Tutte theorem
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ವಿಲಿಯಂ ಥಾಮಸ್ ಟುಟ್ಟೆಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಟುಟ್ಟೆ ಪ್ರಮೇಯವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ನಿರ್ದೇಶನವಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ದ್ವಿದಲೀಯದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳವರೆಗಿನ ಹಾಲ್ನ ವಿವಾಹ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಟುಟ್ಟೆ-ಬರ್ಜ್ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿಃ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್. ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಗ್ರಾಫ್, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟಕಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಒಟ್ಟು ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ). ಅಂತಹ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬೆಸ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಒಂದೇ ಘಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮುಂದೆ, ಯು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಜಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಯು ಮತ್ತು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಉಳಿದ ಗ್ರಾಫ್ (ಸೂಚಿಸಲಾದ) ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಸ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಎಲೆಗಳು, ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಘಟಕದಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಘಟಕದಲ್ಲಿನ ಇತರ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಶೃಂಗವನ್ನು ಯು ಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಎರಡು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಯು ಗೆ ಹೊಂದಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಇತರ ಶೃಂಗವು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದೇ ಉಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಜಿ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಜಿ ಯಿಂದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪಕ್ಕದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ಉಳಿದ ಗ್ರಾಫ್ (ಸೂಚಿಸಲಾದ) ಬೆಸ ಘಟಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು-ಆದರೆ ಈ ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಜಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಜಿ ಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಸ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಈ ಷರತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಟುಟ್ಟೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಟುಟ್ಟೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎ ಗ್ರಾಫ್, ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ, ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೆಸ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳು) ಮಾತ್ರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ ಮೊದಲು ನಾವು ಷರತ್ತನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಇದು ಪ್ರಚೋದಿಸಿದ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಬೆಸ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯತೆಃ ಈ ನಿರ್ದೇಶನವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಳಗಿನ ಅಂತರ್ಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸೋಣ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಡಿಲೀಟ್ ಮಾಡಿ. ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೆಸ ಘಟಕವಾಗಿರಲಿ. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಒಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಘಟಕವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿರಬಹುದು (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ). ಸಾಕಷ್ಟಿರುವಿಕೆಃ ಯಾವುದೇ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಿಲ್ಲದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಾವು ಟುಟ್ಟೆ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಅಂದರೆ ಅಂತಹ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಎಡ್ಜ್-ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಇಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚಿಗೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ತುಟ್ಟೆ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯನ್ನು ಎಡ್ಜ್-ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ತುಟ್ಟೆ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸ್ಪ್ಯಾನಿಂಗ್ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲೂ ಸಹ ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೆಸ ಘಟಕವನ್ನು ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಮತ್ತೆ ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿರುವ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಟುಟ್ಟೆ ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವವರಾಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಘಟಕದಿಂದ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಒಂದು ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಇದು ಬೆಸ ಹೊರತು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಂತರ ಟುಟ್ಟೆ ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವವರಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಈಗ ಅದು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಚಿಕ್ಕದಾದ-ಪಥದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿರಲಿ. ಇದು ಅದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಏಕೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ಒಂದು ಶೃಂಗವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎಡ್ಜ್-ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾಲ್ಟಿಯಿಂದ, ನಾವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದನ್ನು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿ. ಅದರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮಾರ್ಗವು ಒಂದು ಅಂಚಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದು ಹೇಗೆ? ನಾವು ಅಥವಾ ನಂತಹ 'ವಿಶೇಷ' ಶೃಂಗವನ್ನು ತಲುಪದ ಹೊರತು, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದುಃ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ಇದರ ಕೊನೆಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಕೊನೆಯ ಅಂಚು ಇದ್ದರೆ, ಆಗ ಇರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಾವು (ತಲುಪಲು ಅಥವಾ) ನಿಂದ ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ತುದಿಯು ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸದೃಶವಾದ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮ ಉದ್ದದ ಚಕ್ರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಲ್ಲಿದೆ) ಮತ್ತು ನಾವು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಟುಟ್ಟೆ-ಬರ್ಜ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆ ಟುಟ್ಟೆ-ಬರ್ಜ್ ಸೂತ್ರವು ಗ್ರಾಫ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಗಾತ್ರವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಸಾಟಿಯಿಲ್ಲದ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಟುಟ್ಟೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಹೊಸ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಗ್ರಾಫ್, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರತಿ ಮೂಲ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಕೊಂಡರೆ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗಾತ್ರದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೀಕ್ಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುವ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಹೊಸ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, (*) ಅನ್ನು 'ಇಫ್' ಮತ್ತು 'ಇಫ್' ಗೆ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ (ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಸೀಮಿತ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಟುಟ್ಟೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯು ಉಪಗುಂಪಿನ ಗಾತ್ರಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಸೀಮಿತ ಬೆಸ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಬೈಪಾರ್ಟೈಟ್ ಮ್ಯಾಚಿಂಗ್ ಹಾಲ್ನ ಮದುವೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಪೀಟರ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ (ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು