಳು a ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದರೆ, ಕೆಲವು ಪರಿಣಾಮಗಳು ಅನಂತ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಉಂಗುರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉಂಗುರಗಳ ಸರಿಯಾದ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳು ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. "ಅನೇಕ, ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚಿನ, ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಏಕತೆಯ ಅಂಶದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅಗತ್ಯವು ಸಂವೇದನಾಶೀಲವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ" ಎಂದು ಅವರು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉಂಗುರಗಳ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯು ನೇರ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪೂನೆನ್ ಪ್ರತಿವಾದವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತು ಇಲ್ಲದ ಉಂಗುರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ (ಖಾಲಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಉಂಗುರ ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಕ್ರಮದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು "ಸಂಯೋಜಕತೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಉಂಗುರಗಳು ಖಾಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉಂಗುರಗಳು 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. "ರಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದದ ಬಳಕೆಗೆ ಎರಡೂ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಲೇಖಕರು ಇತರ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಲುಃ "ಯೂನಿಟಲ್ ರಿಂಗ್", "ಯೂನಿಟರಿ ರಿಂಗ್", "ಯುನಿಟ್ ರಿಂಗ್", "ರಿಂಗ್ ವಿತ್ ಯೂನಿಟಿ", "ರಿಂಗ್ ವಿತ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ", "ರಿಂಗ್ ವಿತ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ", "ರಿಂಗ್ ವಿತ್ ಯುನಿಟ್" ಅಥವಾ "ರಿಂಗ್ ವಿತ್ 1". ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲುಃ "rng" ಅಥವಾ "ಸೂಡೋ-ರಿಂಗ್", ಆದಾಗ್ಯೂ ಎರಡನೆಯದು ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳು ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ, ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ವಿಧದ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯುನಿಟಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ. ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಬೀಜಗಣಿತ. ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಪರಿವರ್ತಕ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಬಿಂದುವಾರು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ, ಅದರ ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಉಪ-ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಅನಂತದ ಉಂಗುರವು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಗಳ (ಅನಂತ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಕ್ ವರ್ತುಲವು, ಹೆಕ್ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ವರ್ತುಲವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸೇಟ್ಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೂಲಿಯನ್ ಉಂಗುರದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ವರ್ಗ-ಮೂಲಕ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ನಿಂದ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಸ್ವತಃ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. (ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಉಂಗುರವಲ್ಲ), ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಂಗುರವು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಜಿ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಜಿ ಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದು ಸಂವಹನ ವಲಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಒಂದು ವರ್ತುಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಓವರ್ನ ಗುಂಪು ವರ್ತುಲವು ಜಿ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿಯಮಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಂವಹನದ ಅಂಶಗಳು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ವರ್ತುಲ (ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಅನೇಕ ಉಂಗುರಗಳು ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಬನಾಚ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಸಂವಹನಶೀಲವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿವೆ. ನಾನ್-ರಿಂಗ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪು ಕೂಡ ಅಲ್ಲ (ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ). ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (0 ಸೇರಿದಂತೆ) ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಇದು ಸಂಯೋಜಕ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಉಂಗುರದ ಎಲ್ಲಾ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಎಂದಿನಂತೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಆದರೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆಃ ನಂತರ rng, ಆದರೆ ರಿಂಗ್ ಅಲ್ಲಃ ಡೈರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಅಂಶವಲ್ಲ. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳು ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಲೆಟ್ ಅಂಡ್ ಲೆಟ್ ಫಾರ್. ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ, ರಿಂಗ್ನ ಒಂದು ಅಂಶದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಫಾರ್. ಆಮೇಲೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಉಂಗುರದ ಎ ಎಡ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಉಂಗುರದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದು, ಅಂತಹ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಲ ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶವು ಕೆಲವರಿಗೆ ಅಂತಹ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿರುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ಒಂದು ಘಟಕವು ಗುಣಾಕಾರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರದ ಘಟಕಗಳ ಸಮೂಹವು ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಅಥವಾ ಅಥವಾ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಬ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಬ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅದೇ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ನಿರ್ಬಂಧದ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ. ; ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು ಒಳಗಿವೆ. ಸೇರ್ಪಡೆ ನಕ್ಷೆಯು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವಂತೆ ಅದನ್ನು ರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪ-ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳ ಉಂಗುರದ ಉಪ-ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ (ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಉಂಗುರಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಾಗಿದೆ). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಸಬ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಬ್ಆರ್ಎನ್ಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಛೇದನವು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರಚಿಸಿದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರಕ್ಕೆ, ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. (ಸಮಯಗಳು) ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಇದು ಸಂಭವಿಸುವಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಎಂದಿಗೂ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆ ಉಂಗುರಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣಃ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಕ್ಕಾಗಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಆ ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದರ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ (ಅಥವಾ ಕಮ್ಯುಟಂಟ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರವು ಇಡೀ ರಿಂಗ್ನ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರದ ಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅವು (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ) ಕೇಂದ್ರದ ಉಪಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರ್ಶ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ಲೆಫ್ಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಇನ್ ಮತ್ತು ಇನ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಇನ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಎರಡು ಬದಿಯ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದು ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸರಳವಾಗಿ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಐಡಿಯಲ್ ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಲೆಫ್ಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಲೆಫ್ಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಲೆಫ್ಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ ಅಥವಾ ದ್ವಿಮುಖ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅದು ಇದ್ದರೆ, ಆಗ ಮತ್ತು ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಡ ಆದರ್ಶಗಳು ಮತ್ತು ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳು; ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಎಡ ಆದರ್ಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಸಮೂಹವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಆದರ್ಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಆದರ್ಶವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆದರ್ಶವೂ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನಂತೆ, ಉಂಗುರವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸರಿಯಾದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಸರಳ ಉಂಗುರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅವುಗಳ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ವಿಶೇಷ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಡ ಆದರ್ಶಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನಂತ ಸರಪಳಿಯಿಲ್ಲದ ಉಂಗುರವನ್ನು ಎಡ ನೋಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ ಆದರ್ಶಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನಂತ ಸರಪಳಿಯಿಲ್ಲದ ಉಂಗುರವನ್ನು ಎಡ ಆರ್ಟೀನಿಯನ್ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ ಆರ್ಟೀನಿಯನ್ ಉಂಗುರವು ನೊಥೇರಿಯನ್ (ಹಾಪ್ಕಿನ್ಸ್-ಲೆವಿಟ್ಜ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯ) ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ವಲ್ಪ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ, ಆದರ್ಶಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅದು ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಅದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈ ನಂತರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಂದು ಉಂಗುರದಿಂದ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂಬುದು ಉಂಗುರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲರಿಗೂಃ ಒಬ್ಬರು ಆರ್ಎನ್ಜಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೂರನೇ ಷರತ್ತನ್ನು ಕೈಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ವಿಲೋಮ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಒಂದೇ ಉಂಗುರದ ನಡುವಿನ ಒಂದು ಉಂಗುರ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಉಂಗುರದ ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಅದರ ಉಳಿದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 4 (ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ) ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವು ಉಂಗುರದಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರದ ಉಂಗುರದವರೆಗಿನ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ ("ಭಾಗಾಕಾರದ ಉಂಗುರ" ವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ). ಒಂದು ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಏಕ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಉಂಗುರದ ಏಕರೂಪತೆ, ಇದನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರಿಂಗ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರಗಳ ಎಪಿಕಾಮಾರ್ಫಿಸಮ್ (ಅಂದರೆ, ಬಲ-ರದ್ದುಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಕ್ಷೆಯು ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು-ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಓವರ್ನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, 0 ರಿಂದ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ ಒಂದು ದ್ವಿಮುಖ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಆದರ್ಶವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಉಪಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವಿರುವ ವರ್ತುಲಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಕ ವರ್ತುಲದಿಂದ ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ (ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ). ಅನುಪಾತದ ಉಂಗುರವು ಅಂಶದ ಉಂಗುರದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅಂಶದ ಗುಂಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವರ್ತುಲ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ವೀಕ್ಷಿಸಿ; ನಂತರ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ರಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೋಸೆಟ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರವನ್ನು ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪಿನಂತೆ, ಒಂದು ಅಂಗೀಕೃತ ಏಕರೂಪತೆ ಇದೆ, ಇದನ್ನು ಇದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ ಏಕರೂಪತೆಗೆ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುವುದರಿಂದ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ವಾಹಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ) ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು-ಘಟಕವು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು (ಒಂದು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ) ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜೋಡಣೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಎಲ್ಲಾ ಇನ್ ಮತ್ತು ಆಲ್ ಇನ್, ಅಡಿಷನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರವು ಸಂವಹನಶೀಲವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ; ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇವಲ ಸಂಕೇತದ ಬದಲಾವಣೆಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಎಡ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು (ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ) ಬಳಸಿದರೆ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ (ಅಂದರೆ) ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರವು ಆಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಏಕೆಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಆಯಾಮ) ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮೈನಸ್ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಡಿಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಅಡಿಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆಃ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ವಿನಿಮಯಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಉಂಗುರವನ್ನು-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಂಗುರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಂಗುರಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉಂಗುರದ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಜ್ಜುಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಮೇಲಿನ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರವನ್ನು ವಿತ್ ನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರಚನೆಯು ಉಂಗುರಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಘಟಕವಾರು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಆದರ್ಶಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಚೀನೀ ಉಳಿದ ಪ್ರಮೇಯವು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಒಂದು "ಸೀಮಿತ" ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ಆದರ್ಶಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಉಂಗುರಗಳಾಗಿರಲಿ, ಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಉಂಗುರಗಳು ಆದರೆ ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲ). ನಂತರ ಆದರ್ಶಗಳು ಮತ್ತು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ). ಅಂತಹ ಆದರ್ಶಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವು ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವ ಉಂಗುರಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಮೇಲಿನವುಗಳನ್ನು ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು, (ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್) ಇರುವ ಷರತ್ತುಗಳ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತೆ, ಒಬ್ಬರು ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ 1 ರ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅನಂತ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಉಂಗುರಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಮತ್ತೊಂದು ಅನ್ವಯವು ಉಂಗುರಗಳ ಕುಟುಂಬದ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಸಿಎಫ್. ಅಡೆಲೆ ರಿಂಗ್). ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆ (ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ ಓವರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳ ಸಮೂಹವು ಪರಿವರ್ತಕ ವಲಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಉಪ-ವಲಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ; ಅದರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಸಂವಹನ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ). ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಬಹುಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಸಬ್ರಿಂಗ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ಬಹುಪದ ವಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶ. ನಂತರ ಒಂದು ಅಂಶವು ಆ ಉಂಗುರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಇನ್ ಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವು, ಅಟ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವು ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಗುಣವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಾಗೆಯೇ ಒಂದು ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ತುಲವೂ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ಸ್ವತಃ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ತುಲವಾಗಿರಲಿ; ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕರೂಪತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ (ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ) ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ನಕ್ಷೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದಿಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವಂತಹ ವರ್ತುಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ನಲ್ಸ್ಟೆಲ್ಲೆನ್ಸಾಟ್ಜ್ (ಸೊನ್ನೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯ) ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿರುವ ಆದರ್ಶದ ಉತ್ಪಾದಕಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೂಲಕ ದಾಳಿ ಮಾಡಬಹುದು. (ಸಿಎಫ್. ಗ್ರೋಬ್ನರ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ.) ಇತರ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಿತ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ಪವರ್ ಸರಣಿ ಉಂಗುರವು ಔಪಚಾರಿಕ ಪವರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಅನುಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರವು ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು. ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ). ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ (ಸಂವಹನ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಪ್ರವೇಶವಾರು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೈಟ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ-ಲೀನಿಯರ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆಃ-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರಿಂಗ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ರೈಟ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಶೂರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸರಳ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ-ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ಟಿನ್-ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಅರೆ-ಸರಳ ಉಂಗುರವನ್ನು (cf. ಕೆಳಗೆ) ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಮೊರಿಟಾ ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಸರಿಯಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗವು ಮೇಲಿನ ಸರಿಯಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು-ಬದಿಯ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಂಗುರಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ಉಂಗುರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು (ಅಥವಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಕೊಲಿಮಿಟ್) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಡ್ಯುಲೋಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಕೊಲಿಮಿಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರಃ ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಃ (ಇದು ಔಪಚಾರಿಕ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ ಉಂಗುರದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ರಚನೆಯ ಕವಚದ ಕಾಂಡವಾಗಿದೆ). ಯಾವುದೇ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪ-ಉಂಗುರಗಳ ಕೊಲಿಮಿಟ್ ಆಗಿದೆ. ಉಂಗುರಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಿತಿಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಮಿತಿ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಮಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವ ಉಂಗುರಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಐಡೆಂಟಿಟಿಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಇರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವಂತಹವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಿತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ನೋಡಿ. ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವರ್ತುಲ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ) ಉಂಗುರ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, "ತಲೆಕೆಳಗಾದ" ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ವರ್ತುಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಏಕರೂಪತೆಯು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಘಟಕ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಆ "ತಲೆಕೆಳಗಾದ" ಅಂಶಗಳಿಂದ ಯಾವುದೇ ವರ್ತುಲ ಏಕರೂಪತೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶವು ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ರೂಪದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ) ಒಂದು ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ನ (ಅಥವಾ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ) ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗೆ ಸ್ಥಳೀಕರಣವನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬರೆಯುವುದು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಇದು "ಲೋಕಲೈಸೇಶನ್" ಎಂಬ ಪರಿಭಾಷೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶ ಶೂನ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ನ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಂಗ್ನ ಉಳಿದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಲೆಫ್ಟ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಳೀಕರಣವನ್ನು ರಿಂಗ್ಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಯಾವಾಗ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಓಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರೈಮ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿದೆಃ ನಿಖರವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ನಿಖರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಜಾಗತಿಕ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಸಹಾಯವಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಎರಡು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳಲ್ಲಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. (ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲೆ ಕೋಶವಾಗಿ ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋಶವು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.) ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವರ್ಗದ ಸ್ಥಳೀಕರಣವು ಕೆಲವು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಯಾವುದೇ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ವರ್ಗೀಕರಣವಾಗಿ, ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಳೀಕರಣವು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಎಂಡೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ. (ಸಹಜವಾಗಿ, ನಂತರ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ.) ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಒಂದು ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಎಟ್ನ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂವಹನ ವಲಯವಾಗಿದೆ. ನೊಥೇರಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಕ್ರಲ್ನ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಐಡಿಯಲ್ನೊಂದಿಗೆ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶವಾದಾಗ ನಿರ್ಮಾಣವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು; ಇದನ್ನು-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು-adic ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಇದು ದೂರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಫಾರ್ಮಲ್ ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದರೆ (ಹೆನ್ಸೆಲ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ) ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ರಿಂಗ್ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೋಹೆನ್ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರವು ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರದಂತೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಆಧುನಿಕ ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೋಥರ್ನಂತಹವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ನಾಗಟ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೊಥೇರಿಯನ್ ಉಂಗುರಗಳ ಪಾತ್ರಗಳ ಮರುಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಕಾರಣವಾದವು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉಂಗುರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದವು. ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು. ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತ ಉಂಗುರವಾಗಿರಲಿ (ಅಂದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ), ಅಂದರೆ, ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಉಂಗುರವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಸೆಟ್ನಿಂದ ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಉಂಗುರವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಉಂಗುರದ ಅಂಶವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈಗ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೇರಬಹುದು. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಐಡಿಯಲ್ನಿಂದ ಭಾಗಶಃ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಉಂಗುರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಬೇಸ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಉಂಗುರವು ಮುಗಿಯುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಉಂಗುರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದೀಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶಗಳಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ). ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ರಚನೆಯು ಉಂಗುರಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸೆಟ್ಗೆ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಎಡ ಪಕ್ಕದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಫ್ರೀ ರಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಉಂಗುರಗಳಿಂದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಡೊಮೈನ್ಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯ-ವಿಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಂಗುರವನ್ನು ಡೊಮೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂವಹನ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಪ್ರಧಾನ ಆದರ್ಶ ಡೊಮೇನ್ಗಳು, ಸಣ್ಣದಕ್ಕೆ ಪಿಐಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು. ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಐಡಿಯಲ್ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಿಐಡಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗವೆಂದರೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಡೊಮೇನ್ (ಯುಎಫ್ಡಿ), ಇದು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿದ್ದು ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಏಕಕೇತರ ಅಂಶವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಒಂದು ಅಂಶವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು, ಅಲ್ಲಿ "ಆದರ್ಶ" ವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ಪಿಐಡಿ ಆಗಲು ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿಐಡಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು ಪ್ರಧಾನ ಐಡಿಯಲ್ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನ್ವಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಇದು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದಗಳ (ಅಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು) ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ನಾವು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ರಚನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಆವರ್ತಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ರೂಪದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಈಗ, ಅಂತಹ ಆವರ್ತಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ (ಫಾರ್) ಜೋರ್ಡಾನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ s ಗಳು ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ವಿಭಜನೆಯು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಯು. ಎಫ್. ಡಿಗಳು ಮೃದುತ್ವದಿಂದಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲವು ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ (ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ) ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳೀಯ ವರ್ತುಲವು ಯು. ಎಫ್. ಡಿ. ಆಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಉಂಗುರಗಳು, ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವರ್ಗ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆಃ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಎ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕ್ಷೇತ್ರವಲ್ಲದ ವಿಭಜನಾ ಉಂಗುರದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಉಂಗುರ. ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಂಟ್ರಲೈಸರ್ ಕೂಡ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಭಜನಾ ಉಂಗುರದ ಕೇಂದ್ರವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ವಿಭಾಗ ವಲಯ) ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂವಹನದಲ್ಲಿ (ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯ). ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ (ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ); ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬದಲಿಗೆ ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಬಹುದು. ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ವಿಭಾಗ ವಲಯಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಟನ್-ಬ್ರಾವರ್-ಹುವಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎಲ್. ಇ. ಡಿಕ್ಸನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಆವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ವಲಯಗಳು ಅರೆ-ಸರಳ ಘಟಕವು ಸರಳ ಘಟಕಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅರೆ-ಸರಳ ಉಂಗುರವು ತನ್ನ ಮೇಲೆ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ (ಅಥವಾ ಬಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್) ಆಗಿ ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿರುವ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉಂಗುರವು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ). ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನಾ ವರ್ತುಲ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವರ್ತುಲವು ಅರ್ಧ ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ). ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿಗೆ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು (ಮಾಸ್ಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯ) ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿಭಜಿಸದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗುಂಪು ಉಂಗುರವು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ವೇಯ್ಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ಸರಳವಾದ ವರ್ತುಲವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅರ್ಧ ಸರಳವಲ್ಲ. ಅನೇಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ರಿಂಗ್ಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅರೆ-ಸರಳ ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಘಟಕವು ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿದೆ. (ಪುರಾವೆಃ ಅರೆ-ಸರಳ ರಿಂಗ್ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅರೆ-ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.) ಉಂಗುರಕ್ಕೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆರ್ಟೀನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸೆಮಿಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿಭಾಗ ವಲಯವಾಗಿದೆ (ಆರ್ಟಿನ್-ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯ). ಅರೆ-ಸರಳತೆಯು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಮೂಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅರ್ಧ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಏಕಾಂಗಿ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (cf. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಿಸ್ತರಣೆ.) ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ, ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸರಳವಾದ ವರ್ತುಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರಳ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸರಳ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಮೇಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತವು-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿರುವ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಂಗುರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಂತರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಕೋಲೆಮ್-ನೋಥರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ ಅವು ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೋಲಿಕೆಯು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗಿನ ಹೋಲಿಕೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಬ್ರಾವರ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಟಿನ್-ವೆಡ್ಡರ್ಬರ್ನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೇಂದ್ರ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಭಜನಾ ಉಂಗುರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹೋಲಿಕೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಭಜನಾ ಉಂಗುರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರೆ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ; cf. ತ್ಸೆನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ). ಇದು ಆರ್ಡರ್ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ). ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಇದು ನಾನ್-ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಂತರ ಅಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ. ಈಗ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ). ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಜುಮಯಾ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸರಳ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಂವಹನ ಸ್ಥಳೀಯ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಲಯವು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿಗೆ, ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ವಲಯವು ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪ ವಲಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪದದ ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ; ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಉಂಗುರವು ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅದು ಬೆಂಬಲದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗ್ರೂಪ್ ರಿಂಗ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಸಂವಹನವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ). ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅದರ-th ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ). ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರಗಳು ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಸೇರ್ಪಡೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು), ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಇತರ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು ಇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಸಹಾಯಕ ಬೀಜಗಣಿತವು ಒಂದು ವರ್ತುಲವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವು ವರ್ತುಲದ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಜ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ-ಬೈ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಉಂಗುರವು ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದು ಅಡಿಷನ್ ಮ್ಯಾಪ್ () ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಎರಡನ್ನೂ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ವರ್ಗದ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ-ಬೈ-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು λ-ಉಂಗುರವು-th ಬಾಹ್ಯ ಶಕ್ತಿಗಳಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನದ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ λ-ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ರೀಮನ್-ರಾಕ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ನಿಯಮವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಉಂಗುರವು ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಂಗುರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಉಂಗುರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರಗಳ ಸರ್ವವ್ಯಾಪಿತ್ವದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಿತ ಉಂಗುರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಪ್ರದವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಜಾಗದ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಗೋಳಗಳು ಮತ್ತು ಟೋರಿಯಂತಹ ಕೆಲವು ಜೋಡಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ವಿಧಾನಗಳು ಸೂಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ. ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ದ್ವಿಗುಣಕ್ಕೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಾಂಕ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ()-ಬಹು ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು-ಬಹು ರೇಖೀಯ ರೂಪ ಮತ್ತು-ಬಹು ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅವಲೋಕನಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಉಂಗುರದ ರಚನೆಯು ಫೈಬರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗಗಳು, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಮೇಲಿನ ಛೇದಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸ್ಕೂಬರ್ಟ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿಗೆ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಂಪಿನ ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಉಂಗುರವು ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿಗೆ ಅದರ ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಉಂಗುರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಉಂಗುರದ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಧಾರವು ಗುಂಪಿನ ಪರಿವರ್ತಕ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆಧಾರದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಪರಿವರ್ತಕ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಉಂಗುರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರದ ರಚನೆಯು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಕಳೆಯುವ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಉಂಗುರವು ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಉಂಗುರದ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಉಪ-ಉಂಗುರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು. ಗುಂಪು ಉಂಗುರದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಉಂಗುರವು ಯಾವುದೇ ಗುಂಪು ಉಂಗುರ ಅಥವಾ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಉಂಗುರ ಅಥವಾ "ಹಸಿರು ಉಂಗುರ" ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಉಂಗುರದ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಧಾರವು ಅಸಂಘಟಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ನೇರ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆಧಾರದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಗುಣಾಕಾರವು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಉಂಗುರವು ಅಕ್ಷರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಕ್ಷರದ ಉಂಗುರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಉಂಗುರದ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುಕಡಿಮೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಉಂಗುರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನವು ವರ್ತುಲ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪರಿವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪ-ಉಂಗುರಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಮುಖದ ಉಂಗುರವು ಪ್ರತಿ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮುಖದ ಉಂಗುರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅದರ ಸ್ಟಾನ್ಲಿ-ರೈಸ್ನರ್ ಉಂಗುರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉಂಗುರವು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಟಾನ್ಲಿ-ರೈಸ್ನರ್ ಉಂಗುರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಸರಳವಾದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲೂ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ವರ್ಗ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿವರಣೆ ಪ್ರತಿ ಉಂಗುರವನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಅಬ್ನಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ವರ್ಗವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ). ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಉಂಗುರದ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸರಳವಾಗಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಒಂದು-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ-ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು "ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗ" ವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ). ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಎಲ್ಲಿ ಇಫ್ ಇನ್, ಮತ್ತು ಇಫ್ ಇನ್, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತುಃ ಎಲ್ಲಿ ಇನ್ ಎಂದರೆ ಅಡಿಷನ್ ಇನ್, ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಒಂದು ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಬಲ (ಅಥವಾ ಎಡ) ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ, ಬಲ (ಅಥವಾ ಎಡ) ವಿತರಣೆಯಿಂದ, ಒಂದು ರೂಪಭೇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಡಿ. ಬಲ (ಅಥವಾ ಎಡ) ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ "ಅಂಶ" ಎಂದು ಆ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆಃ ಮೂಲಕ ಬಲ ಗುಣಾಕಾರ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ, ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಈ ಸಂಬಂಧವು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ರಿಂಗ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರವನ್ನು ಕೆಲವು ಅಬೆಲಿಯನ್-ಗುಂಪಿನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು (ಬೈ-ಗ್ರೂಪ್, ಇದು ಅದರ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಂಪಾಗಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಉಂಗುರದ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಅಬೆಲಿಯನ್-ಗುಂಪಿನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು. ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರವನ್ನು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ವರ್ಗವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಉಂಗುರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಜ. ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಉಂಗುರಗಳಿಗೆ ಮೂಲತಃ ನೀಡಲಾದ ಅನೇಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ವ ಸಂಯೋಜಕ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಯೋಜನೀಯ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ರಿಂಗ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೀಯ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಬೀಜಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೆಲವು ವರ್ತುಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ ಅಥವಾ ಕೈಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ವರ್ತುಲಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಆರ್ಎನ್ಜಿ ಎ ಆರ್ಎನ್ಜಿ ಒಂದು ಉಂಗುರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನಾನಾಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ನಾನಾಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗಮನಾರ್ಹ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಸದೃಶವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವಂತಹ ಅಂತಹ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ರಚನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಿದೆ. ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಎ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರಿಗ್) ಅನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂವಹನ ಮೊನೊಯ್ಡ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ a ಇನ್ (ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ) ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು; ಉಷ್ಣವಲಯದ ಅರ್ಧವಿರಾಮ. ಇತರ ಉಂಗುರದಂತಹ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. pt ಎಂಬುದು (ಖಾಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ) ಒಂದು ಅಂತಿಮ ವಸ್ತುವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಎಂದರೆ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು (ಅಡಿಷನ್), (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಷನ್), (ಅಡಿಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ), (ಅಡಿಟಿವ್ ಇನ್ವರ್ಸ್), ಮತ್ತು (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ) ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ರಿಂಗ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಎಂಬುದು ರಿಂಗ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಮೂಲಕ ಬಿಂದುಗಳ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿದೆಃ ರಿಂಗ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬೇಸ್ ಸ್ಕೀಮ್ನ ಮೇಲೆ ರಿಂಗ್ ಸ್ಕೀಮ್-ಸ್ಕೀಮ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರಿಂಗ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಓವರ್, ಇದು ಯಾವುದೇ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗೆ-ಐಸೊಟೈಪಿಕ್ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಒಂದು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಗೋಳದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತವೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದಂತಹ ಉತ್ತಮ ವರ್ಗದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ವಸ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಓವರ್ ಎ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ವರ್ಗ ರಿಂಗ್ಗಳ ವರ್ಗ ರಿಂಗ್ ಸೆಟ್ಗಳ ರಿಂಗ್ ಪದಕೋಶ ರಿಂಗ್ಗಳ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸರಳವಾದ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ರಿಂಗ್ಗಳುಃ ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ರಿಂಗ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ ಫೈನೆನ್ಷಿಯಲ್ ರಿಂಗ್ ಲೈ ರಿಂಗ್ ಲೋಕಲ್ ರಿಂಗ್ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ರಿಂಗ್ಗಳು ಆರ್ಡರ್ಡ್ ರಿಂಗ್ ಪಾಯ್ಸನ್ ರಿಂಗ್ ರೆಡ್ಯೂಸ್ಡ್ ರಿಂಗ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ರಿಂಗ್ ಅವಧಿಗಳ ಎಸ್. ಬಿ. ಐ ರಿಂಗ್ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ರಿಂಗ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು [ಸರಿಪಡಿಸಿದ 5 ನೇ ಮುದ್ರಣ] ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಶೇಷ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮೂಲಗಳು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬ್ರಾನ್ಸ್ಟೈನ್, ಐ. ಎನ್. ಮತ್ತು ಸೆಮೆಂಡಿಯೇವ್, ಕೆ. ಎ. (2004) ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 4ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್. ಮ್ಯಾಕ್ಟೂಟರ್ ಆರ್ಕೈವ್ ಫೇಯ್ತ್ನಲ್ಲಿ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇತಿಹಾಸ, ಕಾರ್ಲ್ (1999) ರಿಂಗ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಥಿಂಗ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎ ಫೈನ್ ಅರೇ ಆಫ್ ಟ್ವೆನ್ತ್ ಸೆಂಚುರಿ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ. ಗಣಿತದ ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಗಳು, 65. ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ. ಇಟೊ, ಕೆ. ಸಂಪಾದಕ (1986) "ರಿಂಗ್ಸ್". § 368 ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೆಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸಂಪುಟ. 2. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್, MA: MIT ಪ್ರೆಸ್. ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ