Snell's law
ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವು (ಸ್ನೆಲ್-ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ನಿಯಮ, ಇಬ್ನ್-ಷಾಲ್ ನಿಯಮ, ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನದ ನಿಯಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಬೆಳಕು ಅಥವಾ ಇತರ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವಾಗ ಘಟನೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಘಟನೆಯ ಅಥವಾ ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಿರಣದ ಜಾಡು ಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರೀಭವನದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕನ್ನು "ಹಿಂದಕ್ಕೆ" ತಿರುಗಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಮೆಟಾ-ಮೆಟೀರಿಯಲ್ಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಈ ನಿಯಮವು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜೋಡಿ ಮಾಧ್ಯಮಕ್ಕೆ, ಆಪಾದನೆಯ ಕೋನ () ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನ () ದ ಸೈನ್ಗಳ ಅನುಪಾತವು ಎರಡನೇ ಮಾಧ್ಯಮದ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾನೂನು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಮಾಧ್ಯಮಗಳ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ () ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಎರಡು ಮಾಧ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿನ ಹಂತದ ವೇಗಗಳ () ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯದ ತತ್ವವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೆಳಕಿನ ಅಲೆಗಳ ಪ್ರಸರಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಜಿಪ್ಟಿನ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಟಾಲೆಮಿಯು ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದನು, ಆದರೆ ಚಿಕ್ಕದಲ್ಲದ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಟಾಲೆಮಿ ಅವರು ನಿಖರವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನಿಯಮವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ವಿಶ್ವಾಸ ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಭಾಗಶಃ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವಂತೆ ಅವರ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ (ನೋಡಿಃ ದೃಢೀಕರಣ ಪಕ್ಷಪಾತ). 984ರಲ್ಲಿ ಬಾಗ್ದಾದ್ ಆಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಪರ್ಷಿಯನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಇಬ್ನ್ ಸಾಹ್ಲ್ ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿದರೂ, ಈ ಕಾನೂನಿಗೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸ್ನೆಲ್ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಯಿತು. ಆನ್ ಬರ್ನಿಂಗ್ ಮಿರರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಲೆನ್ಸಸ್ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಪಥನವಿಲ್ಲದೆ ಬೆಳಕನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಮಸೂರದ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಹ್ಲ್ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಲ್ಹಾಜೆನ್, ತನ್ನ ಬುಕ್ ಆಫ್ ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ (1021), ವಕ್ರೀಭವನದ ನಿಯಮವನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಲು ಹತ್ತಿರ ಬಂದರು, ಆದರೆ ಅವರು ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ. 1602ರಲ್ಲಿ ಥಾಮಸ್ ಹ್ಯಾರಿಯಟ್ ಅವರು ಈ ಕಾನೂನನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವರು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಪ್ಲರ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ನಡೆಸಿದ್ದರೂ ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಿಲ್ಲ. 1621ರಲ್ಲಿ, ಡಚ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ವಿಲ್ಲೆಬ್ರಾರ್ಡ್ ಸ್ನೆಲ್ಲಿಯಸ್ (1580-1626)-ಸ್ನೆಲ್-ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಾನ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದರು, ಅದು ಅವರ ಜೀವಿತಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅಪ್ರಕಟಿತವಾಗಿ ಉಳಿಯಿತು. ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ತನ್ನ 1637ರ ಪ್ರಬಂಧವಾದ ಡಯೋಪ್ಟ್ರಿಕ್ ನಲ್ಲಿ ಸೈನ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾನೂನನ್ನು ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಿದರು. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್, ತನ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯದ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬಂದರು. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಅವರು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದರು, ಆದರೂ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಮಾಧ್ಯಮವು ದಟ್ಟವಾಗಿದೆಯೆಂದು, ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರು. ಫೆರ್ಮಾಟ್ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಿತು, ಅಂದರೆ, ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ದಟ್ಟವಾದ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವು ನಿಧಾನವಾಗುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಫರ್ಮಾಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ, ಮಿನಿಮಾ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವನ ಪರ್ಯಾಪ್ತತೆಯ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿತು, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಗಣಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ತನ್ನ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುಸ್ತಕವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಪೆರ್ಗಾದ ಅಪೋಲೋನಿಯಸ್ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಪಪ್ಪಸ್ ಅವರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ n ರೇಖೆಗಳು L ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು P (L) ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳು QP (L) ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, n = 4, a, b, c, ಮತ್ತು d ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಮತ್ತು a ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು A, b ಮೇಲೆ b, ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, Q ಬಿಂದುಗಳ ಲೋಕಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಂದರೆ QA * QB ಉತ್ಪನ್ನವು QC * QD ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಪಾಪ್ಪಸ್ ಸ್ಥಳವು ಕೋನಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ದೊಡ್ಡ n ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಅವರು ಘನ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು. ಘನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು, ಅವರು ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮದಿಂದ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಡಿಜ್ಕ್ಸ್ಟರ್ಹುಯಿಸ್ ಪ್ರಕಾರ, "ಡಿ ನೇಚುರಾ ಲೂಸಿಸ್ ಎಟ್ ಪ್ರೊಪ್ರೈಟೇಟ್ (1662) ನಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್ ವೊಸಿಯಸ್, ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಸ್ನೆಲ್ನ ಕಾಗದವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ತನ್ನದೇ ಆದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾನೆ. ಈ ಶುಲ್ಕವು ಅನರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗ ತಿಳಿದಿದೆ ಆದರೆ ನಂತರ ಇದನ್ನು ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ". ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ ಇಬ್ಬರೂ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಸ್ನೆಲ್ ಅನ್ನು ನಕಲಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಈ ಆರೋಪವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರು. ಫ್ರೆಂಚ್ನಲ್ಲಿ, ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಲಾ ಲೋಯಿ ಡಿ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್" ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಲೋಯಿ ಡಿ ಸ್ನೆಲ್-ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತನ್ನ 1678ರ ಟ್ರೈಟೆ ಡೆ ಲಾ ಲುಮಿಯೆರ್ನಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಸ್ಟಿಯಾನ್ ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್, ನಾವು ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್-ಫ್ರೆಸ್ನೆಲ್ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಬಂದದ್ದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ನೆಲ್ನ ಸೈನ್ಗಳ ನಿಯಮವನ್ನು ಬೆಳಕಿನ ತರಂಗ ಸ್ವರೂಪದಿಂದ ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದರಿಂದ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ಆಧುನಿಕ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಸ ಹಂತಕ್ಕೆ ತರಲಾಯಿತು. 1962ರಲ್ಲಿ, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾಧ್ಯಮದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂದು ಬ್ಲೊಮ್ಬರ್ಗೆನ್ ತೋರಿಸಿದರು. 2008 ಮತ್ತು 2011ರಲ್ಲಿ, ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣದ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನದ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಪ್ಲಾಸ್ಮೋನಿಕ್ ಮೆಟಾ ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಯಿತು. ವಿವರಣೆ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ವಕ್ರೀಭವನದ ವಿವಿಧ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಮಾಧ್ಯಮದ ಮೂಲಕ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಗಳ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಗಾಜು ಅಥವಾ ನೀರಿನಂತಹ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಮಾಧ್ಯಮದ ಮೂಲಕ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವಾಗ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣದ ವೇಗವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಮಾಧ್ಯಮದ ವಕ್ರೀಭವನದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೆಳಕು ಮಾಧ್ಯಮಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಎರಡು ಮಾಧ್ಯಮಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಬೆಳಕನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಕೋನಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಕ್ರೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗಡಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಗಾಳಿಯಿಂದ ನೀರಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಬೆಳಕಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೆಳಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಯ ಕಡೆಗೆ ವಕ್ರೀಭವನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಬೆಳಕು ನಿಧಾನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ನೀರಿನಿಂದ ಗಾಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಬೆಳಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೆಯಿಂದ ವಕ್ರೀಭವನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವಿನ ವಕ್ರೀಭವನವನ್ನು ರಿವರ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಹರಡುವ ಬೆಳಕಿಗೆ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಅಥವಾ ಸ್ಪೆಕ್ಯುಲರ್ ಮಾಧ್ಯಮಗಳಿಗೆ (ಗಾಜಿನಂತಹ) ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸ್ಫಟಿಕಗಳಂತಹ ಅನಿಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಮಾಧ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ, ಬೈರ್ಫ್ರಿಂಗೆನ್ಸ್ ವಕ್ರೀಭವನಗೊಂಡ ಕಿರಣವನ್ನು ಎರಡು ಕಿರಣಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಓ-ಕಿರಣ, ಮತ್ತು ಇತರ ಅಸಾಧಾರಣ ಅಥವಾ ಇ-ಕಿರಣವು ಆಪಾದಿತ ಕಿರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಹ-ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬೆಳಕು ಅಥವಾ ಇತರ ತರಂಗವು ಏಕವರ್ಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದೇ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಎರಡು ಮಾಧ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿನ ತರಂಗಾಂತರಗಳ ಅನುಪಾತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದಲೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತುಃ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ತತ್ವವಾದ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ತತ್ವದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಬೆಳಕು ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಪಥದ ಉದ್ದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಬೆಳಕು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. (ಒಂದು (ಗೋಳಾಕಾರದ) ಕನ್ನಡಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಯದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿರುವ ಮೂಲಕ ಬೆಳಕು ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ತತ್ವವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ.) ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾದೃಶ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕಡಿಮೆ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಡಲತೀರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಮುದ್ರವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಳುಗುತ್ತಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತಲುಪಲು ಕಡಲತೀರದ ರಕ್ಷಕನಿಗೆ ವೇಗವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಓಡುವುದು. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಮಧ್ಯಮ 1 ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ 2 ರ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಬೆಳಕು ಮಧ್ಯಮ 1 ರಿಂದ ಮಧ್ಯಮ 2 ಅನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ O. ಇದು ಆಪಾದನೆಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಮ 1 ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ 2 ರಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಹಂತದ ವೇಗಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು. ಇದು ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಬೆಳಕು ಕ್ಯೂ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಯ ಟಿ ಆಗಿರಲಿ. ಅಲ್ಲಿ a, b, l ಮತ್ತು x ಅನ್ನು ಬಲಗೈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿರುವಂತೆ, x ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಒಬ್ಬರು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದುಃ (ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಹ್ಯೂಜೆನ್ಸ್ನ ತತ್ವದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ ಬೆಳಕಿನ ಅಲೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು-ಇದು ಹಂತದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ವಿನಾಶಕಾರಿ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ)-ಇದು ನಿಜವಾದ ಮಾರ್ಗಗಳಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಚೋದನೆಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ಪಡೆದದ್ದು ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಅನುವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, z ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಅಡ್ಡವಾದ ಆವೇಗವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಸರಣ ವಾಹಕವು ಫೋಟಾನ್ನ ಆವೇಗದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡೂ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ ಪ್ರಸರಣದ ದಿಕ್ಕು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಘಟನೆಯ ಸಮತಲವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಮಾಧ್ಯಮದ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಮೇಲೆ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಪರಮಾಣು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಮೈಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಬೆಳಕಿನ ತರಂಗಾಂತರದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರದೇಶವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣ ಅನುವಾದದ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಬೆಳಕಿನ ವಾಹಕವನ್ನು (ಬೆಳಕಿನ ಮೂಲದಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈ ಕಡೆಗೆ ತೋರಿಸುವ) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬಳಸದೆ, ಆಪಾದನೆಯ ಕೋನ ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನಗೊಂಡ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದುಃ ಗಮನಿಸಿಃ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು, ಇದು ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಬೆಳಕು ಬರುವ ಬದಿಯ ಕಡೆಗೆ ಸೂಚಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೆಳಕು ಇಲ್ಲದ ಬದಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಋಣಾತ್ಮಕದಿಂದ ಬದಲಿಸಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಈ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕವು ಬೆಳಕು ಬಂದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಬದಿಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ವಕ್ರೀಕೃತ ಕಿರಣದ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸೈನ್ಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿಃ ಮರುನಾಮಕರಣಗೊಂಡ ಸರಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವು ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಟ್ರಿಗ್ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರುಗಳು ಅಥವಾ ಕೋನ ಹೆಸರುಗಳ ಯಾವುದೇ ನೋಟವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದುಃ ಉದಾಹರಣೆಃ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಫ್ರೆಸ್ನೆಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಕಿರಣಗಳ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಟ್ಟು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಫಾರ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ರೇಡಿಕ್ಯಾಂಡಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆ ದಟ್ಟವಾದ ಮಾಧ್ಯಮಕ್ಕೆ () ದಾಟುವ ಕಿರಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಒಟ್ಟು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೋನ ಬೆಳಕು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಧ್ಯಮದಿಂದ ಕಡಿಮೆ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಧ್ಯಮಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ (ಘಟನೆಯ ಕೋನವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ) ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಬಯಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳಕು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಡಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಒಟ್ಟು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರತಿಫಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ವಕ್ರೀಕೃತ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಕ್ರೀಕೃತ ಕಿರಣವು ಎರಡು ಮಾಧ್ಯಮಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 50° ಆಪತನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ನೀರಿನಿಂದ ಗಾಳಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನೀರು ಮತ್ತು ಗಾಳಿಯ ವಕ್ರೀಕಾರಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸರಿಸುಮಾರು 1.333 ಮತ್ತು 1 ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮವು ನಮಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೋನ θcrit ಎಂಬುದು θ1 ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ θ2 90° ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಸರಣ ಅನೇಕ ತರಂಗ-ಪ್ರಸರಣ ಮಾಧ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ, ತರಂಗಗಳ ಆವರ್ತನ ಅಥವಾ ತರಂಗಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ತರಂಗ ವೇಗವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಿರ್ವಾತವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಾರದರ್ಶಕ ಪದಾರ್ಥಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾಧ್ಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಸ್ನೆಲ್ನ ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕೋನಗಳು ಆವರ್ತನ ಅಥವಾ ತರಂಗಾಂತರದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಬಿಳಿ ಬೆಳಕಿನಂತಹ ಮಿಶ್ರ ತರಂಗಾಂತರಗಳ ಕಿರಣವು ಹರಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಹರಡುತ್ತದೆ. ಗಾಜು ಅಥವಾ ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ಅಂತಹ ಪ್ರಸರಣವು ಮಳೆಬಿಲ್ಲುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ತರಂಗಾಂತರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಉಪಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸರಣವು ವರ್ಣ ಅಪಭ್ರಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ; ಬಣ್ಣ-ಅವಲಂಬಿತ ಮಸುಕಾಗುವಿಕೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್-ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ವರ್ಣರಹಿತ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮಸೂರಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ, ದೂರದರ್ಶಕಗಳನ್ನು ವಕ್ರೀಕರಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿತ್ತು. ಲಾಸಿ, ಅಬ್ಸಾರ್ಬಿಂಗ್, ಅಥವಾ ಕಂಡಕ್ಟಿಂಗ್ ಮೀಡಿಯಾಗಳು ವಾಹಕ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಮಿಟಿವಿಟಿ ಮತ್ತು ವಕ್ರೀಭವನದ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನ ಮತ್ತು ತರಂಗ-ವಾಹಕವೂ ಸಹ. ಇದು, ಸ್ಥಿರ ನೈಜ ಹಂತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಮತಲಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ನಾರ್ಮಲ್ಗಳು ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರೀಭವನದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರ ವೈಶಾಲ್ಯದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸಮತಲಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಕಾರಣ, ಅಲೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಕ್ರೀಭವನದ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರೀಭವನಗೊಂಡ ತರಂಗವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ. ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲಿ ಅವರ ಸರಳ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇಬ್ನ್ ಸಾಹ್ಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ನೆಲ್ನ ಲಾ ಡಿಸ್ಕವರಿ ಆಫ್ ದಿ ಲಾ ಆಫ್ ರಿಫ್ರಾಕ್ಷನ್ ಸ್ನೆಲ್ನ ಲಾ ಆಫ್ ರಿಫ್ರಾಕ್ಷನ್ (ವೇವ್ ಫ್ರಂಟ್ಸ್) ಟಾಡ್ ರೋಲ್ಯಾಂಡ್, ವೊಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಡೆಮಾನ್ಸ್ಟ್ರೇಷನ್ಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಸ್ನೆಲ್ನ ಲಾ ಡೌನ್ಟೌನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಗೋಡೆಯ ಮೇಲೆ ಲೈಡೆನ್ ಶೋರ್ ಲೈನ್ ಎಫೆಕ್ಟ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಾಮಸೂಚಕ ನಿಯಮಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನ