Trace (linear algebra)
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ (ಮೇಲಿನ ಎಡದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಬಲಕ್ಕೆ) ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟ್ರೇಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ () ಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹು ಅದರ (ಸಂಕೀರ್ಣ) ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ (ಗುಣಾಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಹ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ತನ್ನೊಳಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಂತಹ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಜಾಡಿನ ಅಂಶವು ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ (ಜಾಕೋಬಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹು ಎಂದರೆ ಅದರ ಏಳನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಹತ್ತನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿನ ನಮೂದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನ ನಮೂದುಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಫ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ವರ್ಗವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಜಾಡಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ, ನಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಟ್ರೇಸ್ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಗೆ. ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಒಂದೇ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಇದು ಒಂದು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಜಾಡುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರವೇಶವಾರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಅವರ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ. ನೇರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರಃ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಉದ್ದದ ವೆಕ್ಟರ್ (ವೆಕ್ಟರೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಆನ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ್ದು, ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಇವು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತತೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ; ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಥಿರ ಆಯಾಮಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮಾನದಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಉಪ-ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ನೈಜ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು. ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅದರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಿರ ಗಾತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಡಿನಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎರಡರಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಕುರುಹು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಕಾರಣಕ್ಕೂ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಜಾಡಿನ ಹೋಲಿಕೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದೇ ಆಯಾಮಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ, ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಹೋಲಿಕೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಜಾಡಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೈಜ ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಹೊರಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಡು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಆವರ್ತಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಜಾಡು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಿಫ್ಟ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೂರು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮಾನತೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹುಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕುರುಹು ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕುರುಹು ಅವುಗಳ ಕುರುಹುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆಃ ಕುರುಹುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಃ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ವರೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿಃ ಅದು ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಹೇರುವುದು ಜಾಡಿನ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬಹುಗುಣದೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಲಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಇದು ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಮತ್ತು ಕೆಲವು (ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ) ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಜಾಡಿನ ಹೋಲಿಕೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಣಾಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ, (ರಿಂಗ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್) ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ನ ಕುರುಹು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ) ಇದನ್ನು "ಟ್ರೇಸ್ ಎಂಬುದು ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳವರೆಗಿನ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಹೋಲುವುದಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ಜಾಡಿನ ಯಾವುದೇ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜೋಡಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಶೂನ್ಯ ಜಾಡಿನ ಯಾವುದೇ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕರ್ಣೀಯವಾದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಕುರುಹುಗಳು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹು ಜಾಗದ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ. ಇದು ಜಾಡಿನ ಮೂಲಕ ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳು ನಿಜವಾಗಿವೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹು ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನ ಪದವು 1 ನೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು 0 ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಜಾಡಿನ ಗುರಿಯು ಗುರಿ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹು, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅದರ ಸ್ವಂತ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಂತರ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ನೀಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಅವುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದರೆ), ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಜೋರ್ಡಾನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಸಣ್ಣ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸರಿಸುಮಾರು ನಿಖರವಾಗಿ ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ ಜಾಡಿನ ಗುರುತು ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಜಾಕೋಬಿಯ ಸೂತ್ರವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಭೇದವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಜಾಡಿನ ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ (ಅಥವಾ ಜಾಡಿನ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ), ಜಾಡಿನ ಕಾರ್ಯ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಜಾಡಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ರೇಖೀಯ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಈ ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಘಟಕಗಳು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಸಾಲುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ). ಇದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದನ್ನು ಹರಿವಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಒಂದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ದ್ರವದ ವೇಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೊರಗಿನ ದ್ರವದ ನಿವ್ವಳ ಹರಿವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪರಿಮಾಣ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಟ್ರೇಸ್ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆಃ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ಟ್ರೇಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್), ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಈ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಜಾಡಿನ ಆಧಾರ-ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಅಂತರದ ನಡುವಿನ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀಡಬಹುದು. ಒಳಗೆ ಬರಲಿ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಬರಲಿ. ನಂತರ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳದ ಅಂಶದ ಕುರುಹು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದ ಕುರುಹು ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿರುವಂತೆ ಜಾಡಿನ ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಅಂದಾಜುದಾರರು ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾ (ಪುರಾವೆಃ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ) ಅಥವಾ (ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ವಿತರಣೆ) ಯಿಂದ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಡಿನ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಸಂಭವನೀಯ ಅಂದಾಜುಗಾರರನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 2 x 2 ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶೂನ್ಯ ಜಾಡು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. 2x2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಜಾಡಿನ ಚೌಕವು 4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪಾಂತರವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಚೌಕವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಚೌಕವು 4ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಲಾಕ್ಸೋಡ್ರೋಮಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡಿ. ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಜಾಡಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಆಧಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯವರೆಗೆ). ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಜಾಡು ಸಹ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಡಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು) ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ; ಅಬೆಲಿಯನ್ (ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ), ಇದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಜಾಡಿನ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ನಿಖರವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆಃ ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಕರ್ನಲ್, ಅದರ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆಪರೇಟರ್ಗಳು/ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಟ್ರೇಸ್ಲೆಸ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು/ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು/ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ನೇರ ಒಟ್ಟು ವಿಭಜನೆ ಇದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಜಾಡಿನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೀಗೆಃ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಲು "ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ" ಯ ಘಟಕ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಜಾಡಿನ (ಕೌನಿಟ್ ನಕ್ಷೆ) ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ (ಎಲ್ಲಿ) ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಾಡಿನ ಅಂಶವು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಸಮಯದ ಮಾಪಕಗಳ ಮೂಲಕ), ಆದರೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶದ ವಿಭಜನೆಯು ಮೂಲ ಸಮಯದ ಮಾಪಕಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವು ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು (ಅಲ್ಲಿ, ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು) ಕೊಲ್ಲುವ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಡು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆಃ ಈ ರೂಪವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಕ್ಷೀಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದರೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ), ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪವು ಪರಸ್ಪರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪಕ್ಕೆ. ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಟ್ರೇಸ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಏಕರೂಪತೆ. ಬೈಲೀನಿಯರ್ ರೂಪವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಜಾಡಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಜಾಡಿನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಮಾನದಂಡದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಮಾನದಂಡ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ರೇಸ್-ಕ್ಲಾಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಟ್ರೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ನಿರ್ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕನ ಕುರುಹು ಮೇಲಿನ ಭಾಗಶಃ ಕುರುಹುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತುಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಕುರುಹುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಗುರುತಿಸಲಾದ ಮೊನಾಯ್ಡಲ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಟ್ರೇಸ್ ಆನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಅಂತಹ ಜಾಡನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ; ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ಸೂಪರ್ಟ್ರೇಸ್ ಎಂದರೆ ಸೂಪರ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಒಂದು ಜಾಡಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೋಚನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕುರುಹುಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಈ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ ಬಳಸಿದಂತೆಯೇ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು, ಈ ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯು ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಗತಿಯು ಒಂದು (ಸೀಮಿತ) ಆಧಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ನೇರವಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು (ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ) ಶ್ರೇಣಿಯ-ಒಂದು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ವಿಲೋಮವನ್ನು ರಚಿಸುವುದರಿಂದ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಜಾಡಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಜಾಡಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬಳಸಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಶ್ರೇಣಿಯ-ಒಂದು ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ. ರ್ಯಾಂಕ್-ಒನ್ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯು ಜಾಡು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ವಿತ್ ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ-ಒಂದು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ನಂತರ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಬಹುಪದರದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಜಾಡಿನ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಯೋಜನೆಯು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದರೆ ಇದು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಜಾಡಿನ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ನಂತರ ಎರಡು ಜಾಡಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆ; ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗೆ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಸಹಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಡಿನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಈ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಟೆನ್ಸರ್ನ ಜಾಡು ಫೀಲ್ಡ್ ಟ್ರೇಸ್ ಗೋಲ್ಡನ್-ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಅಸಮಾನತೆ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಟ್ರೇಸ್ ಸ್ಪೆಚ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಟ್ರೇಸ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಟ್ರೇಸ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಟ್ರೇಸ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ನ ಜಾಡು ಅಸಮಾನತೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟ್ರೇಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ