Liouville number
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು "ಬಹುತೇಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ" ವಾಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ "ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಕಟವಾಗಿ" ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ನಿಖರವಾಗಿ, ಇವು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. 1844ರಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಜೋಸೆಫ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ತೋರಿಸಿದರು, ಹೀಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಇದು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ರಚನೆಯಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕರಿಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ L = 0.11000100000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. ಅದರ ಮೂಲ-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಹತ್ತನೇ ಪದವು ಏಳನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬೇಸ್-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗದ ಕಾರಣ ಅದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ,. ಈಗ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ನಂತರ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಮೇಲಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ k ಗಳಿಗೂ ak bul {0,1,2,., b−1} ನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ak = b−1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು (a1, a2,.) (b−1, b−1,.) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮೊತ್ತವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ak = b − 1, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ k. ಈ ದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, #1 ನಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಉದ್ದೇಶವು (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರ) ಎಂಬ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಅದು ಅಂಶದಲ್ಲಿ (b−1) ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದ ಪದವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಜೊತೆಗೆ ಸರಣಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು 0 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ ಮತ್ತು (b−1) ಪದಗಳೆರಡನ್ನೂ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪುರಾವೆಯ ಅಂತಿಮ-ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಈಗ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರೇರಣೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪದಕ್ಕೆ, b ≤ 2 ರಿಂದ, ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ k ಗೆ (n = 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, (ಏಕೆಂದರೆ, n = 1 ಆಗಿದ್ದರೂ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಕೆ 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವಂತೆ, ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗಿನಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ). k = (n + 1) ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ! ಇದು k = 0 ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಪ್ರೇರಣೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ. ಅಂತಿಮ ಅಸಮಾನತೆಗೆ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (ನಿಜ ಏಕೆಂದರೆ b ± 2, ಅಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯು n = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ) ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೋ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ವರ್ತಿಸುವ ಬಯಕೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಯು (n + 1) ಅನ್ನು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ! ಮತ್ತು ಅಂಶವು (n + 1) ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ! - ಎನ್! = (ಎನ್! ) n, ಹೀಗೆ ಪರ್ಯಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಛೇದವನ್ನು ಆದರ್ಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ವಿವೇಚನಾರಹಿತತೆ ಇಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪುರಾವೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಪುರಾವೆಯು [ಸಮಾನವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ] ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಬ್ರಾಕಟಿಂಗ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಥೆನ್, ಇಫ್ ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿರಲಿ ಮತ್ತು ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ಅಂತಹ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅಂದಿನಿಂದ, ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು, ಲಿಯಾವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತಹ ಅರ್ಹತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. (ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವಿಭಾಗವು ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಒಂದರ ರಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3.1400010000000000000000050000.3.14 (3 ಸೊನ್ನೆಗಳು) 1 (17 ಸೊನ್ನೆಗಳು) 5 (95 ಸೊನ್ನೆಗಳು) 9 (599 ಸೊನ್ನೆಗಳು) 2 (4319 ಸೊನ್ನೆಗಳು) 6 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಲ್ಲಿ n ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅಂಕೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ! ಅಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಯು ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ n ನೇ ಅಂಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ದಶಮಾಂಶವು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸೆಟ್ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ವಿಷಯ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅದರ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ನೀಡಿದ ಪುರಾವೆಯು ಜಾನ್ ಸಿ. ಒಕ್ಸ್ಟೋಬಿಯ ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಾಗಿಃ ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಂದಿನಿಂದ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈಗ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಆಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪೊಂದು ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಾಗಿದೆ). ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ; ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ (ಪ್ರತಿ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ), ಇದು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅಂತಹ ಅನೇಕ ತೆರೆದ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಕಮೆಗರ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ದಟ್ಟವಾದ Gδ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯ ಅಳತೆ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ-ರೋತ್ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯ ಅಳತೆಯು (ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯ ಘಾತಾಂಕ, ಅಂದಾಜು ಘಾತಾಂಕ, ಅಥವಾ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ-ರೋತ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯಿಂದ ಅದನ್ನು ಎಷ್ಟು "ನಿಕಟವಾಗಿ" ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಮತಿಸುವ ಬದಲು, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಹಮೌಲ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹವುಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಅಳತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಅನಂತ ಸಮೂಹವು ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಹುಪಾಲು ಸೀಮಿತವಾದವುಗಳಿವೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಇರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ನಿಖರವಾದ ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ "ಅದೃಷ್ಟ" ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 2ರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಬೋರೆಲ್-ಕ್ಯಾಂಟೆಲ್ಲಿ ಲೆಮ್ಮಾದ ಅನ್ವಯವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿವೇಚನಾರಹಿತತೆಯ ಆಧಾರವು ವಿವೇಚನಾರಹಿತತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಜೆ. ಸೊಂಡೋವ್ ಅವರು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿವೇಚನಾರಹಿತತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸೂಪರ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಈ ಸರಣಿಯು ಸೂಪರ್ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸರಣಿಯು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಬೇಸ್ 2 ಹೊಂದಿರುವ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. (ಟೆಟ್ರೇಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದವು; ಎಣಿಕೆಯ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಅಲ್ಲದ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರಬೇಕು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇ ಯ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇ ಎಂಬುದು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲದ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. 1953ರಲ್ಲಿ ಮಾಹ್ಲರ್ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಅಂತಹ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಛೇದಗಳಿಗೆ "ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು" ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಈ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಬಾರದು ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜಿನ ಮೇಲೆ), ಅಲ್ಲಿ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಪುರಾವೆಯು ಯಾವುದೇ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೆಮ್ಮಾಃ α ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ n> 0 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದ fನ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ A> 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ p, q, q> 0, ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಃ [α−1, α + 1] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ M ಅನ್ನು |f ′ (x) | (f ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ) ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರಲಿ. α1, α2,., αm ಗಳು α ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ f ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳಾಗಿರಲಿ. A> 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಈಗ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವ ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು p, q ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ p/q [α−1, α + 1] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ; ಮತ್ತು p/q {α1, α2,., αm} ನಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ p/q ಎಂಬುದು f ನ ಮೂಲವಲ್ಲ; ಮತ್ತು α ಮತ್ತು p/q ನಡುವೆ f ನ ಮೂಲವಿಲ್ಲ. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, p/q ಮತ್ತು α ನಡುವೆ x0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು α ಎಂಬುದು f ನ ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಆದರೆ p/q ಅಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅದು |f ′ (x0) |> 0 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದುಃ ಈಗ, f ಎಂಬುದು ci xi ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ci ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ |f (p/q) | ಅನ್ನು N. B. ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ p/q ಎಂಬುದು f ನ ಮೂಲವಲ್ಲ ಮತ್ತು ci ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, |f (p/q) | ≤1/qn. M ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ |f ′ (x0) | ≤ M ಮತ್ತು A ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ 1/M> A ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ p, q ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ; ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮರ್ಥನೆಯ ಪುರಾವೆಃ ಈ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x ಒಂದು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ; ಲೇಖನದ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, x ನಂತರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ. x ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ A ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ p, q ಗೆ r 1/(2r) ≤ A ನಂತಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. m = r + n ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು x ಒಂದು ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, a, b ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ b> 1 ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಬ್ರ್ಜುನೋ ಸಂಖ್ಯೆ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆರಂಭ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜು ಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ವಾಸ್ತವಿಕ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು