Principle of permanence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ತತ್ವ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ರೂಪಗಳ ಶಾಶ್ವತತೆಯ ನಿಯಮವು, ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿತ್ತು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಾಗ. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಗಮನ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅದರ ಒತ್ತು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ಗಣಿತದ ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಶ್ವತತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಾದಗಳನ್ನು ಬದಲಿಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಈ ತತ್ವವನ್ನು ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಶೋಧಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ತತ್ವವನ್ನು ವರ್ಗಾವಣೆ ತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೆಲವು ರಚನೆಗೆ ನಿಜವಾದ ಕೆಲವು ಭಾಷೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ರಚನೆಗೆ ನಿಜವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಜಾರ್ಜ್ ಪೀಕಾಕ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ (ಮೂಲಕ್ಕೆ ಒತ್ತು) ಈ ತತ್ವವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆಃ 132. ಸಮಾನ ರೂಪಗಳ ಶಾಶ್ವತತೆಯ ಈ ತತ್ವ ಅಥವಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನೇರ ಮತ್ತು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಅನುಪಾತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಾಗ ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. "ಯಾವುದೇ ರೂಪವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ, ಆ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಏನನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆಯೋ ಅದು ನಿಜವಾಗಿರಬೇಕು". ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಧೀನ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವಾಗ ಅದೇ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ತತ್ವವನ್ನು ನಂತರ ಹರ್ಮನ್ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ಪೀನೋ, ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಮ್ಯಾಕ್, ಹರ್ಮನ್ ಶುಬರ್ಟ್, ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಪ್ರಿಂಗ್ಶೀಮ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆಫ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದ ಅದೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಅವರು ಕೋರ್ಸ್ ಡಿ ಅನಲೈಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದು 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ಅವರು ಬಳಸುವ ವಾದದ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು (ಮತ್ತು ಟೀಕಿಸಲು) "ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯತೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಿತು. ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಶಾಶ್ವತತೆಯ ತತ್ವದ ಮುಖ್ಯ ಉಪಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ s, t ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಶಾಶ್ವತತೆಯ ತತ್ವದಿಂದ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಸಹ ಹೊಂದುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವಹನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಎಡ-ರದ್ದತಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಃ ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ. ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ತರ್ಕಬದ್ಧ, ನೈಜ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ನಂತರ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನಂತವನ್ನು ಮೀರಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ, ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಲೆಫ್ಟ್-ಕ್ಯಾನ್ಸಿಲೇಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,. ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸಂವಹನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಎಡ-ರದ್ದತಿಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವಾಗ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಶಾಶ್ವತತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸ