Complex vector bundle
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಾರುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ನಿರ್ಬಂಧದ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ E ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಬಡ್ತಿ ನೀಡಬಹುದು, ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ನಾರುಗಳು ಎಕ್ಸ್ ಆರ್ ಸಿ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ಯಾರಾಕೊಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ನ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದರ ಯೂಲರ್ ವರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. X ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷುಲ್ಲಕತೆಗಳು ಬಯೋಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯಾದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯು ನೈಜ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ E ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವಿನ ಬಂಡಲ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ J ಫೈಬರ್ಗಳ ಮೇಲೆ −1 ರ ವರ್ಗಮೂಲ i ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆಃ ಫೈಬರ್-ಮಟ್ಟದ ನಕ್ಷೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ. ಇ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯಾದ ಜೆ ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯಾದ ಜೆ ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು ಫೈಬರ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ನೈಜ ವಾಹಕ v, ಉದಾಹರಣೆಃ ನೈಜ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಲ್ಯಾಂಡರ್ ಮತ್ತು ನಿರೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು, Jಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟೆನ್ಸರ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ರಚನೆಯಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯಾದ Jಅನ್ನು "ಸಮಗ್ರಗೊಳಿಸಬಹುದು" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗಗಳ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವ ಮೂಲಕ ಇ ಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನೈಜ ಸದಿಶ ಕಟ್ಟುಗಳ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯುಃ ಸಂಯುಗ್ಮ-ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಯುಗ್ಮವು ನೈಜ ಸದಿಶ ಕಟ್ಟುಗಳಾಗಿ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕೆ-ಥ್ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇ ಒಂದು ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಬಂಡಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲಕ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಾಗಿ ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ. ಇ ಒಂದು ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇ ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಇ ನ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆಃ (ಯಾವುದೇ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿ ಗೆ ವಿ ಆರ್ ಸಿ = ವಿ ಐವಿ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ) ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಇ ನೈಜ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಇ ಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇ ಅನ್ನು ಇ ಯ ನೈಜ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನೈಜ ರೂಪಗಳಿರಬಹುದು) ಮತ್ತು ಇ ಅನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇ ಒಂದು ನೈಜ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇ ಅದರ ಸಂಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆರಡೂ ನೈಜ ರೂಪದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ), ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಇ ಯ ಬೆಸ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗಗಳು 2ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಕೆ-ಥಿಯರಿ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.