Young symmetrizer
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಂಗ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಜರ್ ಎಂಬುದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಮೂಲಕ ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪಡೆದ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ, ಆ ಅಂಶದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಚಿತ್ರಣವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಂಗ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಜರ್ಗೆ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಯಂಗ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು Sn ಮತ್ತು n ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋ λ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು Sn ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ g ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋ λ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಯಂಗ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಜರ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯಂಗ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಜರ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಯಂಗ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿಜರ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. (ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ.) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು V ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು (n ಬಾರಿ) ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ Sn ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಇದು ಸರಿಯಾದ ಘಟಕವಾಗಿದೆ). n ನ ವಿಭಾಗ λ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಫ್, ಮತ್ತು, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಯಂಗ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋ ಆಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದದನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಹೇಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ. ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಾಪ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಆ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇದೆ. ನಂತರ ಯಾವುದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಚಿತ್ರವು ಅಲ್ಲಿ μ ಎಂಬುದು λ ಗೆ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಇನ್ ನ ಚಿತ್ರವು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ Sn ನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಕೆಲವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಂಪಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, S3 ಮತ್ತು ವಿಭಾಗವನ್ನು (2,1) ಪರಿಗಣಿಸಿ. V ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ GL (V) ನ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಮಿತಿಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಲಿಯಂ ಫುಲ್ಟನ್. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯುವ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳು. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, 1997. ಬ್ರೂಸ್ ಇ. ಸಗಾನ್ ಅವರ 4ನೇ ಉಪನ್ಯಾಸ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್, 2001. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಮಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು