Nonelementary integral
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪೂರಕವಲ್ಲದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ (ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಆಗಿದೆ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲ (ಅಂದರೆ. ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಥಿರ, ಬೀಜಗಣಿತ, ಘಾತೀಯ, ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯ). 1835ರಲ್ಲಿ ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆಯವರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಪೂರಕವಲ್ಲದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು (ಕಷ್ಟದಿಂದ) ರಿಷ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರಕವಲ್ಲದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ (ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) (ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) (ದೋಷ ಕಾರ್ಯ, ಗೌಸಿಯನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಮತ್ತು (ಫ್ರೆಸ್ನೆಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) (ಸೈನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) (ಘಾತೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) (ಘಾತೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) (ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) (ಅಪೂರ್ಣ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ); ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗೆ ಘಾತೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು; ದೋಷ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ; ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ. ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಾನ್-ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದು, ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ನಾನ್-ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಆವರಣದಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪೂರಕವಲ್ಲದ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದರ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಹುಪದದಂತೆ ಪದದಿಂದ ಪದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖದೊಂದಿಗೆ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಂತೆ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಅದೇ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪದದಿಂದ ಪದಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್) ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಇಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳೂ ಇವೆ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಗೌಸಿಯನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಏಕೀಕರಣದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಲಿಯೋವಿಲಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪೂರಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ, ಎಸ್. ಓ. ಎಸ್. <ಐ. ಡಿ. 1>; 7 ಡಿಸೆಂಬರ್ 2012 ರಂದು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಲಿಯಮ್ಸ್, ಡಾನಾ ಪಿ., ನಾನೆಲೆಮೆಂಟರಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಸ್, 1 ಡಿಸೆಂಬರ್ 1993. ಜನವರಿ 24,2014 ರಂದು ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್