Negative binomial distribution
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಶಸ್ಸುಗಳು (ಸೂಚಿಸಲಾದ) ಸಂಭವಿಸುವ ಮೊದಲು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಡೈ ಮೇಲೆ 6 ಅನ್ನು ರೋಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಯಶಸ್ಸು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವೈಫಲ್ಯ ಎಂದು ರೋಲಿಂಗ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಾವು ಮೂರನೇ ಯಶಸ್ಸನ್ನು () ನೋಡುವ ಮೊದಲು ಎಷ್ಟು ವೈಫಲ್ಯದ ರೋಲ್ಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೇಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು (ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಶಸ್ಸುಗಳಿಗೆ (r), ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು (n − r) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳು (n) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಂತ್ರವು ಒಡೆಯುವ ಮೊದಲು (r ನಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ) n (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ವಿತರಣೆ (ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ನಂತರ) ಮತ್ತು ಪೋಲ್ಯಾ ವಿತರಣೆ (ಜಾರ್ಜ್ ಪೋಲ್ಯಾಗೆ) ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ ನಿಲುಗಡೆ-ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ () "ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ" ಅಥವಾ "ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್" ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮತ್ತು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ "ಪೋಲ್ಯಾ" ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳು, ಹವಾಮಾನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಇತರರ ನಡುವಿನ ಸಂಪ್ರದಾಯವಾಗಿದೆ. ಸುಂಟರಗಾಳಿ ಏಕಾಏಕಿ ಸಂಭವಿಸುವಂತಹ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟನೆಗಳ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ, ಪೊಯ್ಸನ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಮೂಲಕ ಪೊಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಪೋಲ್ಯಾ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ವಿತರಣೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಾಸರಿಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅಪರೂಪವಾಗಿದ್ದಾಗ). ಇದು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಮಿತಿಮೀರಿದ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಹಿಂಜರಿತದ ದೃಢವಾದ ಮಾರ್ಪಾಡಿಗೆ. ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಗಳಿಗೆ ರೋಗ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೋಂಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಟಿಂಗಿನಿಂದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಪದದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿತ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಲ್ಲಿ ಇದು ಸೂಕ್ತವಾಗಬಹುದು. "ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ" ಎಂಬ ಪದವು ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಇರಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿಃ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗವು "ಯಶಸ್ಸು" ಮತ್ತು "ವೈಫಲ್ಯ" ಎಂಬ ಎರಡು ಸಂಭಾವ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲೂ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಶಸ್ಸುಗಳು ಸಂಭವಿಸುವವರೆಗೆ ನಾವು ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಗಮನಿಸಿದ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ (ಅಥವಾ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್) ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ r ಎಂಬುದು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, k ಎಂಬುದು ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು p ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಆವರಣದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣವು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು k + r ಬದಲಿಗೆ k + r − 1 ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ k ವೈಫಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ k + r ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, "ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, r ಯಶಸ್ಸುಗಳು ಮತ್ತು k ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೂ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ k + r ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಆರನೇ ಯಶಸ್ಸು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಬರುವುದರಿಂದ, ಉಳಿದ k + r−1 ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ k ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಉಳಿದಿದೆ. ಮೇಲಿನ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವು, ಅದರ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದಾಗಿ, k + r−1 ಉದ್ದದ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದ ಅಪೂರ್ಣ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ (ಈ ಸೂತ್ರವು ಲೇಖನದ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಅದೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದೆ, r ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ.) ಇದನ್ನು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಿದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಾಲ್ಕು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಸರಳವಾಗಿ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕದ ಸಮಾನ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆಃ ಎರಡನೇ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೇವಲ ಯಶಸ್ಸು ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆಃ ಈ ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿರಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅವು ಬಹುಶಃ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ r ಯಶಸ್ಸಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ n ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು X ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ r ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಬೆಂಬಲ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ ವೈಫಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಕೆ ಯಶಸ್ಸಿನ (ಅಥವಾ ಎನ್ ಪ್ರಯೋಗಗಳು) ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಕ್ಸ್ ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಏನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆ p ಇನ್ನೂ "ಯಶಸ್ಸಿನ" ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು r ನಿಯತಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. "ವೈಫಲ್ಯಗಳ" ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ (ಧನಾತ್ಮಕ) r ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಾಮಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಅದರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರತಿರೂಪಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವವರೆಗೆ ಕುದಿಯುತ್ತದೆಃ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ, X ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ (ಅಥವಾ ಪೊಲ್ಯಾ) ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆಃ ಇಲ್ಲಿ r ಒಂದು ನೈಜ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಇದು ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮೀನ್ m ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಂತರ, r ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಈ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು m ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಂತರ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಹೊಂದಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಲೇಖಕರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, r ನಿಯತಾಂಕ ಅಥವಾ ಅದರ ಪರಸ್ಪರ α ಅನ್ನು "ಪ್ರಸರಣ ನಿಯತಾಂಕ", "ಆಕಾರ ನಿಯತಾಂಕ" ಅಥವಾ "ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಗುಣಾಂಕ" ಅಥವಾ "ವೈವಿಧ್ಯತೆ" ಅಥವಾ "ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ" ನಿಯತಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜೀವಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವಾಗ "ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯದ ಕಡೆಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ನಿಯತಾಂಕ r ನ ಇಳಿಕೆಯು ಜೀವಿಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ; ಅನಂತತೆಯ ಕಡೆಗೆ r ನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ಸರಾಸರಿ μ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ σ2ರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಅವಧಿಯು ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಅವಧಿಯು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಹಿಂಜರಿತದ ಮೂಲಕ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯಾಂಡಿ ಪ್ಯಾಟ್ ಕಾಲಿಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಕ್ಯಾಂಡಿ ಬಾರ್ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿ 6ನೇ ತರಗತಿಯ ಫೀಲ್ಡ್ ಟ್ರಿಪ್ಗಾಗಿ ಹಣವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಐದು ಕ್ಯಾಂಡಿ ಬಾರ್ಗಳು ಮಾರಾಟವಾಗುವವರೆಗೆ ಪ್ಯಾಟ್ (ಸ್ವಲ್ಪ ಕಠಿಣವಾಗಿ) ಮನೆಗೆ ಮರಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಗು ಮನೆ ಬಾಗಿಲಿಗೆ ಹೋಗಿ ಕ್ಯಾಂಡಿ ಬಾರ್ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಮನೆಯಲ್ಲೂ, ಒಂದು ಕ್ಯಾಂಡಿ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವ 0.6 ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಏನನ್ನೂ ಮಾರಾಟ ಮಾಡದಿರುವ 0.40 ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಕ್ಯಾಂಡಿ ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಒಂಬತ್ತನೇ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು? ಕ್ಯಾಂಡಿಯನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವುದು ನಮ್ಮ ನಿಲುಗಡೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ (ಅದನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡಲು ವಿಫಲವಾಗುವುದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ), ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆರ್ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನೆಗ್ಬಿನ್ (ಆರ್, ಪಿ) ವಿತರಣೆಯು ಕೆ + ಆರ್ ಬರ್ನೌಲಿ (ಪಿ) ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಕೆ ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಐದು ಕ್ಯಾಂಡಿ ಬಾರ್ಗಳನ್ನು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಐದು ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂದರೆ. ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣವು ಮನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು k = n − 5 ಅನ್ನು ನೆಗ್ಬಿನ್ (5,0,4) ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮನೆಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (n ≤ 5 ಕ್ಕೆ): ಹತ್ತನೇ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾಟ್ ಮುಗಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಪ್ಯಾಟ್ ಎಂಟನೇ ಮನೆಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೊದಲು ಮುಗಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು? ಎಂಟನೇ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು ಮುಗಿಸಲು, ಪ್ಯಾಟ್ ಐದನೇ, ಆರನೇ, ಏಳನೇ ಅಥವಾ ಎಂಟನೇ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಬೇಕು. ಆ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿಃ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಎಲ್ಲಾ 30 ಮನೆಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಟ್ ಮುಗಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಇದನ್ನು ಪ್ಯಾಟ್ ಮೂವತ್ತನೇ ಮನೆಯ ಮೂಲಕ ಐದನೇಯಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ಯಾಟ್ ಪ್ರತಿ ಮನೆಗೆ ಮಾರಾಟವಾಗುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದಾಗಿ (60 ಪ್ರತಿಶತ), ಅವಳು ತನ್ನ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಿರೀಕ್ಷೆ r ಯಶಸ್ಸನ್ನು ನೋಡಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೈಫಲ್ಯಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೈನಸ್ ಯಶಸ್ಸುಃ ಯಶಸ್ಸಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಒಟ್ಟು ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ r (1−p)/p ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದವನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಅನೇಕ ಬಾರಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅಂದರೆ, ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಇನ್ನೊಂದು ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಿದ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿಃ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಸಿ. ಈಗ ನಾವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ನಡೆಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿ. ನಂತರ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಯಶಸ್ಸುಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ. ಅದನ್ನೇ ನಾವು "ನಿರೀಕ್ಷೆ" ಎಂದರ್ಥ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದು ಈ ಪುಟದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮ್ಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಾಯುವ ಸಮಯದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಠಿಣ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಆಚರಣೆಯು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಶಸ್ಸಿನ ಮೊದಲು ಕಂಡುಬರುವ ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಯಶಸ್ಸನ್ನು ನೋಡುವ ಮೊದಲು ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಒಂಬತ್ತನೇ ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತನೇ ಯಶಸ್ಸಿನ ನಡುವಿನ ಕಾಯುವ ಸಮಯ (ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಎಂದರೆ ಅದು ಸತ್ಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು r-th ಯಶಸ್ಸಿನ ಮೊದಲು ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವಾಗ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು r (1−p)/p2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ (3) ರಂತೆ, r-th ವೈಫಲ್ಯದ ಮೊದಲು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವಾಗ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು rp/(1−p) 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ Y ಎಂಬುದು n ಮತ್ತು p ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. p + q = 1, p, q ≤ 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ನಂತರ ನ್ಯೂಟನ್ನ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬದಲು n ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ r> 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಪದವು ಕೇವಲ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ r ನೇ ಯಶಸ್ಸಿನ ಮೊದಲು ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು k ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, r ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. (r ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಘಾತಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಈಗ ನಾವು r ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು r ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. p ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕ-ದ್ವಿಪದವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ r1 ಮತ್ತು r2 ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ-ದ್ವಿಪದವಾಗಿ ಅದೇ p ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ r-ಮೌಲ್ಯ r1 + r2 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದಾಗ ಈ ಗುಣವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಭಜಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ತ್ವರಿತ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಚಯಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿತರಣೆಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ({0,1,2,3,.} ಮೇಲೆ) ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಹಂತದ-ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಯುಕ್ತವಾದ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕ r ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ. ವೈಫಲ್ಯಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆ) ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು λ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, p ನಿಯತಾಂಕವು p = r/(r + λ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು r ಪಾಯ್ಸನ್ನಿಂದ ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಯ್ಸನ್ಗೆ ದೃಢವಾದ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ದೊಡ್ಡ r ಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಣ್ಣ r ಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗಾಮಾ-ಪಾಯ್ಸನ್ ಮಿಶ್ರಣ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಳ ನಿರಂತರ ಮಿಶ್ರಣವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ) ಅಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ದರದ ಮಿಶ್ರಣ ವಿತರಣೆಯು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದವನ್ನು ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ λ ಸ್ವತಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, r ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲ್ θ = ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ದರ β = ನೊಂದಿಗೆ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಹಿಂದಿನ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು, p ಮತ್ತು 1-p ತೀವ್ರತೆಗಳೊಂದಿಗೆ "ಯಶಸ್ಸು" ಮತ್ತು "ವೈಫಲ್ಯ" ಎಂಬ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಟ್ಟಾಗಿ, ಯಶಸ್ಸು ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು 1 ತೀವ್ರತೆಯ ಒಂದೇ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಾಣ್ಯವು p ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ಬಂದರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಭವವು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ವೈಫಲ್ಯವಾಗಿದೆ. r ಒಂದು ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾಣ್ಯದ ಎಸೆಯುವಿಕೆಯು r ಮತ್ತು p ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಣಿಕೆಯು ವೈಫಲ್ಯದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯ Tಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಯಶಸ್ಸಿನ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಎಣಿಕೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ಯಶಸ್ಸಿನ ಎಣಿಕೆ ಸರಾಸರಿ pT ಯೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ T ಎಂಬುದು 1−p ತೀವ್ರತೆಯ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ r ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಕಾಯುವ ಸಮಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, T ಅನ್ನು ಆಕಾರ ನಿಯತಾಂಕ r ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆ 1−p ಯೊಂದಿಗೆ ಗಾಮಾ-ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ pT ಯೊಂದಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೂಪಾಂತರ T ಅನ್ನು ಆಕಾರ ನಿಯತಾಂಕ r ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಾಮಾ-ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ λ = pT ಅನ್ನು ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕ r ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಗಾಮಾ-ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು (ಇದು r ಒಂದು ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ) ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗಾಮಾ-ಪೊಯಿಸನ್ (ಮಿಶ್ರಣ) ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಗಾಮಾ-ಪೊಯಿಸನ್ ವಿತರಣೆಯ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆ yr, r ಮತ್ತು p ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು {0,1,2,.} ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಿದರೆ, yr ಎಂಬುದು p ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ({0,1,2,.} ರಂದು) ಅನುಸರಿಸುವ r ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, yr (ಸರಿಯಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ r ಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, bs + r ಎಂಬುದು s + r ಮತ್ತು p ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ "ವಿಲೋಮ" ವಾಗಿದೆ. p ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ವತಂತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕ-ದ್ವಿಪದವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ r1 ಮತ್ತು r2 ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕ-ದ್ವಿಪದವಾಗಿ ಅದೇ p ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ r-ಮೌಲ್ಯ r1 + r2 ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, Y ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ Y1, Yn ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಮೊತ್ತವು Y ಹೊಂದಿರುವ ಅದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಯುಕ್ತ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಎನ್. ಬಿ. (ಆರ್, ಪಿ) ಅನ್ನು ಸಂಯುಕ್ತ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸರಣಿ ವಿತರಣೆ ಲಾಗ್ (ಪಿ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸಂಭವನೀಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎನ್. ಬಿ. (ಆರ್, ಪಿ)-ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು X ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾದ GX ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ GN ಮತ್ತು GY1 ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಎನ್ಬಿ (ಆರ್, ಪಿ) ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಡ್ರಾಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಾಲ್ಕು ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆಃ (a, b, 0) ವಿತರಣೆಗಳ ವರ್ಗ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದವು, ಪಾಯ್ಸನ್ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, (a, b, 0) ವಿತರಣೆಗಳ ವರ್ಗದ ಸದಸ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವಿತರಣೆಗಳು ಪಂಜರ್ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ. p ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನ ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜು MVUE p ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ r ಯಶಸ್ಸುಗಳು ಕಂಡುಬರುವವರೆಗೆ ಮಾದರಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಂಕಿ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಕೆ, ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. p ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ, ಕನಿಷ್ಠ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರನು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು r ತಿಳಿದಾಗ, p ಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಆದರೆ ಇದು ಪಕ್ಷಪಾತದ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದರ ವಿಲೋಮ (r + k)/r, 1/p ಯ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ಆರ್ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪಿ ಮತ್ತು ಆರ್ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಾರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು r ಮತ್ತು p ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಡಿಜಮ್ಮ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. p ಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು r ಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಯಸಿದರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಎಕ್ಸ್ಪೆಕ್ಟೇಷನ್-ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮೈಸೇಶನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಕಾಯುವ ಸಮಯ r ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಯೊಂದಿಗೆ k + r ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಗೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದವು ಕೊನೆಯ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ k ಯಶಸ್ಸು ಮತ್ತು r ವೈಫಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆರನೇ ವೈಫಲ್ಯದ ಮೊದಲು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಆಗಿದೆ. ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಯೋಗಗಳು, ವೈಫಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಪದೇ ಪದೇ ಡೈ ಅನ್ನು ಎಸೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ವೈಫಲ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು 5/6 ಆಗಿದೆ. ಮೂರನೆಯ ವೈಫಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಶಸ್ಸುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ-ದ್ವಿಪದವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಆರ್ = 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ ನಾವು ಮೊದಲ ವೈಫಲ್ಯದ ಮೊದಲು ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ. (k + 1) ನೇ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಮೊದಲ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಅತಿಯಾಗಿ ಹರಡಿದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಅದರ ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಮೀರಿದ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಧನಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪೊಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಯು ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾದರಿಯಲ್ಲ. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಪಾಯ್ಸನ್ಗಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಇದರ ಅನ್ವಯವು ಉತ್ತರ ಅಟ್ಲಾಂಟಿಕ್ನಲ್ಲಿನ ಉಷ್ಣವಲಯದ ಚಂಡಮಾರುತಗಳ ವಾರ್ಷಿಕ ಎಣಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಯುರೋಪ್ನಲ್ಲಿನ ಚಳಿಗಾಲದ ಉಷ್ಣವಲಯದ ಹೊರಗಿನ ಚಂಡಮಾರುತಗಳ ಮಾಸಿಕದಿಂದ 6-ಮಾಸಿಕ ಎಣಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಮಿತವಾದ ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಅತಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣದ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಹೋಲುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ-ಥ್ರೋಪುಟ್ ಆರ್ಎನ್ಎ ಮತ್ತು ಡಿಎನ್ಎ ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅನುಕ್ರಮ ಓದುವ ಎಣಿಕೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಗುಣ ಅವಲೋಕನಗಳು (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಕಣಗಳ ಘರ್ಷಣೆ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಹುಗುಣ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (ಅವಲೋಕನಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಿ), ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ದ್ರವ್ಯದ ಅಳತೆ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಆಸ್ತಿ ಎಂದು ವಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮರ್ಥನೆಯು 1973 ರಲ್ಲಿ ಅವರ ಮೊದಲ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ನಂತರ ಐವತ್ತು ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. 2023 ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಕಾಟ್ ವಿ. ತೇಜ್ಲಾಫ್ ಅವರು ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಣಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೂಹದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮರೂಪದ ಗುಂಪನ್ನು ಬೃಹತ್ ಕಣಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೂಹದ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಪ್ರವಾಹ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ಪ್ರವಾಹ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ಕಣಗಳ ಸಮೂಹದ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ವೇಗ ಮತ್ತು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ ಎಲ್ಲಿದೆ-ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದುಃ ಮೇಲಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಕಠಿಣ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಫೇನ್ಮನ್ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1713 ರಲ್ಲಿ ಪಿಯರೆ ರೆಮಂಡ್ ಡಿ ಮಾಂಟ್ಮೋರ್ಟ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಎಸ್ಸೇ ಡಿ ಅನಲೈಸ್ ಸುರ್ ಲೆಸ್ ಜೆಕ್ಸ್ ಡಿ ಹಜಾರ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದರು. ಕೂಪನ್ ಸಂಗ್ರಾಹಕರ ಸಮಸ್ಯೆ ಬೀಟಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ವಿಸ್ತೃತ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಪಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬ ಋಣಾತ್ಮಕ ದ್ವಿಪದ ಹಿಂಜರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳು ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ವಿಷಯಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ವಿಭಜಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು.