Mathematical optimization
ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ (ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಕೆಲವು ಮಾನದಂಡಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಲಭ್ಯವಿರುವ ಕೆಲವು ಪರ್ಯಾಯಗಳಿಂದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಿಂದ ಹಿಡಿದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದವರೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನೊಳಗಿಂದ ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೈಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೊಡ್ಡ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಡೊಮೇನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಡೊಮೇನ್ (ಅಥವಾ ಇನ್ಪುಟ್) ನೀಡಿದ ಕೆಲವು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ "ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಲಭ್ಯವಿರುವ" ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್ನಂತಹ ವಸ್ತುವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರಂತರ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಾದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅವು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಹುವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಿಂದ ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ("ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ") ಅಥವಾ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ("ಗರಿಷ್ಠೀಕರಣ") ಒಂದು ಅಂಶ. ಅಂತಹ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ಪದವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ-ಕೆಳಗೆ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ನೋಡಿ). ಅನೇಕ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವ ವಿರುದ್ಧ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವೂ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಶಕ್ತಿಯ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾದರಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠವು ಸೂಕ್ತವಾದ (ಕಡಿಮೆ) ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಬಹುಶಃ ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ವೆಚ್ಚದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದತ್ತಾಂಶ ಮಾದರಿಯ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಕೆಲವು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸದಸ್ಯರು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು, ಸಮಾನತೆಗಳು ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸರ್ಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಥವಾ ಚಾಯ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾಂಡಿಡೇಟ್ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ, ನಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ವೆಚ್ಚ ಕಾರ್ಯ (ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ), ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಫಿಟ್ನೆಸ್ ಕಾರ್ಯ (ಗರಿಷ್ಠೀಕರಣ), ಅಥವಾ, ಕೆಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ (ಅಥವಾ ಅದು ಗುರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ) ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸುತ್ತಲಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಆ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವು ಕನಿಷ್ಠ ಹತ್ತಿರದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಷ್ಟೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿದ್ದರೂ, ಜಾಗತಿಕ ಕನಿಷ್ಠವು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶದಷ್ಟೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಹಲವಾರು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿನಿಮಾಗಳು ಇರಬಹುದು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಆಂತರಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ (ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿಲ್ಲ), ಅದು ಜಾಗತಿಕ ಕನಿಷ್ಠವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಾನ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಜಾಗತಿಕ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು-ವಾಣಿಜ್ಯಿಕವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಬಹುಪಾಲು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ-ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿಜವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಜಾಗತಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಂಬುದು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿಜವಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಂಕೇತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆಃ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಇದು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಂಕೇತವು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಗರಿಷ್ಠತೆಯಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರವು "ಅನಂತ" ಅಥವಾ "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ" ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಇನ್ಪುಟ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಇದು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಆ ಕಾರ್ಯದ ನಿಜವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೇಳುವುದಿಲ್ಲ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವೆಂದರೆ, ಅಸಾಧ್ಯವಾದುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ (ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ) ಜೋಡಿಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ (ಮತ್ತೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ನಿಜವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರಗಳು ರೂಪದ ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ವಾದ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ವಾದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಆಪ್ಟಿಮಾವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಆಧಾರಿತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಗಾಸ್ ಅವರು ಆಪ್ಟಿಮಮ್ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಲು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಕೆಲವು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ "ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್" ಎಂಬ ಪದವು ಜಾರ್ಜ್ ಬಿ. ಡ್ಯಾಂಟ್ಜಿಗ್ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿತ್ತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು 1939 ರಲ್ಲಿ ಲಿಯೋನಿಡ್ ಕ್ಯಾಂಟೊರೊವಿಚ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದರು. (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಯುನೈಟೆಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ ಮಿಲಿಟರಿಯಿಂದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಡ್ಯಾಂಟ್ಜಿಗ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದವು. ಡ್ಯಾಂಟ್ಜಿಗ್ 1947 ರಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಷನ್ನಲ್ಲಿನ ಇತರ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಶೋಧಕರಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವರು ಸೇರಿದ್ದಾರೆಃ ರಿಚರ್ಡ್ ಬೆಲ್ಮನ್ ಡಿಮಿಟ್ರಿ ಬರ್ಟೆಸ್ಕಾಸ್ ಮೈಕೆಲ್ ಬಿಯರ್ಲೇರ್ ರೋಜರ್ ಫ್ಲೆಚರ್ ರೊನಾಲ್ಡ್ ಎ. ಹೊವಾರ್ಡ್ ಫ್ರಿಟ್ಜ್ ಜಾನ್ ನರೇಂದ್ರ ಕರ್ಮಾರ್ಕರ್ ವಿಲಿಯಂ ಕರುಷ್ ಲಿಯೋನಿಡ್ ಖಾಚಿಯಾನ್ ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಕೂಪ್ಮನ್ ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಕುಹ್ನ್ ಲಾಸ್ಲೋ ಲೊವಾಸ್ಜ್ ಡೇವಿಡ್ ಲುಯೆನ್ಬರ್ಗರ್ ಅರ್ಕಾಡಿ ನೆಮಿರೋವ್ಸ್ಕಿ ಯೂರಿ ನೆಸ್ಟೆರೋವ್ ಲೆವ್ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ ಆರ್. ಟೈರೆಲ್ ರಾಕಫೆಲ್ಲರ್ ನೌಮ್ ಝಡ್. ಶೋರ್ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಟಕರ್ ಮೇಜರ್ ಸಬ್ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ (ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ) ಅಥವಾ ಕಾನ್ಕೇವ್ (ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವಿಕೆ) ಆಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧದ ಸೆಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ (ಎಲ್ಪಿ), ಒಂದು ರೀತಿಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅಥವಾ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಕೆಂಡ್-ಆರ್ಡರ್ ಕೋನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ (ಎಸ್. ಓ. ಸಿ. ಪಿ) ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿದ್ದು, ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ (ಎಸ್ಡಿಪಿ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಕೋನಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎಂಬುದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಪಿ, ಎಸ್ಒಸಿಪಿ ಮತ್ತು ಎಸ್ಡಿಪಿಯನ್ನು ಸೂಕ್ತ ರೀತಿಯ ಕೋನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೂಲಕ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾರ್ಥಕಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಏಕಪದಗಳಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು. ಚತುರ್ಭುಜ ಪದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಗಳಿಗೆ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎರಡು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತಗಳ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕಾನ್ಕೇವ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗವನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಆಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಷ್ಟದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ದೃಢವಾದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮಿಂಗ್ನಂತೆಯೇ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗುರಿಯನ್ನು ದೃಢವಾದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ಗದ್ದಲದ) ಕಾರ್ಯ ಮಾಪನಗಳು ಅಥವಾ ಹುಡುಕಾಟ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದಂತಹ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮೆಟಾ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅನೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧದ ತೃಪ್ತಿಯು ಎಫ್ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆಯಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಒಂದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಆದರೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅಲ್ಲ. ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಕ್ಷೆಯು ಸೂಕ್ತವಾದ ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾದ ಒರಟಾದ ಅಥವಾ ಬಾಡಿಗೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉನ್ನತ-ನಿಷ್ಠೆ (ಉತ್ತಮ) ಮಾದರಿಯ ನಿಖರತೆಗೆ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು): ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಕೆಲವು ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗಡಿಯಿರುವ, ಆದರೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿಯಂತ್ರಣ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಮಾದರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೆಲ್ಮನ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತೋಲನದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎಂದರೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಅಥವಾ ಪೂರಕತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಬಹು-ಉದ್ದೇಶದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಒಂದು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಹಗುರವಾದ ಮತ್ತು ಕಠಿಣವಾದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಎರಡು ಉದ್ದೇಶಗಳು ಸಂಘರ್ಷಕ್ಕೊಳಗಾದಾಗ, ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಬೇಕು. ಒಂದು ಹಗುರವಾದ ವಿನ್ಯಾಸ, ಒಂದು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ತೂಕ ಮತ್ತು ಬಿಗಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ರಾಜಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಂತಹ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಇರಬಹುದು. ಒಂದು ಮಾನದಂಡದ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೊಂದರ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಿಸುವ ಟ್ರೇಡ್-ಆಫ್ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಬಿಗಿತದ ವಿರುದ್ಧ ರಚಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ತೂಕವನ್ನು ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಗಡಿನಾಡು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿನ್ಯಾಸವು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವಿನ್ಯಾಸದಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು "ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಆಪ್ಟಿಮಲ್" (ಸಮಾನವಾಗಿ, "ಪ್ಯಾರೆಟೊ ದಕ್ಷ" ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ) ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಅಲ್ಲ. "ನೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಹಾರ" ವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು "ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಆಪ್ಟಿಮಲ್" ಪರಿಹಾರಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರಿಗೆ ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹು-ಉದ್ದೇಶದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿಯು ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ರೇಟ್ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾಣೆಯಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವವರೊಂದಿಗೆ ಸಂವಾದ ನಡೆಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬಹು-ಉದ್ದೇಶದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ (ಭಾಗಶಃ) ಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಕ್ರಮದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬಹು-ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹು-ಮಾದರಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಅಂದರೆ, ಅವು ಅನೇಕ ಉತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವೆಲ್ಲವೂ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿರಬಹುದು (ಒಂದೇ ವೆಚ್ಚದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯ) ಅಥವಾ ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಉತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮಿಶ್ರಣವಿರಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಲವು) ಬಹು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಬಹು-ಮಾದರಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸರ್ನ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನದಿಂದಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅನೇಕ ರನ್ಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಜಾಗತಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಕಸನೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು, ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಅನೀಲಿಂಗ್ ಸೇರಿವೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ವಿಪರೀತ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ತೃಪ್ತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೂ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಹಂತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸಡಿಲವಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸುವುದು; ಸಾಕಷ್ಟು ಸಡಿಲತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಸಡಿಲತೆ ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗುವವರೆಗೆ ಆ ಸಡಿಲ ಚಲಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಅಸ್ತಿತ್ವ ಕಾರ್ಲ್ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ನ ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಅರೆ-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ; ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಅರೆ-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಅಥವಾ ನೋಟವನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆಪ್ಟಿಮಾಲಿಟಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಆಪ್ಟಿಮಾವು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಆಯ್ಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಆಂತರಿಕ ಗರಿಷ್ಠದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಗಳು) ಸಮಾನ (ಗಳು) ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೆಟ್) 'ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಷರತ್ತು' ಅಥವಾ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಷರತ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆ-ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಆಪ್ಟಿಮಾವನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಆಪ್ಟಿಮಾವನ್ನು 'ಕರುಶ್-ಕುಹ್ನ್-ಟಕ್ಕರ್ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು' ಬಳಸಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ವಿಪರೀತವಾಗಬಹುದಾದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಈ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಅಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದಾಗ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ (ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಥವಾ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಾರ್ಡರ್ಡ್ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಇತರ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ ಅಥವಾ ಮಿನಿಮಾವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು 'ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು' ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ('ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆ' ನೋಡಿ). ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯ ಪರಿಹಾರವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಷರತ್ತುಗಳ ತೃಪ್ತಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಳೀಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆಪ್ಟಿಮಾದ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಿಯತಾಂಕವು ಬದಲಾದಾಗ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಪರಿಹಾರದ ಮೌಲ್ಯವು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲಕೋಟೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲೌಡ್ ಬರ್ಜ್ (1963) ಅವರ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೂಕ್ತ ಪರಿಹಾರದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಷನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ (ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಸ್ಥಳೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಎಂದು ಶೂನ್ಯ ಸಬ್ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ತಡಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯು ಕಠಿಣ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವು ಜಾಗತಿಕ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ-ಬಿಂದು ವಿಧಾನಗಳಂತಹ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅನೇಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಧಾನವು ಲೈನ್ ಸರ್ಚ್ಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾದ ವಿಧಾನವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನವಲ್ಲದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಲೈನ್ ಸರ್ಚ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟ್ರಸ್ಟ್ ಪ್ರದೇಶಗಳೆರಡನ್ನೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಜಾಗತಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸರ್ ಸುಧಾರಿತ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸರ್ಗಳಿಗಿಂತ (ಬಿಎಫ್ಜಿಎಸ್ನಂತಹ) ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸರ್ ಅನ್ನು ವಿವಿಧ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಜಾಗತಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಂಶೋಧಕರು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು (ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ), ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ). ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ಜಾರ್ಜ್ ಡ್ಯಾಂಟ್ಜಿಗ್ನ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಶನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಲೀನಿಯರ್-ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಷನಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ಸ್ (ಎಚ್) ಮತ್ತು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಸ್ (ಜಿ) ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಲೀಸಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವೆಚ್ಚ) ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಗಣನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಅತಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಆಪ್ಟಿಮೈಜರ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮಾನದಂಡವೆಂದರೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ದೊಡ್ಡ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸರ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಎನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಂತಹ ಆಪ್ಟಿಮೈಜರ್ಗಳಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಇನ್ನೂ ಕಷ್ಟ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕನಿಷ್ಠ ಎನ್ + 1 ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 2 ನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ (ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ), ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎನ್ 2 ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ 2ನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು N2 ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಶುದ್ಧ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸರ್ಗೆ ಇದು ಕೇವಲ N ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಜರ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಕರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದುದು ಎಂಬುದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ನರನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು (ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ನರು): ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನ ಅನುಕ್ರಮ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಃ ಸಣ್ಣ-ಮಧ್ಯಮ ಪ್ರಮಾಣದ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನ್ಯೂಟನ್ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನ. ಕೆಲವು ಆವೃತ್ತಿಗಳು ದೊಡ್ಡ-ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲವು. ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು ವಿಧಾನಗಳುಃ ಇದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು (ಉಪ) ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳಿಗೆ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ನರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಅಂದಾಜು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು (ಅಥವಾ ಸಬ್ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳು ಸಹ): ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿಃ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳುಃ ದೊಡ್ಡ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು. (ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಈ ಸೀಮಿತ ಮುಕ್ತಾಯವನ್ನು ಸೀಮಿತ-ನಿಖರವಾದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ (ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, "ಕಡಿದಾದ ಅವರೋಹಣ" ಅಥವಾ "ಕಡಿದಾದ ಆರೋಹಣ"): ಐತಿಹಾಸಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಸಕ್ತಿಯ ಒಂದು (ನಿಧಾನ) ವಿಧಾನ, ಇದು ಅಗಾಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ನವೀಕರಿಸಿದೆ. ಸಬ್ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳುಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಳೀಯ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನ. ಬೋರಿಸ್ ಟಿ. ಪೊಲ್ಯಾಕ್ನ ನಂತರ, ಸಬ್ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್-ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಕಾಂಜುಗೇಟ್-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಬಂಡಲ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನಃ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ-ಮಧ್ಯಮ-ಗಾತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ (ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳಂತೆಯೇ) ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಎಲಿಪ್ಸೋಯಿಡ್ ವಿಧಾನಃ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕೆಲವು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಬಹುಪದ ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ. ಇದು ಕ್ವಾಸಿ-ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನ (ಫ್ರಾಂಕ್-ವೋಲ್ಫ್) ರೇಖೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಚಾರ ಜಾಲಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಕನಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ). ಅರೆ-ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನಗಳುಃ ಮಧ್ಯಮ-ದೊಡ್ಡ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು (ಉದಾ. ಎನ್ <1000). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗಾಗಿ ಏಕಕಾಲಿಕ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಸಂಭವನೀಯ ಅಂದಾಜು (ಎಸ್. ಪಿ. ಎಸ್. ಎ) ವಿಧಾನ; ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ) ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳುಃ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ಯಾಟರ್ನ್ ಸರ್ಚ್ ವಿಧಾನಗಳು, ಇವು ನೆಲ್ಡರ್-ಮೆಡ್ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ (ಸರಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ಗಿಂತ ಉತ್ತಮ ಒಮ್ಮುಖದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಕನ್ನಡಿ ಮೂಲದ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ (ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ) ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು (ಒಮ್ಮುಖ) ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಇವೆ. ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಎಂದರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ) ಖಾತರಿಪಡಿಸದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಾವಳಿ, ಆದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎವಲ್ಯೂಷನ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ರಿಲ್ಯಾಕ್ಸೇಷನ್ ಎವಲ್ಯೂಷನರಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ಜೆನೆಟಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪುನರಾರಂಭದೊಂದಿಗೆ ಹಿಲ್ ಕ್ಲೈಂಬಿಂಗ್ ಮೆಮೆಟಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೆಲ್ಡರ್-ಮೆಡ್ ಸಿಂಪ್ಲಿಶಿಯಲ್ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ಃ ಅಂದಾಜು ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಜನಪ್ರಿಯ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ (ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯದೆಯೇ) ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಸ್ವಾರ್ಮ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಅನೀಲಿಂಗ್ ಸ್ಟೋಚಾಸ್ಟಿಕ್ ಟನಲಿಂಗ್ ಟಬು ಸರ್ಚ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್) ಆಗಾಗ್ಗೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ತಂತ್ರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಂತೆ ನೋಡಬಹುದು; ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ವಿವಿಧ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು", ಅಲ್ಲದೆ, ಸಂಪರ್ಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗಣನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಪೂರಕತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕ್ಯೂಪಿ (ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್) ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಸಹ ನೋಡಬಹುದು. ಅನೇಕ ವಿನ್ಯಾಸ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಾಗಿಯೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಡಿಸೈನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದರೆ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್, ಮತ್ತು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮತ್ತೊಂದು ಇತ್ತೀಚಿನ ಮತ್ತು ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದರೆ ಮಲ್ಟಿಡಿಸಿಪ್ಲಿನರಿ ಡಿಸೈನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್, ಇದು ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಏರೋಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಖಗೋಳ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಹಣಕಾಸು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗೆ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪರ್ಯಾಯ ಬಳಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ "ಗುರಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿರಳ ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ಮಾನವ ನಡವಳಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನ" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಆದರೆ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ಸಮತೋಲನದ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಎಕನಾಮಿಕ್ ಲಿಟರೇಚರ್ ಕೋಡ್ಗಳು ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಜೆಇಎಲ್ಃ ಸಿ 61-ಸಿ 63 ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ವಂದ್ವ ಸಮಸ್ಯೆ, ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆ, ಆರ್ಥಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ, ಗ್ರಾಹಕರು ತಮ್ಮ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಮ್ಮ ಲಾಭವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಏಜೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಪಾಯ-ವಿರೋಧಿ ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅಪಾಯವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಸ್ತಿಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗಣಿತವು ಸ್ಥಿರ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಆಪ್ಟಿಮೈಸ್ ಮಾಡುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ವ್ಯಾಪಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ರಾಷ್ಟ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯಾಪಾರದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೊಗಳ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹು-ಉದ್ದೇಶದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. 1970ರ ದಶಕದಿಂದಲೂ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಮಿಕ-ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಹುಡುಕಾಟ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಬೃಹತ್ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತೋಲನ (ಡಿಎಸ್ಜಿಇ) ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಕಾರ್ಮಿಕರು, ಗ್ರಾಹಕರು, ಹೂಡಿಕೆದಾರರು ಮತ್ತು ಸರ್ಕಾರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಅವಲಂಬಿತ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿರ್ಧಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇಡೀ ಆರ್ಥಿಕತೆಯ ಚಲನಶೀಲತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯ ಫಿಲ್ಟರ್ ವಿನ್ಯಾಸ, ಸೂಪರ್ ಕಂಡಕ್ಟಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಎನರ್ಜಿ ಶೇಖರಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ದಾರಿತಪ್ಪಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಡಿತ, ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ರಚನೆಗಳ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವಿನ್ಯಾಸ, ಹ್ಯಾಂಡ್ಸೆಟ್ ಆಂಟೆನಾಗಳು, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ-ಆಧಾರಿತ ವಿನ್ಯಾಸ ಸೇರಿವೆ. ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಆಂಟೆನಾಗಳ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿನ್ಯಾಸ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ 1993 ರಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಾಗಿನಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಆಧಾರಿತ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಾಡಿಗೆ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಿದೆ. ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಮಾಣ ನಿರ್ವಹಣೆ ಮತ್ತು ಸಾರಿಗೆ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನ ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ, ಇದು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ರಸ್ತೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ತುಂಬಿಸುವುದು, ರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಸೌಕರ್ಯಗಳ ಜೀವನ-ಚಕ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಸಮತೋಲನ, ಜಲ ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಹಂಚಿಕೆ, ಸಂಚಾರ ನಿರ್ವಹಣೆ ಮತ್ತು ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಇವು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿವಿಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಸುಧಾರಿತ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಅನುಕರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚೆಚ್ಚು, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನಿಯಂತ್ರಣ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಧುನಿಕ ನಿಯಂತ್ರಕ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ನಿಯಂತ್ರಣ (ಎಂಪಿಸಿ) ಅಥವಾ ನೈಜ-ಸಮಯದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ (ಆರ್ಟಿಒ) ನಂತಹ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ನಿಯಂತ್ರಕಗಳು ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಿಸಬೇಕಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾದರಿ ಸೇರಿದಂತೆ ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಾವರದಲ್ಲಿ ಚಾಕ್ ಓಪನಿಂಗ್ಗಳಂತಹ ನಿರ್ಧಾರದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಜಿಯೋಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಜಿಯೋಫಿಸಿಕಲ್ ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಮಾಪನಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಭೂಕಂಪದ ದಾಖಲೆಗಳು, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಬಂಡೆಗಳು ಮತ್ತು ದ್ರವಗಳ ಭೌತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪಾಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿಧಾನಗಳೆರಡನ್ನೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಆಣ್ವಿಕ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಬಯಾಲಜಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಬಯಾಲಜಿಯ ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಾದರಿ ನಿರ್ಮಾಣ, ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿನ್ಯಾಸ, ಮೆಟಾಬಾಲಿಕ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಬಯಾಲಜಿ. ಹುದುಗುವಿಕೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ-ಥ್ರೋಪುಟ್ ಡೇಟಾದಿಂದ ಅನೇಕ ಮೈಕ್ರೋ-ಅರೇ ಡೇಟಾಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಷನಲ್ ನಿಯಂತ್ರಕ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳಿಂದ ಜೀನ್ ನಿಯಂತ್ರಕ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಲೀನಿಯರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಕ್ತಿ ಚಯಾಪಚಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೀವರಾಸಾಯನಿಕ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿನ ಮೆಟಾಬಾಲಿಕ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಹ ನೋಡಿ ಬ್ರಾಕಿಸ್ಟೋಕ್ರೋನ್ ವಕ್ರರೇಖೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಜಾಗತಿಕ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಗುರಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸೊಸೈಟಿ (ಹಿಂದೆ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸೊಸೈಟಿ) ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ರೊಸೆಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್-ಆಧಾರಿತ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇರಿಯೇಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ವೆಹಿಕಲ್ ರೂಟಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮೂಲ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್