Union (set theory)
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹದ ಒಕ್ಕೂಟವು (¥ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಬಹುದಾದ ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಎ ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯ () ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಎ, ಬಿ ಅಥವಾ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇರುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್-ಬಿಲ್ಡರ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ,. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A = {1,3,5,7} ಮತ್ತು B = {1,2,4,6,7} ಆಗಿದ್ದರೆ, A ≤ B = {1,2,3,4,5,6,7} ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ (ಎರಡು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ): A = {x ಎಂಬುದು 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ} B = {x ಎಂಬುದು 1ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ} ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, 9ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (2,3,5,7,11,.}) ಗುಂಪಿನ ಮತ್ತು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (2,4,6,8,10,.) ಗುಂಪಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 9 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಸಮವಲ್ಲ. ಸೆಟ್ಗಳು ನಕಲು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು, ಆದ್ದರಿಂದ {1,2,3} ಮತ್ತು {2,3,4} ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು {1,2,3,4} ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಅನೇಕ ಘಟನೆಗಳು ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಅಥವಾ ಅದರ ವಿಷಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೈನರಿ ಯೂನಿಯನ್ ಒಂದು ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಆವರಣಗಳನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಲ್ಲದೆ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದುಃ ಮೇಲಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಒಕ್ಕೂಟದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಒಂದು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಒಕ್ಕೂಟದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆಃ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಸಂಗತಿಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಯೂನಿಯನ್ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯೂನಿಯನ್ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮೇಲೆ ವಿತರಿಸುತ್ತದೆ ಯೂನಿಯನ್, ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಲಿಮೆಂಟೇಶನ್ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಛೇದನ ಮತ್ತು ಪೂರಕ ಸೂತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೆಟ್ ಫೈನೈಟ್ ಯೂನಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಎಂಬ ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಎ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು, ಬಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಿ ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, x ಕನಿಷ್ಠ A, B, ಮತ್ತು Cಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ x ಎಂಬುದು A ≤ B ≤ C ಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ; ಈ ಪದಗುಚ್ಛವು ಯೂನಿಯನ್ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ಯೂನಿಯನ್ಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸೆಟ್ಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಗ್ರಹದ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅನಂತ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂನ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ ಎ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು x ಎ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ x ಎಂನ ಒಕ್ಕೂಟದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿಃ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A ≤ B ≤ C ಎಂಬುದು {A, B, C} ಸಂಗ್ರಹದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಎಂ ಖಾಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂ ನ ಒಕ್ಕೂಟವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಂಕೇತಗಳು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಸೆಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟಕ್ಕಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ,, ಮತ್ತು ಸೇರಿವೆ. ಈ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದು ಸಂಗ್ರಹದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ I ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ I ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೊದಲು ಇರಿಸಿದಾಗ (ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಬದಲು), ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತನ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಯುನಿಕೋಡ್ನಲ್ಲಿ, ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಕಪ್ನಿಂದ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿಗ್ ಕಪ್ನಿಂದ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ-ದಿ ಯೂನಿಯನ್ ಆಫ್ ಸೆಟ್ ಆಫ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ಟರ್ನಲ್ ಲಿಂಕ್ಸ್ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಯೂನಿಯನ್ ಅಂಡ್ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಅಟ್ ಪ್ರೊವೆನ್ಮ್ಯಾಥ್ ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಅವರ ನಿಯಮಗಳು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ. ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ