Derivation of the Schwarzschild solution
ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಪರಿಹಾರವು ಬೃಹತ್, ತಿರುಗದ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೆಲವರು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 1 ರಿಂದ 4 ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ (10 ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟಕಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 4 ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ). ಪರಿಹಾರವು ಗೋಳಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಈ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಬಹುದು (ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ): ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಿರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯವು ಎಲ್ಲಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ಸಮಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ) ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಮಯ-ಹಿಮ್ಮುಖದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ವಾತ ಪರಿಹಾರವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (ಶೂನ್ಯ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ), ಇದು ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ (+, +, +, −) ಆಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸುವುದು ಮೊದಲ ಸರಳೀಕರಣವೆಂದರೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯಗೊಳಿಸುವುದು. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಘಟಕಗಳು () ಈ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆಃ () ಆದರೆ, ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ), ಇದರರ್ಥ ಹೀಗಿದೆಃ () ಅಂತೆಯೇ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿಃ () () ಇವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದರಿಂದಃ () ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕುಃ ಅಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ಸಮಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಿಂದ (ಸ್ಥಿರ ಊಹೆಯಿಂದ) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಸ್ಥಿರ, ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಡಿಯಲ್ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, (ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ) ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ 2-ಗೋಳದಂತಿರಬೇಕುಃ ಈ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ (ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು, ಹೇಳಿ), ಈ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಘಟಕಗಳು (ಇದನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ) ಮತ್ತು (ಮತ್ತೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ) ಮೂಲಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗಬಾರದು. ಈ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗಃ ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರತಿ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೋಡಲು ಮತ್ತು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದಂತೆಯೇ ಇರಬೇಕಾದ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ವಸ್ತುವನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿ) ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನೀಯ ಅಂತರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದುಃ ಅದರ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಇದ್ದರೆ, ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಏಕವಚನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತಾ, ಮೇಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಇವೆ. ಚಿಹ್ನೆಯು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. A (r) ಮತ್ತು B (r) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ನಿರ್ವಾತ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲುಃ ಆದ್ದರಿಂದಃ ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರಿಕ್ಕಿ ವಕ್ರತೆಯು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳ r ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದರ್ಥ. ಕೇವಲ ಮೂರು ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದವು ಮತ್ತು ಸರಳೀಕರಣದ ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಗುತ್ತವೆಃ (ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಕೇವಲ ಪಟ್ಟು). ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದಃ ಅಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸ್ವಚ್ಛಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದಃ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನಿರ್ವಾತ ದ್ರಾವಣದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಈಗ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆಃ ಮೇಲಿನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪೇಸ್ ಟೈಮ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕೆ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ದುರ್ಬಲ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಭೌಗೋಳಿಕತೆಯು (ಮಿತಿಮೀರಿದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ), ಕೆಲವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೆಳಕಿನ ಅನಂತ ವೇಗದ ಕಡೆಗೆ), ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ). (ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು.) (ಇಲ್ಲಿ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ) ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಈ ವಿಧಾನದ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ; ದುರ್ಬಲ-ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತಾರೆಃ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಮೂಲದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದಃ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಗಮನಿಸಿಃ ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಈವೆಂಟ್ ಹಾರಿಜಾನ್ (ಅಂದರೆ,) ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ ಏಕವಚನವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಏಕತ್ವವು ಭೌತಿಕವಾದುದಲ್ಲ (ಆದರೂ ನಿಜವಾದ ಭೌತಿಕ ಏಕತ್ವವಿದೆ), ಇದನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೋರಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಕ್ರುಸ್ಕಲ್-ಸ್ಜೆಕೆರೆಸ್ ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ). ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿಃ ಈಗ ಯೂಲರ್-ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಇ-ಎಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಇ-ಎಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಚಲನೆಯ ಮೂರನೇ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ನಗಣ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಅವಧಿಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಆಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಇ-ಎಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಆಗುತ್ತದೆ ಬಿಂದುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವೇಗವರ್ಧನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅನಿಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವು ರೇಡಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆರ್ಥರ್ ಎಡ್ಡಿಂಗ್ಟನ್ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ,, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಂತರ (ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ,, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಂತರ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಿರ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸುವುದು-ಬಿರ್ಖಾಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ವಾತ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ನಿರ್ವಾತ ಪರಿಹಾರವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬಿರ್ಖೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವುದರಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಊಹೆಯು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿದೆ; ಹೀಗೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಪರಿಹಾರವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿರ್ಖೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಗೋಳಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಂಪನ ನಕ್ಷತ್ರವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಕ್ಷತ್ರದ ಹೊರಗಿನ ಪ್ರದೇಶವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಲ್ ಶ್ವಾರ್ಜ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಕೆರ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೈಸ್ನರ್-ನಾರ್ಡ್ಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಲೇಖನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.