Bernstein–Sato polynomial
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮತ್ತು, ನಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬಿ-ಫಂಕ್ಷನ್, ಬಿ-ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಬಹುಪದ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಇದು ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಇದು ಏಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಚಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ಖಾತೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವು ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳ ನಡುವೆ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಡಿಗ್ರಿಯ ಮೊನಿಕ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಹೋಲೊನೊಮಿಕ್ ಡಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಹುಪದಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೂ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕ್ರಮಾವಳಿಯಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಠಿಣವಾಗಿವೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಆರ್ಐಎಸ್ಎ/ಅಸಿರ್, ಮ್ಯಾಕಾಲೇ2 ಮತ್ತು ಸಿಂಗುಲಾರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳಿವೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿಂಗುಲಾರ್ನಲ್ಲಿ ಅನುಷ್ಠಾನದೊಂದಿಗೆ ಅಫೈನ್ ವೈವಿಧ್ಯದ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೀನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಗಣಕಯಂತ್ರವು ವಿವರಿಸಿದೆ. x2 + y3 ನ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವು n2 ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಡೆಟ್ (ಟಿಜ್) ನ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇಲಿಯ ಒಮೆಗಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ s ಅನ್ನು, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ s ನ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವಿತರಣೆ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಗೆ b (s + n) ಶೂನ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. f (x) ಒಂದು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಿತರಣೆಯಾದ ವಿಲೋಮ g ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, fg = 1 ಅನ್ನು ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. f (x) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, s = −1 ರಲ್ಲಿ f (x) s ನ ಲಾರೆಂಟ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ f (x) ಗೆ, ದಿ ಮಾಲ್ಗ್ರೇಂಜ್-ಎಹ್ರೆನ್ಪ್ರೈಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮವು ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಗ್ರೀನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಇದು ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದಿಯು ವಿತರಣಾ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೃಹತ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಆಯಾಮದ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏಕವಚನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಖರ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಿ. ಇ. ಆರ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಹುಪದಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಸಾಟೋ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸರಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, x 2-6 ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಿಗಳ ಜೋಡಿ 2 ಮತ್ತು 3 ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಅನುಗುಣವಾದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಬ್ರೂಟ್ ಫೋರ್ಸ್ ನಿರ್ಣಯವು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಿಷೇಧಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೊಡಕಿನದ್ದಾಗಿದೆ. ಬ್ರೂಟ್ ಫೋರ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಂಯೋಜಿತ ಸ್ಫೋಟವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಅಂತಹ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು (ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್, NJ, 1996/1997) ಬಹುಪದಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕರು