Plancherel measure
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮೈಕೆಲ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ನಾವು ಅದರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕರಣ, ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪಿಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಜನೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಅದರ ಆಯಾಮವು, ಆಕಾರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಮ n ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅಳತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ನಂತರದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ. ಆ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನೇಕ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆ ಎಂಬ ಪದವು ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ನಂತರದ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ರಾಬಿನ್ಸನ್-ಷೆನ್ಸ್ಟೆಡ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನುಗುಣವಾದ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ರಾಬಿನ್ಸನ್-ಷೆನ್ಸ್ಟೆಡ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ಅದರ ವಿತರಣೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸಹಜ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪೊಯ್ಸೊನೈಸ್ಡ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಪಾಯ್ಸೊನೈಸ್ಡ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಳತೆಗೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಯ್ಸೊನೈಸ್ಡ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು n ನೇ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅದರ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಯುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ n − 1 ಮತ್ತು n ಗಾತ್ರಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ವಿವಿಧ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಯಂಗ್ನ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ನಡಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪುಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅಳತೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಏಕೀಕೃತ ದ್ವಿಗುಣವು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯು ಅದರ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಏಕೀಕೃತ ದ್ವಂದ್ವವು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯು ಉಭಯ ಗುಂಪಿನ ಹಾರ್ ಅಳತೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿ ಸಿಂಪಲ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹರೀಶ್-ಚಂದ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ. ಬೆಂಬಲವು ಸೌಮ್ಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಬೆಂಬಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ