Hackenbush
ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಎಂಬುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರ ಆಟವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬಣ್ಣದ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಮತ್ತು "ಗ್ರೌಂಡ್" ಲೈನ್ಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಆಟವು ಆಟಗಾರರು "ಗ್ರೌಂಡ್" ರೇಖೆಯನ್ನು (ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಕಾಗದದ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಇತರ ಆಟದ ಪ್ರದೇಶ) ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗವು ನೇರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ, ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳ ಸರಪಳಿಯ ಮೂಲಕ ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಗಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೆಲಕ್ಕೆ ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿರಬಹುದು. ತಮ್ಮ ಸರತಿಯಲ್ಲಿ, ಆಟಗಾರನು ತಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು "ಕತ್ತರಿಸುತ್ತಾನೆ" (ಅಳಿಸುತ್ತಾನೆ). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆಯ ಭಾಗವು ಯಾವುದೇ "ಫಾಲ್ಸ್" ಮಾರ್ಗದಿಂದ ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಅಳಿಸಿಹೋಗುತ್ತದೆ). ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಟದ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಸೋಲುತ್ತಾನೆ. ಹ್ಯಾಕನ್ ಬುಷ್ ಬೋರ್ಡ್ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ("ಸೀಮಿತ ಬೋರ್ಡ್" ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ("ಅನಂತ ಬೋರ್ಡ್" ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಲೈನ್ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸೀಮಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆಟವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಊಹೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ನೇರವಾಗಿ ನೆಲವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ಫಲಕದಲ್ಲಿ, ಫಲಕದ ವಿನ್ಯಾಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನೆಲವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅಂಕಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಆಟವು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರಗಳು ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ನ ಮೂಲ ಜಾನಪದ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಚನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಅವಕಾಶವಿದೆಃ ಇದು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಆಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರುಂಡಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಷ್ನ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪಕ್ಷಪಾತದ ಆಟಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಆಯ್ಕೆಗಳು (ಚಲನೆಗಳು) ಅದೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಚಲಿಸುವ ಅವರ ಸರದಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇತರ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೂಲ ಹ್ಯಾಕನ್ ಬುಷ್ಃ ಎಲ್ಲಾ ಲೈನ್ ವಿಭಾಗಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿಫಲಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಆಟಗಾರನು ಫಲಕದ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ರಚನೆ) ನೀಲಿ-ಕೆಂಪು ಹಾಕೆನ್ ಬುಷ್ಃ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗವು ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲ, ಅಥವಾ ಎಡ, ಆಟಗಾರ) ನೀಲಿ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಅವಕಾಶವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಆಟಗಾರನಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡನೇ, ಅಥವಾ ಬಲ, ಆಟಗಾರ) ಕೆಂಪು ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಅವಕಾಶವಿರುತ್ತದೆ. ನೀಲಿ-ಕೆಂಪು-ಹಸಿರು ಹಾಕೆನ್ ಬುಷ್ಃ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗವು ಕೆಂಪು, ನೀಲಿ ಅಥವಾ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳು ಬ್ಲೂ-ರೆಡ್ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಷ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಎರಡೂ ಆಟಗಾರರಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೂ ಗ್ರೀನ್ ಲೈನ್ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ಲೂ-ರೆಡ್ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಕೇವಲ ಬ್ಲೂ-ರೆಡ್-ಗ್ರೀನ್ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಷ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಬ್ಲೂ-ರೆಡ್ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಎಂಬುದು ಕೋಲ್ಡ್ ಗೇಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ಇಡುವುದು ಎಂದಿಗೂ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ಅನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕೆಲವು ಸಂಸ್ಥಾಪಕರು ಆನ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಗೇಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಿನ್ನಿಂಗ್ ವೇಸ್ ಫಾರ್ ಯುವರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಪ್ಲೇಸ್ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಳಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀಲಿ-ಕೆಂಪು ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಅನ್ನು ಅತಿವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಸೀಮಿತವಾದ ನೀಲಿ-ಕೆಂಪು ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಫಲಕಗಳು ಡೈಡಿಕ್ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅನಂತವಾದ ನೀಲಿ-ಕೆಂಪು ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಫಲಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಬ್ಲೂ-ರೆಡ್-ಗ್ರೀನ್ ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಟಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಟಾರ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ನಿಂಬರ್ಗಳು. ಫಲಕವನ್ನು ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೆಲದ ಮೇಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೂ ಹಾದಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಟದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು (ಇದನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೃಂಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು-ಗ್ರಾಫ್ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಯ ಬದಲು ಎಲ್ಲಾ ನೆಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವುದು ಯಾವುದೇ ಹಾನಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ). ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಷ್ನ ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ (ಆಟಗಾರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಣ್ಣಗಳಿಲ್ಲದ), ಆಟವನ್ನು ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ ರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದುಃ ಲಂಬ, ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ. ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ಗಳ ಲಂಬವಾದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಆಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಬಿದಿರಿನ ಕಾಂಡಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಟವು ನೇರವಾಗಿ ನಿಮ್ ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗಗಳು, ಅಥವಾ ಮರಗಳು, ಆಟಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸುಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶಾಖೆಗಳು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಗ್ಗೂಡಿದಾಗ, ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಿಮ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದದ ಕವಲೊಡೆಯದ ಕಾಂಡದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುವ ಕೊಲೊನ್ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ತತ್ವವು ಆಟದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಿದಿರಿನ ಕಾಂಡಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಡಬಹುದಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕೊನೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾದವುಗಳಾಗಿವೆ, ಇದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಬೇರೂರಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿಳನ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬೆಸೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಒಮ್ಮುಖ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾದ ಬಿದಿರಿನ ಕಾಂಡದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಆಟಕ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಆಟದ ನಿಮ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಆ ಮೂಲಕ ಆಟವು ನಿಮ್ನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಕೊಲೊನ್ ತತ್ವದ ಪುರಾವೆ ಒಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಶಾಖೆಗಳು ಒಗ್ಗೂಡಿದಾಗ, ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಿಮ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲದ ಕಾಂಡದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕೊಲೊನ್ ತತ್ವವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗ್ರಾಫ್, ಜಿ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಜಿ ಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶೃಂಗ, x ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಎಚ್1 ಮತ್ತು ಎಚ್2 ಒಂದೇ ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರಂಡಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮರಗಳು (ಅಥವಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು) ಆಗಿರಲಿ. G1 = Gx: H1 ಮತ್ತು G2 = Gx: H2 ಎಂಬ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ Gx: Hi ಎಂಬುದು G ಗ್ರಾಫ್ನ ಶೃಂಗ x ಗೆ ಮರವನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. G1 ಮತ್ತು G2 ಎಂಬ ಎರಡು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಒಂದೇ ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರಂಡಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಕೊಲೊನ್ ತತ್ವವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆಟಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಜಿ1 ಮತ್ತು ಜಿ2 ಒಂದೇ ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರಂಡಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎರಡು ಆಟಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರಂಡಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 0 ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, G1 + G2 ಮೊತ್ತವು P-ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು ಜಿ1 + ಜಿ2ನಲ್ಲಿ ಆಡಿದ ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನಾಗಿದ್ದರೆ ಆತ ಗೆಲ್ಲುವುದು ಖಚಿತ. ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಒಂದು ಆಟದಲ್ಲಿ ಜಿ ಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ಇನ್ನೊಂದು ಆಟದಲ್ಲಿ ಜಿ ಯಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಅಂಚನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತಾನೆ. (ಅಂತಹ ಜೋಡಿ ಚಲನೆಗಳು ಆಟಗಳಿಂದ H1 ಮತ್ತು H2 ಅನ್ನು ಅಳಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ H1 ಮತ್ತು H2 ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ.) ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು H1 ಅಥವಾ H2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ H1 ಮತ್ತು H2 ನ ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರಂಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದರಿಂದಾಗಿ H1 ಅಥವಾ H2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಲನೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಸ್ಪ್ರಾಗ್-ಗ್ರಂಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಇಡುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಅವನು ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಡೆಗೂ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ. ಇದರರ್ಥ ನೀವು ಕೊನೆಯ ಹೆಜ್ಜೆ ಇಡುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಗೆಲ್ಲುತ್ತೀರಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜಾನ್ ಎಚ್. ಕಾನ್ವೇ, ಆನ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಗೇಮ್ಸ್, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಎ. ಕೆ. ಪೀಟರ್ಸ್, 2000. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹ್ಯಾಕೆನ್ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಸ್, ಮತ್ತು 0.999. ವರ್ಸಸ್ 1 ಹ್ಯಾಕೆನ್ಬುಶ್ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಮತ್ತು ಪೇಪರ್ ಆಟಗಳು ಗಣಿತದ ಆಟಗಳು ಅಮೂರ್ತ ತಂತ್ರದ ಆಟಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪೇಪರ್-ಮತ್ತು-ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಆಟಗಳು ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ