Heawood conjecture
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹೀವುಡ್ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ರಿಂಗೆಲ್-ಯಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,. ಕುಲಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 4,7,8,9,10,11,12,., ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಹೀವುಡ್ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು 1890ರಲ್ಲಿ ಪರ್ಸಿ ಜಾನ್ ಹೀವುಡ್ ಅವರು ರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1968ರಲ್ಲಿ ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ರಿಂಗೆಲ್ ಮತ್ತು ಟೆಡ್ ಯಂಗ್ಸ್ ಅವರು ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಒಂದು ಪ್ರಕರಣ, ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿಯೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು, ಇದನ್ನು 1976 ರಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಕೆನ್ ಮತ್ತು ಅಪ್ಪೆಲ್ ಅವರು ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಉನ್ನತ ಕುಲಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಊಹೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹೇವುಡ್ನ ಮೂಲ ಸಣ್ಣ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರಿಂಗೆಲ್, ಯಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರರು ಪ್ರತಿ ಕುಲದ ಜಿ = 1,2,3 ಗೆ ತೀವ್ರವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. g = 12s + k ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕುಲವು k = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ಪ್ರಕಾರ 12 ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, 12s + k ರೂಪದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ g ಗಳು ಮಾತ್ರ ಅನುಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಪ್ರಕರಣ k ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಹನ್ನೆರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಿದ ವರ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಅವರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಬಂದವುಃ 1954, ರಿಂಗೆಲ್ಃ ಪ್ರಕರಣ 5,1961, ರಿಂಗೆಲ್ಃ ಪ್ರಕರಣಗಳು 3,7,10 1963, ಟೆರ್ರಿ, ವೆಲ್ಚ್, ಯಂಗ್ಸ್ಃ ಪ್ರಕರಣಗಳು 0,4 1964, ಗಸ್ಟಿನ್, ಯಂಗ್ಸ್ಃ ಪ್ರಕರಣ 1 1965, ಗಸ್ಟಿನ್ಃ ಪ್ರಕರಣ 9 1966, ಯಂಗ್ಸ್ಃ ಪ್ರಕರಣ 6 1967, ರಿಂಗೆಲ್, ಯಂಗ್ಸ್ಃ ಪ್ರಕರಣಗಳು 2,8,11 ಕೊನೆಯ ಏಳು ವಿರಳವಾದ ವಿನಾಯಿತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಲಾಯಿತುಃ 1967, ಮೇಯರ್ಃ ಪ್ರಕರಣಗಳು 18,20,23 1968, ರಿಂಗೆಲ್, ಯಂಗ್ಸ್ಃ ಪ್ರಕರಣಗಳು 30,35,47,59, ಮತ್ತು ಊಹೆ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಔಪಚಾರಿಕ ಹೇಳಿಕೆ ಪರ್ಸಿ ಜಾನ್ ಹೀವುಡ್ 1890 ರಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಲದ ಜಿ> 0 ಗೆ, ಆ ಕುಲದ ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಲು ಸಮಾನವಾಗಿ) ನೆಲದ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕುಲವನ್ನು ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ನಾವು ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಮತ್ತು ನಾನ್-ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ರಿಂಗೆಲ್ ಮತ್ತು ಯಂಗ್ಸ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಈ ಸಂಬಂಧವು ಹೊಂದಿದೆ. ಫಿಲಿಪ್ ಫ್ರಾಂಕ್ಲಿನ್ (1930) ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಗೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಊಹಿಸಿದಂತೆ 7 ಬಣ್ಣಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ 6 ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ಮೇಲೆ ಫ್ರಾಂಕ್ಲಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಕದ ಆರು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಈ ಬಂಧವು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀವುಡ್ನ ಮೂಲ ಸಣ್ಣ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ದುರಾಸೆಯ ಬಣ್ಣದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಂಧಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಒಬ್ಬರು ಈ ಶೃಂಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನ ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ನೀಡಿದರೆ, ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳು ಅದನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಮತ್ತೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ಹೆಚ್ಚಿಸದೆ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಪುರಾವೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲೂ (ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಣ್ಣಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹಲವಾರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಟೋರಸ್ g = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ χ = 0 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರವು ಹೇಳುವಂತೆ, ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ಟೋರಸ್ನ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಏಳು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬಹುದು. ವಿವರಣೆಯು ಟೋರಸ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಏಳು ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿವೆ; ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಏಳರ ಮಿತಿಯು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪವಿಭಾಗದ ಗಡಿಯು ಟೋರಸ್ ಮೇಲೆ ಹೀವುಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹುದುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಕಲರಿಂಗ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಊಹೆಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು