Weierstrass factorization theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಅನಂತ) ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅಪವರ್ತನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಒಂದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಲ್ ವೈರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ನಿಂದ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು, ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಖರವಾಗಿ ಆ ಅನುಕ್ರಮದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಎರಡನೇ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಅದನ್ನು ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯ. ಪ್ರೇರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಂಬಂಧಿತ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಶೂನ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ರೂಪಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮವು ಎಲ್ಲೆಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಂದಿಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿತ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಸೊನ್ನೆಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅನಂತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ, ಪ್ರತಿ z ಗೆ, ಅಂಶಗಳು 1 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ನಿಗದಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ 0 ಆಗಿರಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕು, ಆದರೆ ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ 1 ರ ಹತ್ತಿರ ಉಳಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ ಸೂಚಿಸಿದವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಾರದು. ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶಗಳು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶಗಳು ಫಾರ್ಮ್ ನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಲ್ಲಿ, ಅವರು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ತಕ್ಷಣವೇ, ಅವು ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಇಳಿಜಾರು ಇಲ್ಲದ ಆದರೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. [ಕಡತಃ First_5_Weierstrass_factors_on_the_unit_interval.svg |thumb |right |alt = ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ 5 ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅಂಶಗಳು. n = 0,., 4 ಮತ್ತು x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ |Plot.] ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶಗಳು, ಶೂನ್ಯ ಇಳಿಜಾರು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಗ್ರಾಫಿಕ್ ನೋಡಿ): ಮತ್ತು, ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಜಾರಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಓದಬಹುದು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂಶಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿದೆಃ ಲೆಮ್ಮಾ (15.8, ರುಡಿನ್) ಎಂದರೆ, ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ರೂಪಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೂನ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೊಂದಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲಃ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಮುರಿಯುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿನ) ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಆ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ನೀಡಿದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರಕಾರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿರಲಿ; ಅದು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್-ಮಾಸ್ಚೆರೋನಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಸೈನ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಫಾರ್ ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ನ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ನ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಅದರ ಮೂಲಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ () ಅಲ್ಲ, ಅದು ಶೂನ್ಯದ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅರ್ಥವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ), ಬಹುಪದ (ಅದರ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ), ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಒಗ್ಗೂಡುವಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ಕುಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ಕ್ರಮವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆಃ ಅಥವಾ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಇವು ಕುಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಮಿಟ್ಟಾಗ್-ಲೆಫ್ಲರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ವಾಲಿಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದನ್ನು ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು