Itô calculus
ಕಿಯೋಸಿ ಇಟೋನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇಟೊ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೋಡಿ). ಇದು ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಇಟೊ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ರೀಮನ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ಗಳು ಈಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎಚ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಎಕ್ಸ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶೋಧನೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೆಮಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಆಗಿದೆ. ಏಕೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶವು ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 0 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ t ಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಮಾರ್ಗಗಳು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ಇಟೋ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭೇದಿಸಲಾಗದ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಒಳನೋಟವೆಂದರೆ ಇಂಟಿಗ್ರಾಲ್ ಅನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ಎಚ್ ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದರರ್ಥ ಸಡಿಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಸಮಯ ಟಿ ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಬ್ಬರು 0 ರಿಂದ t ವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರದ ವಿಭಾಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾವು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ವರಿತತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಣ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಜಾಲರಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಹಲವಾರು ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಡ ತುದಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಟೋ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಇಟೋಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಇದು ಅಸ್ಥಿರ ಸೂತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪದಗಳಿಂದಾಗಿ ಇವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸಿನಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವಿವರಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಎಂದರೆ ನಾವು ಎಷ್ಟು ಸ್ಟಾಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಬೆಲೆಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸ್ಟಾಕ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ನಾವು ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟಾಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವ್ಯಾಪಾರದ ಹಣಕಾಸು ಸ್ವತ್ತುಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದು (ಬ್ಲ್ಯಾಕ್-ಸ್ಕೋಲ್ಸ್ ನೋಡಿ). ನಂತರ, ಇಟೊ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಟಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾಕ್ನ ಎಚ್ ಟಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ವ್ಯಾಪಾರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಪ್ರತಿಫಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಎಚ್ ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಷರತ್ತು, ವ್ಯಾಪಾರ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಅಗತ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ದೂರದೃಷ್ಟಿಯ ಮೂಲಕ ಅನಿಯಮಿತ ಲಾಭಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆಃ ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಏರಿಕೆಯ ಮೊದಲು ಸ್ಟಾಕ್ ಅನ್ನು ಖರೀದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕುಸಿತದ ಮೊದಲು ಮಾರಾಟ ಮಾಡುವುದು. ಅಂತೆಯೇ, H ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಬೇರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೊದಲು Y ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ವತಃ ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕ t ಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ Y = H·X ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ dY = H dX ಎಂಬ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು Y − Y0 = H·X ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಟೋ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. σ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಮಯ t ವರೆಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು Xt-ಅಳೆಯಬಹುದಾದರೆ X ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ B ಅನ್ನು-ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೇವಲ Bt-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Bt + s-Bt ಎಲ್ಲಾ s, t ≤ 0 ಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕೀಕರಣ ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರೀಮನ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅದು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ; ಅಂತಹ ಮಿತಿಯು ಪಥದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಬಿ ಒಂದು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ) ಮತ್ತು ಎಚ್ ಒಂದು ಬಲ-ನಿರಂತರ (ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್), ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಜಾಲರಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರೊಂದಿಗೆ [0, t] ವಿಭಜನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಯ t ವರೆಗೆ B ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ H ನ ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಯಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ, ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಚಿಕ್ಕ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. H ಯು ಯಾವುದೇ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ t ≤ 0 ಗೆ ingm0t H2 ds <≤ ಆಗಿದ್ದರೆ, B ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ H ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು H ಅನ್ನು B-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಡ-ನಿರಂತರ, ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಎಚ್. ಎನ್. ನಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ. ನಂತರ, ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಲ್ಲಿ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತೆ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಐಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಚ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸಿದಾಗ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ, ಬಿ ಒಂದು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು σ ಒಂದು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಬಿ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು μ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು (ಲೆಬ್ಸ್ಗು) ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಟಿಗೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂತಹ ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾದ ಎಚ್ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸ್-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲು, ಎಚ್. ಎಸ್. ಯು ಬಿ-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಎಚ್. ಎಂ. ಯು ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಇಟೋಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ. ಅದರ ಸರಳವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ f ರಿಯಾಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ X ಗೆ, ಇದು f (X) ಸ್ವತಃ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ ಬರುವ f ನ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದದಿಂದಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ಗಳಾಗಿ ಸೆಮಿಮಾರ್ಟಿಂಗ್ಗಳು ಇಟೊ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಸೆಮಿಮಾರ್ಟಿಂಗ್ X ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇವು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಎಂ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎ ಗೆ ಎಕ್ಸ್ = ಎಂ + ಎ ಎಂದು ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ ಮತ್ತು ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಎಡ ನಿರಂತರ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮತ್ತು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ H ಅವಿಭಾಜ್ಯ H·X ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಜಾಲರಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರೊಂದಿಗೆ πn, [0, t] ನ ವಿಭಾಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ, ಈ ಮಿತಿಯು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡ-ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಟೋದ ಲೆಮ್ಮಾದ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ, ಗಿರ್ಸಾನೋವ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಅಳತೆಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಯಗಳಂತಹ ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಇದು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ J ಗೆ Hn →; H ಮತ್ತು |Hn | ≤ J ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ. ಎಡ-ನಿರಂತರದಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಏಕೀಕರಣಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅನನ್ಯತೆಯು ಮೊನೊಟೋನ್ ವರ್ಗದ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ H·X ಅನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ H ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕೆ = 1/(1 + |H |) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಹೆಚ್ಗಳು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. Y0 = 0 ಮತ್ತು K·Y = (KH) · X ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಏಕೀಕರಣದ ಸಂಯೋಜನೆಯು H ಅನ್ನು X-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, H·X = Y ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ. ಎಕ್ಸ್-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಲ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದುಃ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸ್ಥಗಿತಗಳನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಮಯ tಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಡ್ಲೇಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಜಿಗಿತವು Xt − Xt− ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ΔXt ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, α (H·X) = H αx. ಇದರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ನಿರಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ವತಃ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಹಬಾಳ್ವೆ. ಜೆ, ಕೆ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಕೆ ಎಕ್ಸ್-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಜೆ ಕೆ ಎಕ್ಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಜೆ ಕೆ ಎಕ್ಸ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡೊಮಿನೇಟೆಡ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್. Hn → H ಮತ್ತು |Hn | ≤ J ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಇಲ್ಲಿ J ಒಂದು X-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ Hn·X → H·X. ಒಮ್ಮುಖವು ಪ್ರತಿ t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜ ಕೋವೇರಿಯೇಷನ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ X-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು [X, Y]-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು [H·X, Y] = H· [X, Y] ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಂತೆಯೇ, ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕೋವೇರಿಯೇಷನ್ ಪದದ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಈ ಪದವು ಇಟೋ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ (ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯಂತಹ) ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ಸೆಮಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ [X, Y] ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕೋವೇರಿಯೇಷನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ರೀಮನ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಭಾಗಗಳ ಪ್ರಮೇಯದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇಟೋದ ಲೆಮ್ಮಾ ಇಟೋದ ಲೆಮ್ಮಾವು ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರ ಸೂತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ n-ಆಯಾಮದ ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ X = (X1,., Xn) ಮತ್ತು Rn ನಿಂದ R ಗೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯ f ಗೆ, ಇದು f (X) ಒಂದು ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕೋವೇರಿಯೇಷನ್ [xi, xj] ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದದಿಂದಾಗಿ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು (ಇಟೋಸ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ನೋಡಿ). ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ಸ್ ಲೋಕಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಇಟೊ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಚ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಚ್ಎಂ ಸಹ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ, H·M ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಅಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಂ ನಿರಂತರವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಎಂ ಒಂದು ನಿರಂತರ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಟಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಚ್ಎಂ ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಚ್ ಎಂ-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. (H2· [M]) 1/2 ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದರೆ, H·M ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ Mಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ, ಇಟೊ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಎಂನ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇ [ಎಂಟಿ 2] ಎಲ್ಲಾ ಟಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಎಂಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ [ಎಂ] ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇಟೊ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಎಂಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ H2· [M] t ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಐಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಹಂತವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, H·M ಅನ್ನು ಈ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಸರಳ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ. ಪಿ-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ ಯಾವುದೇ ಪಿ> 1, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪಿ-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇವು ಇ (<ಐ. ಡಿ. 2> <ಐ. ಡಿ. 1>) ಎಲ್ಲಾ ಟಿ ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವಂತಹ ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪಿ = 1 ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಲ್ಲ. ಸ್ವತಃ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಲ್ಲದ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೀಮಿತ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂ ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಂ * ಟಿ = ಸೂಪ್ಸ್ ≤ ಟಿ |Ms | ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ p ±1 ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ t ಗೆ E [(M * t) p] ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವಂತೆ ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ M ನ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. p> 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಡೂಬ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ, p-ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ನ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬರ್ಕ್ಹೋಲ್ಡರ್-ಡೇವಿಸ್-ಗಂಡಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹೇಳುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ p ±1 ಗೆ, p ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು c, C ಇವೆ, ಆದರೆ M ಅಥವಾ t ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ M. ಇವುಗಳನ್ನು (M * t) p ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು H ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, H·M ಒಂದು p-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, (H2· [M]) p/2 ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪುರಾವೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಕಾನ್ಸ್ಟೆಂಟ್, ಲೆಫ್ಟ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಅಡಾಪ್ಟೆಡ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಟಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ಟಿ-ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಎ ಅನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲು Ht = A1 {t> T} ರೂಪದ ಪದಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು H ನಲ್ಲಿ H·X ನ ರೇಖೀಯತೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ B ಗೆ, ಶೂನ್ಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾದ ವರ್ (Bt) = t ಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಹೆಚ್ಚಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸರಳ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಐಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ, ಐಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯು ಇನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲಾ ಬಿ-ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ಇಟೋ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ X ಗೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ M ಆಗಿ X = M + A ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ A ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಂತರ, M ಮತ್ತು A ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು X ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ರೇಖೀಯತೆ, H·X = H·M + H·A ಅನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಬೆಸ್ಗು-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಸೆಮಿ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿಗೆ ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಡ್ಲಾಗ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಎಂಗಾಗಿ, ಇಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವಿಭಜನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಡೂಬ್-ಮೇಯರ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎನ್ ಒಂದು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಬಲ-ನಿರಂತರ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಂ. ನ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಚತುರ್ಭುಜ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚದರ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿಗೆ ಐಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸರಳ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳಿಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಚದರ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಡೂಬ್-ಮೇಯರ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಚದರ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಯಾವುದೇ ಸೆಮಿ-ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇಟೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಆದರೆ ಡೂಬ್-ಮೇಯರ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಅನೇಕ ಇತರ ಪುರಾವೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ [M] ಬಳಕೆ, ಸಬ್ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ಸ್ಗಾಗಿ ಡೊಲಿಯನ್ಸ್ ಅಳತೆಯ ಬಳಕೆ, ಅಥವಾ ಇಟೋ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯ ಬದಲಿಗೆ ಬರ್ಕ್ಹೋಲ್ಡರ್-ಡೇವಿಸ್-ಗಂಡಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಬಳಕೆ. ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲು ವ್ಯವಹರಿಸದೆಯೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದು, X ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ {H·Xt: |H | ≤1 ಸರಳವಾದ ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿದೆ} ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ t ಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದು X ಅನ್ನು ಸೆಮಿಮಾರ್ಟಿಂಗ್ ಎಂದು ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕ್ಯಾಗ್ಲಾಡ್ ಅಥವಾ ಎಲ್-ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು) ಎಲ್ಲಾ ಎಡ-ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಇಟೋಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದಂತಹ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಊಹಿಸಬಹುದಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಖಿಂಟ್ಚೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇಟೋ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇಟೋ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಅಗ್ರಗಣ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ "ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ದ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳೂ ಇವೆಃ ಮಲ್ಲಿಯಾವಿನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮಲ್ಲಿಯಾವಿನ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ವೀನರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳ ಸೂತ್ರದ ಏಕೀಕರಣವೂ ಸೇರಿದೆ. ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳನ್ನು ಇಟೋ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಬಿ ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಶೋಧನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [0, ಟಿ] ಎಂ ಒಂದು ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ [0, ಟಿ] ಮೇಲೆ α ಎಂಬ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಚದರ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ, ಅದು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಟಿಗೆ [0, ಟಿ]. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಬಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಂ ನ "ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಎಂದು ಹೇಳುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ α ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಎಂಟಿ-ಎಂ0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಮಯ ಟಿ ವರೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಇಟೋ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲ್ಯಾಂಗೆವಿನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತಹ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಎಸ್. ಡಿ. ಇ. ಗಳು) ಸಂಭವನೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇಟೊ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಎಸ್ಡಿಇ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗೌಸಿಯನ್ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದದ ಮೂಲಕ ರೂಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಸಂಕಲನ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು xk ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಇಟೋದ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೇಲಿನಂತೆ ಇಟೋ ಎಸ್ಡಿಇ ಸಹ ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಎಸ್ಡಿಇಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಸ್ಡಿಇಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಶಬ್ದ ಪದದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಸಮಯವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ ಬಣ್ಣದ ಶಬ್ದದಿಂದ ನಡೆಸಲ್ಪಡುವ ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮಿತಿಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿವಿಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಇತ್ತೀಚಿನ ಚಿಕಿತ್ಸೆಗಾಗಿ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೋಡಿ. ಇಟೋ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾ ಸ್ಟ್ರಾಟೋನೋವಿಚ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೆಮಿಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹ್ಯಾಗನ್ ಕ್ಲೈನರ್ಟ್ (2004) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಪಾಲಿಮರ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಫೈನಾನ್ಷಿಯಲ್ ಮಾರ್ಕೆಟ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪಾತ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್, 4 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ವರ್ಲ್ಡ್ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ (ಸಿಂಗಾಪುರ್); ಪೇಪರ್ಬ್ಯಾಕ್. ಐದನೇ ಆವೃತ್ತಿಯು ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆಃ ಪಿಡಿಎಫ್-ಫೈಲ್ಗಳು, ಗೌಸಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಇಟೋನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ. ಟಿಐ-ಬೇಸಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫೈನಾನ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಇದು ಟಿಐ-ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಇಟೋ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಏಕೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಗಣಿತದ ಹಣಕಾಸು ಸಮಗ್ರ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ