Complete lattice
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯು ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸರ್ವೋನ್ನತ (ಜೋಡಣೆ) ಮತ್ತು ಅನಂತ (ಮೀಟ್) ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನಾದರೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಕೆಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮತ್ತು ಅನಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಜಾಲರಿಯು ಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತ ಜಾಲರಿಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು. ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಜಾಲರಿಗಳ ವಿಶೇಷ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ (ಸಿ. ಪಿ. ಓ. ಎಸ್) ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೇಟಿಂಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು (ಲೋಕಲ್ಸ್) ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಲ್ ನ ಪ್ರತಿ ಉಪಗುಂಪು ಎ ದೊಡ್ಡ ಕೆಳ ಮಿತಿ (ಅನಂತ, ಮೀಟ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ (ಜೋಡಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸರ್ವೋಚ್ಚ) ಎರಡನ್ನೂ (ಎಲ್, ≤) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ (ಎಲ್, ≤) ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ. ಮೀಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಯಿನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎ ಯ ಮೀಟ್ ಎಲ್ ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ನ ಜೋಡಣೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬೈನರಿ ಮೀಟ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಾಯಿನ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳು ಹೀಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಲರಿಗಳ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭೇಟಿಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜೋಡಣೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ (ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣತೆ (ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ನೋಡಿ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಎಲ್ಲಾ ಮೀಟ್ಗಳು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಜಾಯಿನ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಮೀಟ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಅಥವಾ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಜಾಯಿನ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಹೋಲುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಪದಗಳು ಏಕರೂಪತೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ "ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ" ಉದಯೋನ್ಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು). ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೀಟ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಗಳಿರುವ ಮೀಟ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಾದಯೋಗ್ಯವಾಗಿ ಮೀಟ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ನ "ಅತ್ಯಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ" ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಇನ್ನೂ ಜಾಲರಿಯಾಗಿಲ್ಲ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಅಂಶವು ಮಾತ್ರ ಕಾಣೆಯಾಗಿರಬಹುದು). ಈ ಚರ್ಚೆಯು ಸೆಮಿಲಟೈಸಿಸ್ ಕುರಿತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿಯೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ಗಳು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಲ್ನ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಎಲ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಂನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಂನಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಮೇಲಿನ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಮೀಟ್ ಮತ್ತು ಎಂನಲ್ಲಿ ಸೇರುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಎಲ್ನ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಲಾಟಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಪೂರ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ "ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೇಲೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಪವರ್ ಸೆಟ್, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರ್ವೋಚ್ಚತೆಯನ್ನು ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಮತ್ತು ಅನಂತವನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಛೇದನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ [0,1] ಮತ್ತು ಪರಿಚಿತ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸರ್ವೋಚ್ಛ ಮತ್ತು ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ರೇಖೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ (ಅದರ ಕ್ರಮದ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ) ಒಂದು ಜಾಲರಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಆದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಈ ಜಾಲರಿಯ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಂಶವು 0 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಸೀಮಿತ ಸಮೂಹಗಳ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಸರ್ವೋಚ್ಚತೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತವು 1ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು 2 ಅನ್ನು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯಿಂದ 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ ಅದು ಜಾಲರಿಯಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಸೇರ್ಪಡೆಗೊಳಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳು. (ಇಲ್ಲಿ ಅನಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಛೇದಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪರಮಾಧಿಕಾರವು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಒಕ್ಕೂಟವಲ್ಲ.) ಇ ಎಂಬುದು ಜಿ ಯ ಗುರುತಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಗುಂಪು {ಇ} ಜಿ ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಉಪಗುಂಪು ಜಿ ಗುಂಪೇ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಉಪಘಟಕಗಳು, ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಸರ್ವೋನ್ನತವನ್ನು ಉಪಘಟಕಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಮತ್ತು ಅನಂತವನ್ನು ಛೇದಕದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಂಗುರದ ಆದರ್ಶಗಳು, ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಆದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಸರ್ವೋನ್ನತವನ್ನು ಆದರ್ಶಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಮತ್ತು ಅನಂತವನ್ನು ಛೇದನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳು, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಮತ್ತು ಅನಂತವನ್ನು ಛೇದಕದ ಒಳಭಾಗದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಸೇರ್ಪಡೆ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತವನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನದಿಂದ ಮತ್ತು ಒಕ್ಕೂಟದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನಿಂದ ಸರ್ವೋನ್ನತವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೇಟ್ನಲ್ಲಿನ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳು, ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಆದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಅನಂತವನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಗಳ ಛೇದನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಗ್ರಸ್ಥಾನವನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಜಾಲರಿ. ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪ-ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸೆಟ್ಗಳ ಜಾಲರಿ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಜಾಲರಿ; x ~ y ಯಾವಾಗಲೂ x ≈ y ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ≈ ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ "ಸೂಕ್ಷ್ಮ") ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಜಾಲರಿ (ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಸರ್ವೋಚ್ಚತೆಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಲರಿಯು (ಎನ್, |) ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "0" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಂಶವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 1 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಗಳು (ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿ ಏಕರೂಪತೆಗಳು). ಇವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಧಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ L ಮತ್ತು M ನಡುವಿನ f: L → M ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದಾದರೆ ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ L. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ದುರ್ಬಲ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಜಾಯಿನ್ಗಳನ್ನು (ಸೂಪ್ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುವ) ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಮೀಟ್ಗಳನ್ನು (ಇನ್ಫರ್ ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುವ) ಸಂರಕ್ಷಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇವು ನಿಜಕ್ಕೂ ಅಸಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೀಟ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸಿಸ್ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಯಿನ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸಿಸ್ಗಳ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಕೆಳಗಿನ ಪಕ್ಕದ ಭಾಗವೆಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಗಳಿಗೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಜೋಡಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಿ ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕ್ರಮಗಳ ನಡುವಿನ ಮೊನೊಟೋನ್ ನಕ್ಷೆಯು ಅದು ಕೆಳಗಿನ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲಾ ಜಾಯಿನ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮೇಲಿನ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲಾ ಮೀಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಣೆ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಎಲ್ಲಾ ಮೀಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ವಿಲೋಮ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಪಕ್ಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಕುದಿಯುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಭೇಟಿ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ (ಮೇಲಿನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ), ಜಾಯಿನ್-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕೆಳಗಿನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ) ಎರಡು. ಪಿ (ಎಕ್ಸ್) ಮತ್ತು ಪಿ (ವೈ) ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ನಿಂದ ವೈ ಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪವರ್ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನೇರ ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರ ನಕ್ಷೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಮಾಣ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮುಕ್ತ "ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳು" ಎಂದಿನಂತೆ, ಮುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಆಯ್ದ ವರ್ಗದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಜಾಯಿನ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ. ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಕೆಳ ಅಂಚುಗಳು), ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದನ್ನು ಉಚಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಯಿನ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, S ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯು i: S → L ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ S ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯ M ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪಿಗೆ f ಕಾರ್ಯವನ್ನು L ನಿಂದ M ಗೆ f ° ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮೂಲಕ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು. ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, S ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ನಾವು f (s) = f ° (i (s) ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು f ° ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಇರುವ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿದೆ. ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ಮೂಲತಃ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜಾಯಿನ್-ಪ್ರಿಸರ್ವಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಂದ ಅವುಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದುಃ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ ಎಸ್ ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿ ಕೇವಲ ಪವರ್ ಸೆಟ್ 2 ಎಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಉಪಗುಂಪು ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಎಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೆಟ್. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಘಟಕವಾದ i: S → 2S, Sನ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಾದ s ಅನ್ನು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ {s} ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ f ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, f °: 2S → M ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ f° ಒಕ್ಕೂಟಗಳನ್ನು ಸರ್ವೋಚ್ಛವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಜೋಡಣೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಉಚಿತ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅದು ಜಾಯಿನ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮೀಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಂಚುಗಳು). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ್ದನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆಃ ಮುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಪವರ್ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸೆಟ್ ಯೂನಿಯನ್ ಮೀಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು f° ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಜಾಯಿನ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಮೀಟ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಫ್ರೀ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಮೀಟ್-ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಈ ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಉಚಿತ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸುವವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳ (ಅಥವಾ "ಪದಗಳು") ಸಂಗ್ರಹವು ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭೇಟಿಗಳು ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯ ವಾದ-ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಣವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಃ ಮೇಲಿನ ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಮಿಲಟೈಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ಪರಿಹಾರವು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳ ವರ್ಗದ ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗಗಳು ಒಂದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು "ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ", ಅಂದರೆ ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿ ಇನ್ನೂ ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ಈಗ ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಗಾತ್ರದ ಮಿತಿಯು ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಮೂರು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ; ಇದು ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಜಾನ್ಸ್ಟೋನ್ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ; ಮೂಲ ವಾದವು ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಹೇಲ್ಸ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ; ಉಚಿತ ಜಾಲರಿಗಳ ಲೇಖನವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಂಗಿಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಒಬ್ಬರು ಭಂಗಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ "ಸೆಟ್ಗಳು" ಮತ್ತು "ಕಾರ್ಯಗಳು" ಅನ್ನು "ಪೊಸೆಟ್ಗಳು" ಮತ್ತು "ಮೊನೊಟೋನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು" ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೊಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಕೆಲವು ವರ್ಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅದು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಮೀಟ್-ಅಥವಾ ಜಾಯಿನ್-ಪ್ರಿಸರ್ವಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವವರೆಗೆ, ಇದನ್ನು ಡೆಡೆಕೈಂಡ್-ಮ್ಯಾಕ್ನೀಲ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ, ಪೊಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಡೆಡೆಕೈಂಡ್-) ಕಟ್ಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ (ಅರೆ-) ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳಿಗೆ ಮಾಡಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪೊಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಮುಕ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಭಂಗಿಯಿಂದ ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಭಂಗಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಇವುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಮುಕ್ತ ಭಂಗಿಗಳಾಗಿವೆ. ಭಂಗಿಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ಮುಕ್ತ ನಿರ್ಮಾಣವಿದೆಯೇ, ಆಗ ಎರಡೂ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಇದು ಮೇಲಿನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಜಿ. ಬಿರ್ಖಾಫ್ ಅವರ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಥಿಯರಿ ಪುಸ್ತಕವು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಂತರ ಎರಡು ದ್ವಿಮುಖ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮುಚ್ಚುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕ-ಮುಚ್ಚಿದ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿವೆ. ಉಪಗುಂಪು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಬಿರ್ಖೋಫ್ನ ರಚನೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಉದಾಹರಣೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭಂಗಿ (ಪಿ, ≤) ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವಿನ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧ ≤ ನಿಂದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್-ಮ್ಯಾಕ್ನೀಲ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯಾಗಿರುವ ಭಂಗಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಬಿರ್ಖೋಫ್ನ ವಿಧಾನದಿಂದ, ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರೆಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ರಚನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ (ಔಪಚಾರಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ನೈಜ-ಪದದ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು (ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಜಾಲರಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಔಪಚಾರಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹಿಂದಿನ ಗಣಿತವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯ ಉಪವಿಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥವಾದ (ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿಲ್ಲ) ಸ್ವಯಂ-ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸ್ವತಃ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರೇರಿತ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ). ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಹೊರತಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಇತರ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ನಾಸ್ಟರ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಮೊನೊಟೋನ್ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಲಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇವು ಪ್ರಮೇಯದ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೇಲಿನ ಅವಲೋಕನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ