Alternating group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಂಪು. ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಗುಂಪು ಎ ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ರೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಎಸ್. ಎನ್. ನ ಸಂವಹನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎನ್!/2 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪು ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇಳೆ ಮಾತ್ರ ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎ5 ಎಂಬುದು, 60ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸರಳ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಗುಂಪು. ಎ4 ಗುಂಪು ಕ್ಲೈನ್ ನಾಲ್ಕು-ಗುಂಪು ವಿ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ಗಳು, ಇದು ಎ4 ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ನಕ್ಷೆಯು, ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಕ್ಷೆಯು, ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ದ್ರಾವಕ ಘನವನ್ನು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೋಡೋವಿಕೋ ಫೆರಾರಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಂತೆ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ರಾಡಿಕಲ್ಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಗದ ವರ್ಗಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಆನ್ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಆನ್ನ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಒಂದೇ ಚಕ್ರದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಚಕ್ರದ ಆಕಾರವು ಒಂದೇ ಉದ್ದದ ಎರಡು ಚಕ್ರಗಳಿಲ್ಲದ ಬೆಸ ಉದ್ದದ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದ್ದದ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಚಕ್ರದ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ಈ ಚಕ್ರದ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು (123) ಮತ್ತು (132) ಒಂದೇ ಚಕ್ರದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಅವು A3ಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು S3ಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು (123) (4678) A8ನಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ (132) (48765) ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಎರಡು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಒಂದೇ ಚಕ್ರದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು S8ನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೋಡಿ. ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ. ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು n ≤3 ಗೆ, 3-ಚಕ್ರಗಳಿಂದ an ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 3-ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಜೋಡಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆನ್ ಸರಳ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಏಕೆಂದರೆ, ಆನನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು Sn ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು An ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು Z2 ಆಗಿದೆ; ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಿಂದ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ ಮತ್ತು 2, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿಗೆ Z2, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಆಂತರಿಕ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು Z2 ಆಗಿದೆ. ಎ6ನ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಕ್ಲೈನ್ ನಾಲ್ಕು-ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಇದು ಎಸ್6ನ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎ6ನಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯು 3-ಚಕ್ರಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ (123)) 32 (ರೀತಿಯ) ಆಕಾರದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಪ್ರಕಾರದ ಸಣ್ಣ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ಅಸಾಧಾರಣ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಎ4 ಪಿಎಸ್ಎಲ್2 (3) ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೈರಲ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು. ಪಿಎಸ್ಎಲ್2 (4), ಪಿಎಸ್ಎಲ್2 (5) ಮತ್ತು ಕೈರಲ್ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಎ5 ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. (ಕ್ರಮ 60ರ ಸರಳ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರೋಕ್ಷ ಸಮರೂಪತೆಗಾಗಿ ನೋಡಿ, ಮತ್ತು ನೇರ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ನೋಡಿ). ಪಿ. ಎಸ್. ಎಲ್. 2 (9) ಮತ್ತು ಪಿ. ಎಸ್. ಪಿ. 4 (2) ಗೆ ಎ6 ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎ8 ಪಿಎಸ್ಎಲ್4 (2) ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, A3 ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು Z3 ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು A0, A1, ಮತ್ತು A2 ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಇದು ಯಾವುದೇ q ಗೆ ಸಹ). ಉದಾಹರಣೆಗಳು S4 ಮತ್ತು A4 ಉದಾಹರಣೆ A5 3-ಜಾಗದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ A5 ಎಂಬುದು 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಶೃಂಗಗಳು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಆ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ತೋರಿಸುವ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮೂಲದಿಂದ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನದಿಂದ, ರೇಡಿಯನ್ಗಳಲ್ಲಿ. ಒಂದೇ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. A5 ಗೆ ಕಾಂಜುಗಸಿ ಕ್ಲಾಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಇರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ (ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ) ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಅದರ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, (2,2)-ಚಕ್ರಗಳ ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಹೊರಗಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಆಂಟಿಪೋಡಲ್ ಶೃಂಗಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಈ ಪುನರುಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ರೇಡಿಯನ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಉದ್ದದ ವಾಹಕದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ (2,2)-ಚಕ್ರಗಳ ವರ್ಗವು 15 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಐಕೋಸಿಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ 30 ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. A5 ನಲ್ಲಿನ ಹನ್ನೆರಡು 5-ಚಕ್ರಗಳ ಎರಡು ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 2/5 ಮತ್ತು 4/5 ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಎರಡು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಹೊರಗಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಈ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ 15 ಒಗಟು ಸ್ಲೈಡಿಂಗ್ ಒಗಟಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯಾದ 15 ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು A15 ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ 15 ಒಗಟಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು 3-ಚಕ್ರಗಳಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಚೌಕಾಕಾರದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜಾರುವ ಒಗಟುಗಳನ್ನು A2k−1 ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಎ4 ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪು ಜಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಭಾಜಕ ಡಿ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಡಿ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಜಿ ಯ ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲಃ 12ನೇ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪು, 6ನೇ ಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಅಂಶಗಳ (ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳ ಆವರ್ತಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ) ಉಪಗುಂಪು ಇಡೀ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಆನ್ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ (ಅಂದರೆ, ಸರಿಯಾದ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆನ್ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸರಳವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. A5 ಎಂಬುದು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಗುಂಪು. ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪು ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಸ್ಥಿರೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆಃ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ n ಗೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಅಸಾಧಾರಣ ಏಕರೂಪತೆಗಳಿವೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿರೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ವಿನಾಯಿತಿಗಳಿಲ್ಲದೆ (ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹೋಮೋಲಜಿ ಅಂಶಗಳು). H1: ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು (ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ವಿನಾಯಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಆನ್ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ H1 (ಆನ್, ಝಡ್) = n = 0,1,2; H1 (A3, Z) = A = A3 = Z3; H1 (A4, Z) = A = Z3; H1 (ಆನ್, Z) = n ≤5 ಗೆ Z1. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಒಂದು 3-ಚಕ್ರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ-ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ನಕ್ಷೆಗಳೆಂದರೆ, ಆರ್ಡರ್-3 ಅಂಶಗಳು ಆರ್ಡರ್-3 ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬೇಕು-ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ 3-ಚಕ್ರಗಳು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಗವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ (123) ನಂತಹ 3-ಚಕ್ರವು ಅದರ ವಿಲೋಮದ (321) ಅದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಆದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಗುರುತಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ನಂತರ 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಆನ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎ3 ಮತ್ತು ಎ4ಗಳಿಗೆ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, 3-ಚಕ್ರಗಳು ಎರಡು ಕಾಂಜುಗಸಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಎಲ್ಲವೂ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ) ಮತ್ತು ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಮತ್ತು. H2: ಷುರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳು ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪುಗಳ ಷುರ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೈಯರ್ಗಳು (n ಕನಿಷ್ಠ 5 ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ, n 6 ಅಥವಾ 7 ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಟ್ರಿಪಲ್ ಕವರ್ ಕೂಡ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಷುರ್ ಗುಣಕವು 6ನೇ ಕ್ರಮದ (ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು) ಆಗಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಯಿತು. n = 1,2,3 ಗೆ H2 (an, Z) = Z1; n = 4,5 ಗೆ H2 (an, Z) = Z2; n = 6,7 ಗೆ H2 (an, Z) = Z6; n ≤ 8 ಗೆ H2 (an, Z) = Z2. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪುಗಳು