Cusp neighborhood
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಸ್ಪ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಕಸ್ಪ್ ಏಕತ್ವದ ಸಮೀಪವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಕಸ್ಪ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಕಸ್ಪ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಅದರ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಮಾದರಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪು ಜಿ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, t ω SL (2, Z) ಅಂಶವು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಯ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಅಂಶಗಳು ಈ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂದರೆ, g ω SL (2, Z) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಲವು h ω SL (2, Z) ಗೆ. H ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ g ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, γ ಯು ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, H/G ಮೇಲೆ U ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಹೀಗೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, E ಅನ್ನು g ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಸ್ಪ್ನ ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ E ಯ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರದೇಶವು ನಿಖರವಾಗಿ 1 ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಭೂತ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ U ನ ಛೇದನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಅಂಶವಾಗಿ T ಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಸ್ಪ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಸಂಯೋಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು