Complete set of commuting observables
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಸೆಟ್ ಆಫ್ ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್ ಅಬ್ಸರ್ವಬಲ್ಸ್ (ಸಿಎಸ್ಸಿಒ) ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ವಾಹಕರ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಸಿ. ಎಸ್. ಸಿ. ಓ. ಎಂದರೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಿಸುವ ಸಂಚಾರ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಕಮ್ಯುಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಒಂದು ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಮಾಪನವು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿವಿಧ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಮಾಪನವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಪನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ವಾಹಕದ ಮೇಲೆ ಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ) ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವಾಹಕವಾಗುವವರೆಗೆ, ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಳತೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಎರಡು ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು, ನಿರ್ವಾಹಕರು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಗನ್ಬೇಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮತ್ತು ಪ್ರಯಾಣ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಡಿಸ್ಕಷನ್ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಎರಡನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದಾದವು ಮತ್ತು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಟ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಐಗೆನ್ಕೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಒಂದು ವೇಳೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೇಳಿ, ನಂತರ ಎರಡನ್ನೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪೊಸಿಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಘಟಕಗಳು, ಮತ್ತು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮೊಮೆಂಟಂ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಘಟಕಗಳು, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಸಹ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಚರಿಸಿದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಿ. ಎಸ್. ಸಿ. ಓ. ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸಿಎಸ್ಸಿಒನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು (ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ) ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮಗೆ ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ನೀಡಿದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಾವು ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು (ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ) ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಚರ್ಚೆಯು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಇದೆ, ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಆಯಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತಹ ವೀಕ್ಷಣೆಯು ಸ್ವತಃ ಸ್ವಾವಲಂಬಿಯಾದ ಸಿ. ಎಸ್. ಸಿ. ಓ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು), ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ (ನಾವು ಅದನ್ನು ಕರೆಯೋಣ), ಇದು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತು ನ ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯು ಈ ಆಧಾರದ ಸ್ಥಿತಿ ವಾಹಕವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಿ. ಎಸ್. ಸಿ. ಓ.: ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿರುವುದಾಗಿ ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಒಳಗಿನ ಕ್ಷೀಣತೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವನತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗದಷ್ಟು ಇದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಒಂದು ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಂದು ಗಮನಿಸಬಹುದಾದದನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಆಧಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಿ. ಎಸ್. ಸಿ. ಓ. ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಚಾರ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ನಮಗೆ ಸೀಮಿತ ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಐಗೆನ್ಕೆಟ್ಗಳು ಇವೆ, ಮತ್ತು ಬೇಸಿಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಿದರೆ, ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯಾಣ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿಗೆ, ನಾವು ಏಕಾತ್ಮಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅವರೆಲ್ಲರನ್ನೂ ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ ಅಥವಾ ಪ್ರೋಟಾನ್ ಸ್ಪಿನ್ ಇಲ್ಲದ ಹೈಡ್ರೋಜನ್ ಪರಮಾಣು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಎರಡು ಘಟಕಗಳು ಸಂವಹನವನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಆಪರೇಟರ್ನ ಚೌಕವು, ನೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಡಿಮೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಘಟಕಗಳು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮೂಹವು ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು (ಇದು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಸೆಟ್ ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹೈಡ್ರೋಜನಿಕ್ ಪರಮಾಣುವಿನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿ ಇರಲಿ. ನಂತರ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ, ಹೈಡ್ರೋಜೆನಿಕ್ ಪರಮಾಣುವಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಕಣ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಕಣಕ್ಕೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನುವಾದಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅನುವಾದವು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಭಾಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಅನುವಾದ ನಿರ್ವಾಹಕನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ಅದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಪ್ಯಾರಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಆಪರೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಿ. ಎಸ್. ಸಿ. ಓ. ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಐಗನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ. ಮೊಮೆಂಟಂ ಆಪರೇಟರ್ ಮೂಲಕ ಅವನತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಮೊಮೆಂಟಾದ ಸೇರ್ಪಡೆ ನಾವು 1 ಮತ್ತು 2 ಎಂಬ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಆಯಾ ಕೋನೀಯ ಮೊಮೆಂಟಂ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ನಿರ್ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ವಾಹಕರ ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಧಾರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಆಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಹ ನೋಡಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಗಣಿತೀಯ ರಚನೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕಮ್ಯುಟೇಶನ್ ಸಂಬಂಧ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗ (ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕುಸಿತ. ಆರ್. ಪಿ. ಫೇನ್ಮನ್, ಆರ್. ಬಿ. ಲೈಟನ್ ಮತ್ತು ಎಮ್. ಸ್ಯಾಂಡ್ಸ್ಃ ದಿ ಫೇನ್ಮನ್ ಲೆಕ್ಚರ್ಸ್ ಆನ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್, ಅಡಿಸನ್-ವೆಸ್ಲಿ, 1965 ಆರ್. ಶಂಕರ್, ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ (1994). ಜೆ. ಜೆ. ಸಕುರಾಯ್, ಮಾಡರ್ನ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, ರಿವೈಸ್ಡ್ ಎಡಿಷನ್, ಪಿಯರ್ಸನ್ (1994). ಬಿ. ಎಚ್. ಬ್ರಾನ್ಸ್ಡೆನ್ ಮತ್ತು ಸಿ. ಜೆ. ಜೋಚೈನ್, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಪಿಯರ್ಸನ್ ಎಜುಕೇಶನ್ ಲಿಮಿಟೆಡ್, 2000. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ, ದಿ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಎಡಿನ್ಬರ್ಗ್ನ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. http://www2.ph.ed.ac.uk ~ ldeldebb/docs/QM/lect2. pdf. ಮುಂಬೈನ ಟಾಟಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ನ ಪ್ರೊ. ಎಸ್. ಗುಪ್ತಾ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಎಸ್ಸಿಒ ಕುರಿತ ಒಂದು ಸ್ಲೈಡ್. ಮುಂಬೈನ ಟಾಟಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ನ ಪ್ರೊ. ಎಸ್. ಗುಪ್ತಾ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಕಣಗಳ ಕುರಿತು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು http://theory.tifr.res.in ~ ಗುಪ್ತ/ಕೋರ್ಸ್ಗಳು/ಕ್ಯೂಎಂ2013/ಹ್ಯಾಂಡ್3. ಪಿಡಿಎಫ್ ಎ. http://theory.tifr.res.in ~ ಗುಪ್ತ/ಕೋರ್ಸ್ಗಳು/ಕ್ಯೂಎಂ2013/ಹ್ಯಾಂಡ್6. ಪಿಡಿಎಫ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್