Dyadic transformation
ಡಯಾಡಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವು (ಡಯಾಡಿಕ್ ಮ್ಯಾಪ್, ಬಿಟ್ ಶಿಫ್ಟ್ ಮ್ಯಾಪ್, 2x ಮಾಡ್ 1 ಮ್ಯಾಪ್, ಬರ್ನೌಲಿ ಮ್ಯಾಪ್, ಡಬಲಿಂಗ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಅಥವಾ ಸಾಟೂತ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ನಿಯಮದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ (ಅಂದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ) (ಎಲ್ಲಿಂದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸೆಟ್) ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಡೈಡಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ ನಕ್ಷೆ ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಬಿಟ್ ಶಿಫ್ಟ್ ನಕ್ಷೆ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬೈನರಿ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ, ಬೈನರಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಟ್ ಬಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಬೈನರಿ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಟ್ "ಒಂದು" ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾದ 1-ಆಯಾಮದ ನಕ್ಷೆಯು ಹೇಗೆ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಡೈಡಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಇತರ ಹಲವಾರು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖವಾದದ್ದು ಬೀಟಾ ರೂಪಾಂತರ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇದನ್ನು 1957 ರಲ್ಲಿ ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ರೇನಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು 1959 ರಲ್ಲಿ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್ ಮತ್ತು 1960 ರಲ್ಲಿ ಬಿಲ್ ಪ್ಯಾರಿ ಅವರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬದಲಾಗದ ಅಳತೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಈ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅರೆ-ಅನಂತ ತಂತಿಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು. ಇವುಗಳು ತಲೆ ಅಥವಾ ಬಾಲಗಳ ಮೇಲೆ ಬರುವ ನಾಣ್ಯದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಬೈನರಿ ಬಿಟ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ (ಅರೆ-) ಅನಂತ ತಂತಿಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. "ಇನ್ಫೈನೈಟ್" ಎಂಬ ಪದವು "ಸೆಮಿ-" ಎಂಬ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಡಬಲ್-ಇನ್ಫೈನೈಟ್ (ಡಬಲ್-ಎಂಡ್) ತಂತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬೇರೆ ಜಾಗವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಇದು ಬೇಕರ್ನ ನಕ್ಷೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಹತೆ "ಸೆಮಿ-" ಅನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಕೈಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಳವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶಿಫ್ಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಬೈನರಿ ಅಂಕಿಗಳ ಅನಂತ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಬರೆಯಿರಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಶಿಫ್ಟ್ ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಟ್ಗಳ ದ್ವಿಗುಣ-ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಪ್ರೇರಿತ ಏಕರೂಪತೆ ಬೇಕರ್ನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಡಯಾಡಿಕ್ ಅನುಕ್ರಮವು ನಂತರ ಕೇವಲ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಮೊತ್ತವು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಇದು ಒಂದು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಮಾಹಿತಿಯ ನಷ್ಟದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅವಲಂಬನೆಯು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ಮಾಹಿತಿಯ ನಷ್ಟ. ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೊದಲ s ಬಿಟ್ಗಳ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ, m ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ (m <s) ನಂತರ ನಮಗೆ s-m ಬಿಟ್ಗಳ ಮಾಹಿತಿಯು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಒಂದು ಬಿಟ್ನ ಘಾತೀಯ ದರದಲ್ಲಿ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. s ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ, ನಿಜವಾದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ನಮ್ಮ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಿದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಷ್ಟವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ-ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಕ್ಷೆಯು ನಿಜವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿಮುಖವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪಿರುವುದರಿಂದ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಇದು ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮಾಹಿತಿ ನಷ್ಟದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮಾಹಿತಿ ಲಾಭದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (xn) ಸೃಷ್ಟಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ x0 = 0.1001 101 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದರೆ ನಾವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ 0.1001 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. x1 ಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು 0.001 ಆಗಿದೆ. ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಜವಾದ x1 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 0.0011 01 ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವವರೆಗೆ ನಾವು ಕಾಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕತ್ತರಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 0.0011 ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಊಹಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ 0.001 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ಬಿಟ್ ಮಾಹಿತಿ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಟೆಂಟ್ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಡಯಾಡಿಕ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಯುನಿಟ್-ಎತ್ತರದ ಟೆಂಟ್ ನಕ್ಷೆಗೆ ಅರೆ-ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್-ಎತ್ತರದ ಟೆಂಟ್ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ದಿ ಕಾಂಜುಗಸಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೀಗೆ ನೀಡಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ r = 4 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಸಹ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ. ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯ r = 4 ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ; ಇದು x ಬೈ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಲ್ಲಿನ ಬಿಟ್ ಶಿಫ್ಟ್ ನಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯು ತಿರುವುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದಾಗ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸರಳ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಸುಲಭಃ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ (ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಂತೆ), ಆಗ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ-ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸದ ಬೈನರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. x0 ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, x0 ನ ಚಿತ್ರವು [0,1] ಒಳಗೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x0 ನ ಮುಂಭಾಗದ ಕಕ್ಷೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು x0 ನ ಬೈನರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅವಧಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯು k ಬಿಟ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಬೈನರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ k ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು 0 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ; ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯು k-ಬಿಟ್ ಅಸ್ಥಿರ (k ≤ 0) ಯೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ q-ಬಿಟ್ ಅನುಕ್ರಮವು (q> 1) ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ k ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು q ಉದ್ದದ ಚಕ್ರವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಉದ್ದಗಳ ಚಕ್ರಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 11/24 ನ ಮುಂಭಾಗದ ಕಕ್ಷೆಯು 2ನೇ ಅವಧಿಯ ಚಕ್ರವನ್ನು ತಲುಪಿದೆ. [0,1] ರ ಯಾವುದೇ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅವಲಂಬನೆಯು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಬಿಟ್ ಶಿಫ್ಟ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಆವರ್ತನವು ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಮತ್ತು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬಿಟ್ ಶಿಫ್ಟ್ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೂಲತಃ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೈಜವಾಗಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಡಯಾಡಿಕ್ ತರ್ಕಬದ್ಧವು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಪ್ರಸಿದ್ಧ 0.999. = 1 ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬೈನರಿ-ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಡಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ-ಉದ್ದದ ಉದ್ದದ ಆರಂಭಿಕ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಒಂದು ಆರಂಭಿಕ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಕ್ಷೆಯ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಲ್ಲದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ-ಒನ್) ನೆಲೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬಿಟ್ ತಂತಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ, ನಕ್ಷೆಯ ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಆರಂಭಿಕ "ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ" ಅನುಕ್ರಮದ ನಂತರ, ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಯು ಉದ್ದದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಒಂದನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸದ ಆರಂಭಿಕ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಟ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಒಬ್ಬರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಆರಂಭಿಕ "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ" ಅನುಕ್ರಮ, ನಂತರ ಸೈಕ್ಲಿಂಗ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆ. ಅಂದರೆ, ನಕ್ಷೆಯ ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಗತಿಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ಸ್ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುವ ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳು ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯದ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ. ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಕಕ್ಷೆಗಳು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ! ಅಪೆರಿಯೋಡಿಕ್ ಕಕ್ಷೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಣವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆವರ್ತಕ ಕಕ್ಷೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ಮಟ್ಟಿಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಆರ್ನಾಲ್ಡ್ ಪ್ರಸರಣದಂತಹ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ತರ "ಹೆಚ್ಚು ಇಲ್ಲ" ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ನಕ್ಷೆಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವ ಬದಲು, ನಕ್ಷೆಯು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುವುದು ಅಷ್ಟೇ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಘಟಕದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಧೂಳನ್ನು ಚಿಮುಕಿಸುವುದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ; ಇದು ಇತರ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಿಂತ ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಬ್ಬರು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಬರೆಯಬೇಕು ಮೇಲಿನ ಛೇದವು ರೂಪಾಂತರದ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಕೇವಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಅಲ್ಲದೆ, ಪೂರ್ವಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಕೇವಲ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂತಹ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬರೆಯಿರಿ ನಕ್ಷೆಯು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ. ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರಾಗಿ ನೋಡಿದಾಗ, ಅತ್ಯಂತ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದ ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆಃ ಅದರ ವರ್ಣಪಟಲ ಎಂದರೇನು? ಒಂದು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಒಂದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್-ಪೆರಾನ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡೈಡಿಕ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ. ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಮೊದಲು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ (ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ) ತಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದು ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಚದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಕೇವಲ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬದಲಿಗೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಸರಳೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಕೆಲವು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿ, ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಘರ್ಷವಿದೆ; ಸ್ವಲ್ಪ ಕಾಳಜಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಕ್ಯಾಂಟರ್ನಿಂದ ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಏಕರೂಪತೆ ಇದೆ; ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇದು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ನಿರಂತರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು, ಒಬ್ಬರು ಅದಕ್ಕೆ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಕು; ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್-ಕಾಂಪ್ಲಿಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ಸಿಗ್ಮಾ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸೆಟ್ಗಳದ್ದಾಗಿದೆ. ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸೆಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಅನಂತ ಬಿಟ್-ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಚದುರಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಟ್-ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇವು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಮುಕ್ತ ಸಮೂಹಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲಿನ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಳತೆಯು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ನಾಣ್ಯ-ಎಸೆಯುವಿಕೆಯ ಬರ್ನೌಲಿ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಾನಗಳ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅಳತೆ 1/2 ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಬಿಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅಳತೆ 1/4, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಒಬ್ಬರು ಫ್ಯಾನ್ಸಿಯರ್ ಆಗಬಹುದುಃ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತಲೆ ಮತ್ತು ಬಾಲಗಳಿದ್ದರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಳತೆಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಎರಡೂ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು 1/2 ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಇನ್ನೂ 1/2 ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ. ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ಅಳತೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು, ಅಂದರೆ, ಇದು ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರದ ಅಳತೆಯು ಮತ್ತೆ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರೋಬೆನಿಯಸ್-ಪೆರಾನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಶಿಫ್ಟ್ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ಮತ್ತೆ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್-ಪೆರಾನ್ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು 1 ಆಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಬರ್ನೌಲಿ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಬೇಕು ಅಂತಹ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಪರೇಟರ್ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು (ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿ) ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ! (ಹೆಸರಿಸುವ ಈ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆ ಬಹುಶಃ ಬರ್ನೌಲಿಯವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ.) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳು ಗುರುತಿನ ಸೂಚನೆಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತೊಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹಾರ್ ಆಧಾರವು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹಾರ್ ತರಂಗಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರಂತರ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಇದು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಧಾರವನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಹ ನೀಡಬಹುದು; ಅವುಗಳನ್ನು ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಧಾರವನ್ನು ತಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್-ನೋವೇರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನ ತರಂಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದನ್ನು, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ; ಇದನ್ನು ಟಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ (ಬ್ಲಾಂಕ್ಮಾಂಜ್ ಕರ್ವ್) ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ; ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಂತೆ). ಇದು ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಐಸಿಂಗ್ ಮಾದರಿಯ ಸ್ಪಿನ್ಗಳ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಲೆಟಿಂಗ್ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಲೋಮ ತಾಪಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಈ ಮಾದರಿಗೆ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಆದರೆ ಸ್ಪಿನ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಣ್ಣ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ನಾವು ಈಗ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವರಿಗೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪುನರ್ಭರಣಗೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪು ರೂಪಾಂತರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಯಾಡಿಕ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಬರ್ನೌಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಬರ್ನೌಲಿ ಯೋಜನೆ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಶಾನ್ನನ್-ರೀಡ್ಸ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಡೀನ್ ಜೆ. ಡ್ರಿಬೆ, ಫುಲ್ಲಿ ಚೋಟಿಕ್ ಮ್ಯಾಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಬ್ರೋಕನ್ ಟೈಮ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿ, (1999) ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, ಡೋರ್ಡ್ರೆಕ್ಟ್ ನೆದರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಲಿನಾಸ್ ವೆಪ್ಸ್ಟಾಸ್, ದಿ ಬರ್ನೌಲಿ ಮ್ಯಾಪ್, ಗೌಸ್-ಕುಜ್ಮಿನ್-ವಿರ್ಸಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ, (2004) ಚೋಟಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳು.