Multivariate random variable
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಬಹುಪರಿವರ್ತನೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ಗಣಿತದ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಅಥವಾ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೂ ಸಂಭವಿಸಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅದರ ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನವಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಘಟಕದ ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಯಸ್ಸು, ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಗುಂಪಿನೊಳಗಿಂದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಈ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅನೇಕವೇಳೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಒಟ್ಟು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅನುಕ್ರಮ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ (ಅಥವಾ ಅದರ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್, ಇದು ರೋ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ), ಇದರ ಘಟಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಸಿಗ್ಮಾ-ಬೀಜಗಣಿತ (ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ), ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ (ಪ್ರತಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಕಾರ್ಯ). ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ಬೋರೆಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಿಗ್ಮಾ-ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಳತೆಯನ್ನು ಜಂಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ, ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಬಹುವಿಧದ ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕಗಳ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ರೀತಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಸೇರ್ಪಡೆ, ವ್ಯವಕಲನ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅದೇ ರೀತಿ, ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ, ಇಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು. ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು. ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು. ನೈಜ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಆಯಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸ್-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ (i, j) th ಅಂಶವು i th ಮತ್ತು j th ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂಶದಿಂದ ಅಂಶ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಟಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಾಹಕದ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅಡ್ಡ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು (ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಂಶದಿಂದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ (i, j) ನೇ ಅಂಶವು i ನೇ ಅಂಶ ಮತ್ತು j ನೇ ಅಂಶದ ನಡುವಿನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಕ್ರಾಸ್-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸರಳವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಅಸಂಬದ್ಧತೆ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಂಬದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ (i, j) ನೇ ಅಂಶವು i ನೇ ಮತ್ತು j ನೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂಶದಿಂದ ಅಂಶ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಟಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ವಾಹಕದ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ, ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಅಡ್ಡ-ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು (ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಕ್ರಾಸ್-ಕೋರಿಲೇಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸ್-ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆಃ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಡಿಪೆಂಡೆನ್ಸ್ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಿಖಿತ ಘಟಕ-ಬುದ್ಧಿವಂತ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಕಾರ್ಯ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ವಾಹಕವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ-ಅಂದರೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ಮೇಲಿನ ಎಡದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಬಲಕ್ಕೆ). ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೂ ಹಾಗೆಯೇ. ಪುರಾವೆಃ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸೂತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು, ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಲು ನಮಗೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ ಇದು ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಟ್ರೇಸ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ (ಉದಾ. :). ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೂಲ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ-ಅರ್ಥ ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ಅದರ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೆ, ಎರಡೂ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೂ ಸಹ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹಣಕಾಸು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಿಟರ್ನ್ ವಿತರಣೆಯು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಅಪಾಯಕಾರಿ ಸ್ವತ್ತುಗಳ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೊವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಒಂದು ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಿಟರ್ನ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸ್ವತ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರಿಟರ್ನ್ಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಿಟರ್ನ್ p (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ತೂಕಗಳ ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರಿಟರ್ನ್ಗಳ ವಾಹಕದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ-ಆಯಾ ಸ್ವತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಬಂಡವಾಳದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಪಿ = ಡಬ್ಲ್ಯೂಟಿ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಿಟರ್ನ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಡಬ್ಲ್ಯೂಟಿಇ () ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೋರ್ಟ್ಫೋಲಿಯೋ ರಿಟರ್ನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂಟಿಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸಿ ಅದರ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ k ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರರಾಶಿ xj ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತ ಚರರಾಶಿ y ಮತ್ತು n ಅವಲೋಕನಗಳ ಮೇಲೆ n ಅವಲೋಕನಗಳ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ y ಆಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ನಂತರದ ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಅವಲೋಕನಗಳ ವಿನ್ಯಾಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ) ಆಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿವರಣೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ β ಎಂಬುದು k ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸ್ಥಿರವಾದ ಆದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು e ಎಂಬುದು ಅವಲಂಬಿತ ಚರರಾಶಿಯ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಭಾವಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಅಜ್ಞಾತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಸಾಧಾರಣ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಆಯ್ದ ತಂತ್ರಗಳಿಂದ, ವಾಹಕವನ್ನು β ಯ ಅಂದಾಜಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಾಹಕದ e ಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕು, ಇವುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ n ಪ್ರಕರಣಗಳ ಆಯ್ಕೆಯು ಅವುಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ವಾಹಕ ಸಮಯದ ಸರಣಿಯು ಸಮಯದ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಕೆ × 1 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕದ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಾಹಕ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆ (ವಿಎಆರ್) ಎಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಐ-ಅವಧಿಯ-ಹಿಂಭಾಗದ ವಾಹಕ ವೀಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಐ-ಥ ಲ್ಯಾಗ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಕೆ × 1 ವಾಹಕವಾಗಿದೆ (ಪ್ರತಿಬಂಧಗಳು), ಐ ಸಮಯ-ಅಸ್ಥಿರ ಕೆ × ಕೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ದೋಷ ಪದಗಳ ಕೆ × 1 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮುಂದೆ ಓದುವುದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬಹುವಿಧದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಬೀಜಗಣಿತಃ ಡಿಃ Zufallsvariable#Mehrdimensionale ಜುಫಾಲ್ಸ್ವಾರಿಯಬಲ್ ಪಿಎಲ್ಃ ಝ್ಮಿಯೆನ್ನಾ losowa#Uogólnienia