Rafael Bombelli
ರಾಫೆಲ್ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ (20 ಜನವರಿ 1526 ರಂದು ದೀಕ್ಷಾಸ್ನಾನ ಪಡೆದರು; 1572 ರಲ್ಲಿ ನಿಧನರಾದರು) ಇಟಲಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿದ್ದರು. ಬೊಲೊಗ್ನಾದಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಒಂದು ಗ್ರಂಥದ ಲೇಖಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು. ತನ್ನ 1572ರ ಪುಸ್ತಕ ಎಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದಲ್ಲಿ, ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಡೆಲ್ ಫೆರೋ/ಟಾರ್ಟಾಗ್ಲಿಯಾ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದನು. ಅವರು + i ಮತ್ತು-i ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಮುಂಚಿನ ವಾಕ್ಚಾತುರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವೆರಡೂ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು. ಲೈಫ್ ರಾಫೆಲ್ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 20 ಜನವರಿ 1526 ರಂದು ಪಾಪಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ನ ಬೊಲೊಗ್ನಾದಲ್ಲಿ ದೀಕ್ಷಾಸ್ನಾನ ಪಡೆದರು. ಆತ ಉಣ್ಣೆ ವ್ಯಾಪಾರಿ ಆಂಟೋನಿಯೊ ಮ್ಯಾಝೋಲಿ ಮತ್ತು ದರ್ಜಿಯ ಮಗಳಾದ ಡಯಾಮಂಟೆ ಸ್ಕುಡಿಯೆರಿಗೆ ಜನಿಸಿದರು. ಮಜೋಲಿ ಕುಟುಂಬವು ಒಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಬೊಲೊಗ್ನಾದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು. ಪೋಪ್ ಜೂಲಿಯಸ್ II ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ, 1506ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಆಳುವ ಕುಟುಂಬವಾದ ಬೆಂಟಿವೊಗ್ಲಿಯೊಸ್ ಅನ್ನು ಗಡೀಪಾರು ಮಾಡಿದರು. 1508ರಲ್ಲಿ ಬೆಂಟಿವೊಗ್ಲಿಯೊ ಕುಟುಂಬವು ಬೊಲೊಗ್ನಾವನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೂ ಅದು ವಿಫಲವಾಯಿತು. ರಾಫೆಲ್ನ ಅಜ್ಜ ದಂಗೆಯ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಸೆರೆಹಿಡಿದು ಮರಣದಂಡನೆ ವಿಧಿಸಲಾಯಿತು. ನಂತರ, ಆಂಟೋನಿಯೊ ಬೊಲೊಗ್ನಾಗೆ ಮರಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಮಜೋಲಿ ಕುಟುಂಬದ ಖ್ಯಾತಿಯಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ತನ್ನ ಉಪನಾಮವನ್ನು ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಂಡನು. ರಾಫೆಲ್ ಆರು ಮಕ್ಕಳಲ್ಲಿ ಹಿರಿಯವನಾಗಿದ್ದನು. ರಾಫೆಲ್ ಯಾವುದೇ ಕಾಲೇಜು ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಪಿಯರ್ ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕೊ ಕ್ಲೆಮೆಂಟಿ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಎಂಜಿನಿಯರ್-ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪಿಗಳಿಂದ ಕಲಿಸಲ್ಪಟ್ಟನು. ತನ್ನ ಕಾಲದ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುರಿತಾದ ಯಾವುದೇ ಕೃತಿಗಳು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ ಭಾವಿಸಿದರು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಗ್ರಂಥದ ಬದಲಿಗೆ, ರಾಫೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅರ್ಥವಾಗಬಹುದಾದ ಪುಸ್ತಕವೊಂದನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಅವರ ಪಠ್ಯವು ಸ್ವಾವಲಂಬಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶಿಕ್ಷಣವಿಲ್ಲದವರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಓದಬಹುದು. ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ 1572ರಲ್ಲಿ ರೋಮ್ನಲ್ಲಿ ನಿಧನರಾದರು. 1572ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಗ್ರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬರೆದ ಮೊದಲ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಆತ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಪಠ್ಯದಿಂದ ಆಯ್ದ ಭಾಗವಾಗಿದೆಃ "ಪ್ಲಸ್ ಟೈಮ್ಸ್ ಪ್ಲಸ್ ಪ್ಲಸ್ ಪ್ಲಸ್ ಮೈನಸ್ ಟೈಮ್ಸ್ ಪ್ಲಸ್ ಪ್ಲಸ್ ಟೈಮ್ಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಮೈನಸ್ ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸಮಗ್ರರಾಗಿದ್ದರು. ಟಿಪ್ಪಣಿ ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಮುದ್ರಿತ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ (ತನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪುಸ್ತಕ II ರಲ್ಲಿ), ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಕೇತದ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು 1U3 a ಆಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. 6ಯು1 ಪುಟ 40. ಇದರಲ್ಲಿ ಆತ ಯು3ಅನ್ನು ಎತ್ತರಿಸಿದ ಬೌಲ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ (ಯು ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರದ ಬಾಗಿದ ಭಾಗದಂತೆ) ಅದರ ಮೇಲೆ 3ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ. ಪೂರ್ಣ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ _ ವಿಯೆಟ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಹುಶಃ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗಿನ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯ ಸ್ಮಾರಕ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆಯುವ ಮೊದಲು, ಅವು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾದ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಸೆಳೆದಿದ್ದಾರೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತದ ಘನಮೂಲ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ತಕ್ಷಣ, ಅವರು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಾಧನೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಂತರದ ಹಲವಾರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸಹ ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ತುಂಬಾ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದರು. ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಂತೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಬದಲು, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದರು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಲೀ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಲೀ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿತು. ಈ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯೂಲರ್ ಎದುರಿಸಿದ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು i "ಪ್ಲಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್" ಎಂದು ಕರೆದರು ಮತ್ತು-i ಗೆ "ಮೈನಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವೆಂದು ನೋಡಲು ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯು ದೂರದೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಜನರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧನಗಳಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಅಂತೆಯೇ, ಕಾರ್ಡಾನೊನಂತಹ ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಬಿಟ್ಟುಕೊಟ್ಟ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಸಿಪಿಯೋನ್ ಡೆಲ್ ಫೆರೊನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸುತ್ತಾನೆಃ "ಪ್ಲಸ್ ಬೈ ಪ್ಲಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್, ಪ್ಲಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ಲಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್ ನಿಂದ ಮೈನಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ಲಸ್ ಬೈ ಮೈನಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್, ಮೈನಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್, ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ಲಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ನ ಪ್ಲಸ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್ನ ಪ್ಲಸ್, ಮೈನಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ಲಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್ ಬೈ ಮೈನಸ್ ಆಫ್ ಮೈನಸ್, ಪ್ಲಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್ನ ಮೈನಸ್, ಪ್ಲಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್ನಿಂದ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ". ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯು ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾನೆ. ನೈಜ ಭಾಗಗಳು ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಮನವಿಟ್ಟು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಅವರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಮೊದಲು ಯಾರೂ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಉಪಯುಕ್ತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಯಾರೂ ನಂಬಲಿಲ್ಲ. ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಅವರು ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯನ್ನು "ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ" ಎಂದು ಹೊಗಳಿದರು. .. .. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಲೆಯ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾಸ್ಟರ್ ". ಕ್ರಾಸ್ಲೆ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, "ಹೀಗೆ ನಾವು ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿ ಎಂಬ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಬಹುಶಃ ಅವು ಅವರಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಕಾರಣ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಡನ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ನಿಷ್ಪ್ರಯೋಜಕವೆಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ನೀಡಿದವರಲ್ಲಿ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯು ಮೊದಲಿಗನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ. .. .. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಎಷ್ಟು ಸಮಗ್ರವಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. .. "ಎಂದೆ. ಅವನ ಸಾಧನೆಗಳ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ, ಚಂದ್ರನ ಕುಳಿಗೆ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು. ಬಾಂಬೆಲ್ಲಿಯ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿತು. ಆತ ಇನ್ನೂ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಾಂಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪಿಯೆಟ್ರೊ ಕಟಾಲ್ಡಿ (1613) ನೀಡಿದ ನಂತರದ ಆವೃತ್ತಿಯ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರಿಂದ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರ್ಯಾಯವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯು ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ವರ್ಗಗಳ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಒಮ್ಮುಖಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವು 3.605551275 ಆಗಿದೆ.: ಕೊನೆಯ ಒಮ್ಮುಖವು 3.605550883 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆರೋಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಬಳಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಲ್ಲಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ಬಳಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ 1 ಮತ್ತು 0 ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂಲಗಳು ಮೋರಿಸ್ ಕ್ಲೈನ್, ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಥಾಟ್ ಫ್ರಮ್ ಏನ್ಷಿಯಂಟ್ ಟು ಮಾಡರ್ನ್ ಟೈಮ್ಸ್, 1972, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಡೇವಿಡ್ ಯುಜೀನ್ ಸ್ಮಿತ್, ಎ ಸೋರ್ಸ್ ಬುಕ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್, 1959, ಡೋವರ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಡೇನಿಯಲ್ ಜೆ. ಕರ್ಟಿನ್, ಮತ್ತು ಇತರರು, ರಾಫೆಲ್ ಬೊಂಬೆಲ್ಲಿಯವರ ಎಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, 1996, ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಲಿಬ್ರಿ I, II, III, IV ಇ ವಿ, ಮೂಲ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಪಠ್ಯಗಳು. ಹಿನ್ನೆಲೆ 1526 ಜನನಗಳು 1572 ಸಾವುಗಳು 16ನೇ ಶತಮಾನದ ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಬೀಜಗಣಿತಜ್ಞರು ಬೊಲೊಗ್ನಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು