Lp space
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ-ನಾರ್ಮ್ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೆನ್ರಿ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಬೌರ್ಬಕಿ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕಾರ ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಫ್ರಿಗಿಸ್ ರೀಸ್ಜ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗವನ್ನು ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸ್ಥಳಗಳ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರದಿಂದಾಗಿ, ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಹಣಕಾಸು, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಂತಹ ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಮಾಪನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ದಂಡನೆಗೊಳಗಾದ ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ, "ಎಲ್1 ದಂಡ" ಮತ್ತು "ಎಲ್2 ದಂಡ" ಎಂದರೆ ಪರಿಹಾರದ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಾಹಕದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ದಂಡಿಸುವುದು (ಅಂದರೆ. ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ), ಅಥವಾ ಅದರ ಮಾನದಂಡ (ಅದರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಉದ್ದ). ಎಲ್1 ಪೆನಾಲ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ತಂತ್ರಗಳು, ಎಲ್. ಎ. ಎಸ್. ಒ. ನಂತಹವು, ಅನೇಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸುತ್ತವೆ. ರಿಡ್ಜ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ನಂತಹ ಎಲ್2 ಪೆನಾಲ್ಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ತಂತ್ರಗಳು, ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ನಿವ್ವಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಪೆನಾಲ್ಟಿ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿಯತಾಂಕ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್-ಯಂಗ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ, ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೋಡಿ), ಇದು ರೈಸ್ಜ್-ಥೋರಿನ್ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್-ಯಂಗ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದವರೆಗೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಅಂದರೆ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಗರಿಷ್ಠ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಉಪವಿಭಾಗ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ (ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ), ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ದಿ-ನಾರ್ಮ್ ಪ್ರಕಾರದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ದೂರವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗ್ರಿಡ್ ಸ್ಟ್ರೀಟ್ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿ ಚಾಲಕರು ಇದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಗಮ್ಯಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯಬಾರದು, ಆದರೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಂತರದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಅಳೆಯಬೇಕು, ಇದು ಬೀದಿಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಾನದಂಡಗಳ ವರ್ಗವು ಈ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅನೇಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಹೇರಳವಾದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ-ನಾರ್ಮಲ್ ಅಥವಾ-ನಾರ್ಮಲ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಕಡಿಮೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಥವಾ ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಪಡೆದಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಕೈಬಿಡಬಹುದು. ಮೇಲಿನಿಂದ ಬರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡವು ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು-ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು-ಮಾನದಂಡವು ಆಯತಾಕಾರದ ದೂರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. - ಮಾನದಂಡ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಮಾನದಂಡವು (ಅಥವಾ ಏಕರೂಪದ ಮಾನದಂಡ)-ಮಾನದಂಡಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಇದು ಈ ಮಿತಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆಃ ನೋಡಿ-ಅನಂತ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ-ಮಾನದಂಡಗಳು ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮಾನದಂಡಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ "ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ" (ಅಥವಾ ಮಾನದಂಡ) ದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕವು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ವಾಹಕದ ಉದ್ದವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ (ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕರೂಪತೆ) ಗುಣಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉದ್ದವು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ (ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆ) ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದರರ್ಥ-ನಾರ್ಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸ್ಥಳವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಗ್ರಿಡ್ ಅಂತರ ಅಥವಾ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಂತರವು (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು "ಮ್ಯಾನ್ಹ್ಯಾಟನ್ ಅಂತರ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಥವಾ "ಕಾಗೆ ಹಾರುತ್ತಿರುವಂತೆ") ಎಂದಿಗೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡವು ಅದರ 1-ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆಃ ಈ ಸಂಗತಿಯು-ಮಾನದಂಡಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕದ-ಮಾನದಂಡವು ಬೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲಃ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ,-ಮಾನದಂಡ ಮತ್ತು-ಮಾನದಂಡದ ನಡುವಿನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ತಿಳಿದಿದೆಃ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಾಹಕದ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೋಲ್ಡರ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಉಪಘಟಕವಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸೂತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಸಬ್ಅಡಿಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಫ್-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಡಿಗ್ರಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಲ್ಲಿ ಮೂಲದ ಸುತ್ತ-ಘಟಕದ ಚೆಂಡು "ಕಾನ್ಕೇವ್" ಆಗಿದ್ದರೂ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮೀರಿ, ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ-ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ಚಿಕ್ಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದು. ಒಂದು ಮಾನದಂಡ ಮತ್ತು "ಮಾನದಂಡ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಿದ್ದಾಗ (ಉದ್ಧರಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ). ಮಾನದಂಡದ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬನಾಚ್ ಅವರ ಲೀನಿಯರ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಥಳವು ಎಫ್-ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಟೀಫನ್ ರೋಲ್ವಿಕ್ಜ್ ಅವರು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಲೀನಿಯರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಡೇವಿಡ್ ಡೊನೊಹೋ ಅವರು "ನಾರ್ಮ್" ಎಂದು ಕರೆದರು-ಅವರ ಉದ್ಧರಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸರಿಯಾದ ಮಾನದಂಡವಲ್ಲ ಎಂದು ಎಚ್ಚರಿಸುತ್ತವೆ-ವೆಕ್ಟರ್ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಉದ್ಧರಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ದುರುಪಯೋಗಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಶೂನ್ಯದ "ಮಾನದಂಡ" ವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇದು ಮಾನದಂಡವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಏಕರೂಪವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ವಾಹಕವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ "ರೂಢಿ" ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಈ ದೋಷಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎಣಿಕೆಯ "ಮಾನದಂಡ" ವು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಗಣನೆ, ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಕೇತ ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕುಚಿತ ಸಂವೇದನೆಯಲ್ಲಿ. ಮಾನದಂಡವಾಗಿರದಿದ್ದರೂ, ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾನ್ಯವಾದ ದೂರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ದೂರಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪತೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ-ನಾರ್ಮಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಸ್ಪೇಸ್-ನಾರ್ಮಲ್ ಅನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು (ಅನುಕ್ರಮಗಳು) ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಇದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಸರಣಿಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಥಳ, ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಸಮ್ಮಬಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಥಳ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಮತ್ತು ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಥಳ. ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಥಳವು ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಾಹಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ನೈಜ (ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿಃ ಇಲ್ಲಿ, ಒಂದು ತೊಡಕು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೇವಲ ಒಂದರಿಂದ ಕೂಡಿದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆ, ಸೆಟ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರಲ್ಲಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಸರಣಿಯು (ಸ್ವರಮೇಳದ ಸರಣಿ) ಬೇರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಅದು ಅದರಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದು, ಸರ್ವೋಚ್ಛಃ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗವು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದಿ-ನಾರ್ಮ್ನ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳವಿದೆ. ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ-ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿದಂತೆ-ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅಥವಾ ಗಣನೀಯವಾಗಿ-ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಆದರೆ "ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ"; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಯಗಳು. - ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಮೊತ್ತದ ಬದಲಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಲ್ಪಿ-ಸ್ಪೇಸ್ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾದೃಶ್ಯದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಂಪಿನ (ಮತ್ತು) ಮೇಲೆ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದರೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಮೊತ್ತಗಳು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು (ಬೇಷರತ್ತಾದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ). ರೂಢಿಯಂತೆ ಜಾಗವು ಬನಾಚ್ ಜಾಗವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ರಚನೆಯು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ-ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಇದು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ಥಳಗಳ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನೇರ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. - ನಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸಹ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಧ್ರುವೀಕರಣದ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾನದಂಡದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಳತೆಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಈಗ ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ σ-ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಅಳತೆಯ ಜಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಜಾಗವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ-ಜಾಗದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ). ಒಂದು ಜಾಗವನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ-th ಶಕ್ತಿಯು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಪ್ಪುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಳತೆಯ ಜಾಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ನಿಜ (ಅಂದರೆ,), ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅಥವಾ-th ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿಃ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಗಣವು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು (ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ) ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ). ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ (ಕೆಲವು ನೈಜದಿಂದ) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಮಿತಿಗಳ ಅನಂತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯಾವಾಗ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಸರ್ವೋನ್ನತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ,-ರೂಢಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು (ಇಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗ) ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುರುತನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಟಿಪ್ಪಣಿ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಸೀಮಿತವಾದಾಗ ಸೂತ್ರವು-ಮಾನದಂಡವನ್ನು-ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಫ್-th ಪವರ್ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಿಂದುವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡು-ನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ-ನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆ, ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ ಮತ್ತು-th ಪವರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು (ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ). - ಸೆಮಿನೋರ್ಮ್ಗಳ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಎ. ಇ. ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಐಎಫ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಆಗ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಕರಣ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಮಾತ್ರ. ಬಲಭಾಗದಿಂದ (ಅಂದರೆ) ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಇದು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ). ಈ ಸೆಟ್ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೆಮಿನೋರ್ಮ್ನಂತೆ, ಸೆಮಿನೋರ್ಮ್ ತನ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು (ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಕೊಸೆಟ್ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕೋಸೆಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಕೋಸೆಟ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ,) ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದಃ ಈ ನಿಯೋಜನೆಯು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ವೋಶೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಸೆಟ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಕೊಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಕೊಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ (ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ). ಲೆಬೆಸ್ಗು ಸ್ಪೇಸ್ ನಾರ್ಮಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು-th ಪವರ್ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ Lp ಯ [[ರೈಸ್ಜ್-ಫಿಶರ್ theorem#Completeness, 0 <p ≤ φ |Riesz-ಫಿಶರ್ ಪ್ರಮೇಯ]] ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಳತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಾಗ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಲೇಖಕರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಸಂಕೇತವು ಎರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಂದುವೇಳೆ ಸೆಮಿನಾರ್ಮ್ ಒಂದು ಮಾನದಂಡವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ) ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಜಾಗವು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಂಶ ಜಾಗಕ್ಕೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ); ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವು ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗೆ, ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವೆರಡನ್ನೂ "ಸ್ಪೇಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಬೋಚ್ನರ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಶದ "ಅಂಗೀಕೃತ" ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳಗಳಂತೆಯೇ, ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಏಕೈಕ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಯು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ, ಉತ್ಕೃಷ್ಟವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಇಂಟೆಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕಲಿ ಇಂಟೆಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಅಥವಾ ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಸಮ್ಮಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಇತರ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಇಂಟೆಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೀಮನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್. ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಸ್ಥಳವು ಬಿಂದುವಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಕ C *-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಿಗ್ಮಾ-ಫೈನೈಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನೇಕ ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಂವಹನ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅಂಶವು ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಾಗವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಜಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಜಾಗದಲ್ಲಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಇರುವ ಜಾಗವು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಅದರ-ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜಾಗವೂ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ Lp ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಿಲ್ಬರ್ಟಿಯನ್ ಆಧಾರದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೊಂಡರ್ನ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು (ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಪರಮಮ್ ಅನ್ನು ಆಗಿನ ಮುಚ್ಚಿದ ಏಕಮಾನದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಮಾಣು ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಬೆಂಬಲಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು (ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಯ ಬೆಂಬಲಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಮಾಣು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು (ಈ ಅನಂತವನ್ನು ಅದು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ, ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಪೂರಕ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದುರ್ಬಲ-ಮಾನದಂಡದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ (ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ಸಹ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ವಂದ್ವ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕೀಕರಣವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು (ಫಾರ್) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ). ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಹೋಲ್ಡರ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಹೋಲ್ಡರ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿಪರೀತ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ, ನೋಡಿ): ಅಂದರೆ, ಅದು ಆನ್ಟೋ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಆನ್ ಟು ಮತ್ತು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ (ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್) ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಅದು ನಿರಂತರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ ಇರಲಿ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಆಗಿರಲಿ. ವಿಲೋಮದ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ (ಅಥವಾ ಪಕ್ಕದ) ನೊಂದಿಗೆ ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಅದರ ದ್ವಿಗುಣದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಕ್ಷೆಯು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಎರಡರ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಳತೆಯು ಸಿಗ್ಮಾ-ಫೈನೈಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಕ್ಷೆಯು ಮೇಲಿನಿಂದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಸೀ ಬಾ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಹಿ ಮಾಡಿದ ಸೀಮಿತ ಸಂಯೋಜಕ ಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಕೆಲವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಈ ಸ್ಥಳವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜೆರ್ಮೆಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (ZF + DC + "ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವು ಬೈರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ") ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸಹರೋನ್ ಶೆಲಾ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವವು ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಏಕವಚನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಹರಡಬಹುದು. ಅರ್ಧ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಸ್ಫೋಟಗೊಳ್ಳಬಹುದು ಆದರೆ ಅನಂತತೆಯ ಕಡೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಕ್ಷೀಣಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕ್ಷೀಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಫೋಟವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಖರವಾದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ನಂತರಃ ಸೀಮಿತ ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆ). ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆ). ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿದೆ. (ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ಗ್ರಾಫ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡೊಮೇನ್ ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಹೋಲ್ಡರ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಮೇಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಗುರುತಿನ ನಿರ್ವಾಹಕ ಮಾನದಂಡವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ-ಎಲ್ಲೆಡೆ-ಸಾಧಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ. ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಈ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಾವು ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ರಚನೆಯ ಮೂಲಕ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೋರೆಲ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಅಂದರೆ, ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಚಿಕ್ಕ-ಬೀಜಗಣಿತ. ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಆವರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನಂತರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಸ್ಟೆಪ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಜಾಗವು ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಅಂತರಗಳ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹಂತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುವಾದಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಸ್ಥಾನಗಳು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ), ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉಪಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ (ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದರೆ) ಇಫ್ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಕಾರಣವಾದ ಈ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರುವುದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಮುಚ್ಚಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಅದು ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗವೂ ಆಗಿದೆ), ಅಲ್ಲಿ ಯೂನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದರೆಃ ಇದು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿದ್ದು, ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ನಾವು-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ; ಈ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡುಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿದಾಗ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಪರಿಚಿತ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಧನಾತ್ಮಕ ರಿಯಾಲ್ಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಚೆಂಡುಗಳು ಎಲ್ಲಾ ರಿಯಲ್ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೂಲದ ಸುತ್ತುವರಿದ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳದಂತೆಯೇ, ರೂಢಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿಯ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕ್ಲಾರ್ಕ್ಸನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇವುಗಳಿಗಾಗಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಏಕರೂಪದ ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಗವು ಎಫ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆಃ ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುವಾದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಫ್-ಜಾಗದ ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಂಜಸವಾದ ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲಃ ಇನ್ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತೆರೆದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್-ಕ್ವಾಸಿ-ನಾರ್ಮ್ಗೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ; ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಳತೆಯ ಜಾಗವು ಸೀಮಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಇದು ನಿಜ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗವು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳಿಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ದ್ವಿಗುಣ ಜಾಗವು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ), ಅದರ ಮೇಲಿನ ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದವುಗಳು. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಾಡುವ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಬದಲು, ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನೂ ವಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ) ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ ಯಾವಾಗ (ಅಂದರೆ,), ಈ ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಣೆಯು ಸೀಮಿತವಾದಾಗ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಳತೆ ಇದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿನ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ನಿಮ್ನ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂತಹ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಲೆವಿ-ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಜಾಗವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ (ಇದು ಮತ್ತೆ ಎಫ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ). ಜಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಜಾಗವು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ-ಸಮಗ್ರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲವಾದ ಕಾರಣ-ಮಾನದಂಡವು ನಿಜವಾದ ಮಾನದಂಡವಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಸ್ಥಳಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ-ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು. ಮಾರ್ಸಿನ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಪ್ರಮೇಯವು-ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ವಿಶಾಲವಾದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ತೂಕದ ಸ್ಥಳಗಳು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಳತೆ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು-ತೂಕದ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮಾನದಂಡವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ-ಸ್ಥಳಗಳಂತೆಯೇ, ತೂಕದ ಸ್ಥಳಗಳು ವಿಶೇಷ ಏನನ್ನೂ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಅವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಾಗಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅವು ಮುಕೆನ್ಹೌಪ್ಟ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆಃ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; (ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಹಾರ್ಡಿ-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮಕೆನ್ಹೌಪ್ಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉಳಿಯುವಂತಹ ತೂಕಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಸ್ಥಳಗಳು ಅಳತೆಯ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (ಇಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ), ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಬೋಚ್ನರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಪೆಟಿಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಟಿವಿಎಸ್-ಟೋಪೋಲಜಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡುವುದು (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಅಂಶದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸರಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಈ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಂತರ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಅವರು ಪರಮಾಣು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಯಾವಾಗ (ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ), ನಂತರ ಈ ಎರಡು ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಬೋಚ್ನರ್ ಮತ್ತು ಪೆಟಿಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಟಿವಿಎಸ್-ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು; ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದವು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಲ್ಪಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಗಣಿತದ ಸರಣಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನಾರ್ಮ್ಡ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಲ್ಪಿ ಸ್ಥಳಗಳು