Differential calculus
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬದಲಾಗುವ ದರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ-ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಅಧ್ಯಯನ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯಂತಹ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳಾಗಿವೆ. ಆಯ್ದ ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆ ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮೀಪವಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಭೇದವು ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಭೇದವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವೇಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವೇಗವರ್ಧನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಆವೇಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ರಾಸಾಯನಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ, ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬಿಂದುವಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು ಆಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೊದಲು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರ ಬಗ್ಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣದ ಇಳಿಜಾರು ಅದರ ಕಡಿದಾದ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ 'ಬದಲಾವಣೆ'. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಇಳಿಜಾರು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಡಿದಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಂತಹ ಅನೇಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಅವುಗಳ ಸ್ಟೀಪ್ನೆಸ್ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು-ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು 'ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ' ರೇಖೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರುಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಇಳಿಜಾರು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನಂತರ ಕೇವಲ ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು. ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಲೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿಕಟವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅದರ ಇಳಿಜಾರು ಕೂಡ ತುಂಬಾ ಹೋಲುತ್ತದೆಃ ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದರ ಇಳಿಜಾರು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರುಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥ '0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಸೆಕೆಂಟ್ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ'. ಸಮೀಪಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನಂತ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಂತೆಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರೆ ಅಂತಹ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ 'ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು' ಈಗ ನಿಖರವಾದ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವುಃ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುರಾವೆ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ತಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ತಂತ್ರಗಳು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ, ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಅಂಶ ನಿಯಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಅದರ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆ. ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಅವು ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಟ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಟ್ ನ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು. ಇದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಗುರಿ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಕಾರಣ, ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳ ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 300), ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 287-212) ಮತ್ತು ಪೆರ್ಗಾದ ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ (ಕ್ರಿ. ಪೂ. 262-190) ನಂತಹ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹಳ ಹಳೆಯದಾಗಿದೆ. ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿದನು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು (ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನಂತತೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಾಸ್ಕರನು (1114-1185) ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದನು; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಆತನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ರೋಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ". ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಶರಾಫ್ ಅಲ್-ದೀನ್ ಅಲ್-ತೂಸಿ (1135-1213) ಅವರು ತಮ್ಮ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಘನ ಬಹುಪದಗಳ ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಘನದ ಗರಿಷ್ಠ (ಧನಾತ್ಮಕಕ್ಕೆ) ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಪಡೆದರು, ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಲ್-ತೂಸಿ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿರಬೇಕು ಎಂದು ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತಿಹಾಸಕಾರ ರೋಶ್ದಿ ರಶೀದ್ ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ರಾಶೇದ್ ಅವರ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಇತರ ವಿದ್ವಾಂಸರು ವಿರೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಧುನಿಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1643-1727) ಮತ್ತು ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ (1646-1716) ಅವರಿಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ, ಅವರು ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರಿಗೆ ಈ ಮನ್ನಣೆಯನ್ನು ತಂದುಕೊಟ್ಟ ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟವೆಂದರೆ ಭೇದ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಹಿಂದಿನ ಬಹುತೇಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲದಂತೆ ಮಾಡಿತು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಗೆಗಿನ ತಮ್ಮ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಇಬ್ಬರೂ ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ (1607-1665), ಐಸಾಕ್ ಬ್ಯಾರೋ (1630-1677), ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ (1596-1650), ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ (1629-1695), ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ (1623-1662) ಮತ್ತು ಜಾನ್ ವಾಲಿಸ್ (1616-1703) ಅವರಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಹಿಂದಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ, ನ್ಯೂಟನ್ ಒಮ್ಮೆ ಒಂದು ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ, "ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ [ಹರಿವಿನ] ಈ ವಿಧಾನದ ಸುಳಿವು ನನಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಮತ್ತು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾನು ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಿದೆ". ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಆರಂಭಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಐಸಾಕ್ ಬ್ಯಾರೋ ಅವರಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮನ್ನಣೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ಇಂದಿಗೂ ಬಳಸಲಾಗುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. 17ನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಅಗಸ್ಟಿನ್ ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ (1789-1857), ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ (1826-1866), ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ (1815-1897) ನಂತಹ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರು. ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. 20 ನೇ ಶತಮಾನವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಸ್ತುತ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತಂದಿತುಃ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಏಕೀಕರಣ, ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿತು. ನಂತರ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ಲಾರೆಂಟ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ನಂತರ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿತು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಹಿಂದೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯ) ಮತ್ತು ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಮೂಲಭೂತವಾಯಿತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ. (ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರ) ಮೇಲೆ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಟ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಿಂದುಗಳು (ಮತ್ತು ಅಟ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಎಲ್ಲೆಡೆ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಲು ವಿಫಲವಾದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳೆಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದುಃ ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ; ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ; ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ, ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.) ಇದನ್ನು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿರುವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿನಿಮಾ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಳ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಬೇಕು. ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮಿನಿಮಾ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳು ಅಥವಾ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ಕೆಚಿಂಗ್ನಲ್ಲೂ ಇದು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಒಮ್ಮೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿನಿಮಾ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಒರಟಾದ ಕಥಾವಸ್ತುವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಬಿಂದುವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಎಲ್ಲವೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು "ಸ್ಯಾಡಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನಿಶ್ಚಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆಃ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿಯೇ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸಮತಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚಿಕ್ಕದಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೇಲ್ಮೈ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊಟ್ಟೆಯ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮಾರ್ಗವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆಃ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆಃ ಅನೇಕ ಭೌತಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಬದಲಾಗುವ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುವ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ "ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ"-ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ-ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನದ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿವೆಃ ವೇಗವು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರದ (ಮೂಲ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ದೂರ) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ), ಅಂದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆ ಚಲಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಭೌತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದೊಳಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಗವರ್ಧನೆ ಮತ್ತು ಬಲದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೌಮ್ಯವಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರುಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದರರ್ಥ ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಸಮತಲವಾಗಿರಬೇಕು. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಇದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ನಕ್ಷೆಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಇಳಿಜಾರು ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಇಳಿಜಾರುಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಆ ಎಲ್ಲಾ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅದು ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಮತಲ ರೇಖೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾದ ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಮಾಹಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ರೇಖೀಯ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂದಾಜನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂದಾಜನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ರೇಖೀಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮವಾದದ್ದು ಘನ ಬಹುಪದವಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ಬಹುಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆ ಇರಬೇಕು,,, ಮತ್ತು ಇದು ಅಂದಾಜು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ಆಯ್ಕೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ಆಯ್ಕೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ. , ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಮಟ್ಟದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರಲೇಬೇಕು ಮತ್ತು ಇರಲೇಬೇಕು. ಈ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿಯ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಟೇಲರ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂದಾಜು ಎಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಖರವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದವು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಡಿಗ್ರಿಯ ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೇಲರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಮಿತಿಯು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಂತ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಗಿತಗಳು ಅಥವಾ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ; ಇದಲ್ಲದೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ವೃತ್ತಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ, ಆಗ ವೃತ್ತವು ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಯ್ಡ್ ಆಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ನಂತೆಯೇ ಅಲ್ಲ. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸುತ್ತಲೂ, ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಜವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವೃತ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೃತ್ತದಂತೆ ಕಾಣುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಕೂಡ ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.) ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಲಾದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆ ಕಾಣಿಸಿದಾಗ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಡಿಫೆರೆನ್ಷಿಯಲ್ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ನ್ಯೂಮರಿಕಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್ ಟೆಕ್ನಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ವಿಷಯಗಳ ಪಟ್ಟಿ ನೋಟೇಶನ್ ಫಾರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕೃತಿಗಳು ಇತರ ಮೂಲಗಳಾದ ಬೋಮನ್, ಯುಜೀನ್ ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ರೋಜರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ಃ ಅಭ್ಯಾಸದಿಂದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ. 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್