Darboux's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಭೇದಾತ್ಮಕ 1-ರೂಪಗಳ ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಏಕೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಫಾಫ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಜೀನ್ ಗ್ಯಾಸ್ಟನ್ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದುದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದರ ಅನೇಕ ಪರಿಣಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದರೆ, ಒಂದೇ ಆಯಾಮದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜಾಗದಂತೆ ಕಾಣುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಸಂಪರ್ಕ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸದೃಶವಾದ ಪರಿಣಾಮವೂ ಇದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ 1-ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಸ್ಥಿರ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇದ್ದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇದ್ದರೆ, ಆಗ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಿತರಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆದರ್ಶಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾದ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ 1-ರೂಪವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಅದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದರ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ 2-ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, 1-ರೂಪವಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿನ ಊಹೆಗಳ ಮೊದಲ ಗುಂಪನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚಾರ್ಟ್ ಇದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಈಗ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಚಾರ್ಟ್ಗಳಿಂದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳಲು, ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಚಾರ್ಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದುಃ 1-ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಧುನಿಕ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮೋಸರ್ನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗಿನ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೋಲಿಕೆಯು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಇಡೀ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಆ ಹಂತದ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಸಂಪರ್ಕದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಗಳಂತೆ, ಮೋಸರ್ನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್-ವೈನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಲನ್ ವೈನ್ಸ್ಟೈನ್, ಸಿಂಪ್ಲೆಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಡಲು ಬಲಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರುಃ ಎರಡು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಒಂದು ನೆರೆಹೊರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಬನಾಚ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾದ ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ-ಜಾಕೋಬಿ-ಲೈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಮೋಸರ್ನ ಟ್ರಿಕ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಆಧಾರದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜಿ. ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್, "ಆನ್ ದಿ ಪ್ಫಾಫ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್", ಅನುವಾದ. ಡಿ. ಎಚ್. ಡೆಲ್ಫೆನಿಚ್ ಜಿ. ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಅವರಿಂದ, "ಆನ್ ದಿ ಪ್ಫಾಫ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ (ಕಾಂಟ್. ), "ಅನುವಾದ. ಡಿ. ಎಚ್. ಡೆಲ್ಫೆನಿಚ್ ಅವರ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಗಣಿತೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ