Generalized function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳು. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಾನ್ಯತೆ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಿತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆಯೇ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಬಿಂದು ಚಾರ್ಜ್ಗಳಂತಹ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವು ದೈನಂದಿನ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರ್ವಾಹಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತವೆ. ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಕಾಲೀನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಮಿಕಿಯೋ ಸಾಟೋ ಅವರ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಚಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ತಾಂತ್ರಿಕ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿವೆ. ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ರೀಮಾನ್ನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದವು. ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರದ ತೀವ್ರ ಬಳಕೆಯು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸಾಂಕೇತಿಕ ವಿಧಾನಗಳ ಶೋಧನಾತ್ಮಕ ಬಳಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಸಮರ್ಥನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಕೆಟ್ಟ ಖ್ಯಾತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯ ವಿಧಾನಗಳ ನಂತರದ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿವೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದ ಪುಸ್ತಕವೆಂದರೆ ಆಲಿವರ್ ಹೆವಿಸೈಡ್ನ 1899ರ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ, ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆ ಇತ್ತು. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಮಗ್ರ ಕಾರ್ಯವು, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವ ಇತರ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು (ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯ ಲಕ್ಷಣದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನ. ಇದು ದುರ್ಬಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. 1920ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 1930ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಭವಿಷ್ಯದ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಾಲ್ ಡಿರಾಕ್ ಅವರು ಧೈರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಅವರ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಒಂದು ಅಂಶ); ಇದು ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು (ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಂತಹವು) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಾಗಿತ್ತು. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಸೊಬೋಲೆವ್, ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊದಲ ಸಮರ್ಪಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಇತರರು ಸಾಲೊಮನ್ ಬೋಚ್ನರ್ ಮತ್ತು ಕರ್ಟ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್. ಸೊಬೋಲೆವ್ ಅವರ ಕೃತಿಯನ್ನು ಲಾರೆಂಟ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಅವರು ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಅನೇಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವೆಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಅಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು ಲಾರೆಂಟ್ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ವಿತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿತ್ತು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಇದನ್ನು ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರತಿಸ್ಪರ್ಧಿ ಎಂದರೆ ಸುಗಮ ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ('ಜೇಮ್ಸ್ ಲೈಟ್ಹಿಲ್' ವಿವರಣೆ), ಇದು ಹೆಚ್ಚು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮೋಲಿಫೈಯರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹಳ ಯಶಸ್ವಿಯಾಯಿತು ಮತ್ತು ಈಗಲೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ನ್ಯೂನತೆಯಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಬಹಳ ವಿಶೇಷವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ): ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅವು ಬೀಜಗಣಿತವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವರ್ಗಗೊಳಿಸುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಲ್ಲ. 1954ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಅದು ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ತೋರಿಸಿತು. ಗುಣಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಯು ನೀಡಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವಾದ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಮತ್ತು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ವಿ. ಎಗೊರೊವ್ (ಕೆಳಗಿನ ಪುಸ್ತಕದ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಡೆಮಿಡೋವ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿರುವ ಅವರ ಲೇಖನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ) ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಪಥ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಗುಣವನ್ನು ಪಥದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದು ಎಚ್. ಕ್ಲೈನರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಎ. ಚೆರ್ವಿಯಾಕೋವ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಆಯಾಮದ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಏನನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಹಲವಾರು ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇತರವುಗಳಲ್ಲಿ ಯು. ಎಮ್. ಶಿರೊಕೋವ್ ಮತ್ತು ಇ. ರೋಸಿಂಗರ್, ವೈ. ಎಗೊರೊವ್ ಮತ್ತು ಆರ್. ರಾಬಿನ್ಸನ್ ಅವರಿಂದ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯದ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಸೂಕ್ತ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ನಿಯಮವು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸ್ಥಳ ಎರಡಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅಂತಹ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಏಕತೆಯಾಗಿದೆ (ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ). ಏಕವಚನ ಭಾಗಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು () ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,. ಅಂತಹ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲದೆ) ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂವಹನವಲ್ಲದ್ದುಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಸಿಗ್ನಮ್ ಮತ್ತು ಡೆಲ್ಟಾ ಆಂಟಿಕಮ್ಯೂಟ್. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ-ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯು, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ವಿತರಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಂಭೀರವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂದು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸರಳವಾದದ್ದು ಯು ನೀಡಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ವಿ. ಎಗೊರೊವ್. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವು ಜೆ. ಎಫ್. ಕೊಲಂಬಿಯೋನ ರಚನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆಃ ಕೊಲಂಬಿಯೋನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ನೋಡಿ. ಇವು ಕಾರ್ಯಗಳ "ಮಧ್ಯಮ" ಮಾಡ್ಯುಲೋ "" ನಗಣ್ಯ "ಜಾಲಗಳ ಅಂಶ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ" ಮಧ್ಯಮತೆ "ಮತ್ತು" ನಿರ್ಲಕ್ಷ್ಯ "ಕುಟುಂಬದ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಕೊಲೊಂಬಿಯು ಬೀಜಗಣಿತ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎನ್, ಮೇಲೆ ಬಹುಪದ ಮಾಪಕವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಅರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ (ಇ, ಪಿ), ಅಂಶದ ಸ್ಥಳವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, (ಇ, ಪಿ) = (ಸಿ, |. |) ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ (ಇದು "ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು" ಮತ್ತು "ಅನಂತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ" ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಕಠಿಣ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ). (E, P) = (C ≤ (R), {pk}) ಗೆ (ಇಲ್ಲಿ pk ಎಂಬುದು k ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ k ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯಾಗಿದೆ) ಒಬ್ಬರು ಕೊಲೊಂಬಿಯೋನ ಸರಳೀಕೃತ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗಳ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಜೆ (ಟಿ) = (φn ≤ ಟಿ) ಎನ್ + ಎನ್ ಮೂಲಕ ಡಿ 'ಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ≤ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, ಮತ್ತು φn (x) = n φ (ಎನ್ಎಕ್ಸ್). ಈ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಅಲ್ಲದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಇದು ಮೋಲಿಫೈಯರ್ φ ನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದ C φ ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು 0 ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಪಡೆಯಲು, ಇಂಡೆಕ್ಸಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎನ್ × ಡಿ (ಆರ್) ಎಂದು ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ಡಿ (ಆರ್) ಮೇಲೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಫಿಲ್ಟರ್ ಬೇಸ್ (ಕ್ಯೂ ಆದೇಶದವರೆಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕ್ಷಣಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು). ಶೀಫ್ ರಚನೆಯು (ಇ, ಪಿ) ಕೆಲವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ (ಪೂರ್ವ-) ಶೀಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜಿಎಸ್ (ಇ, ಪಿ) ಸಹ ಈ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಿರ್ಬಂಧದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯದ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಃ ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆ {0} ಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ (ಕಾರ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಡಿಯ ಪೂರಕ). ಸಬ್ಶೀಫ್ ಇಗೆ (ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ (ಸ್ಥಿರ) ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಬಳಸಿ ಹುದುಗಿಸಲಾಗಿದೆ), ಒಬ್ಬರು ಏಕವಚನ ಬೆಂಬಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವು ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಂಪಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ (ಇ = ಸಿ ಐ). ಮೈಕ್ರೋಲೋಕಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ (ಘಟಕವಾರು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿತರಣೆಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ರಚನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಲಾರ್ಸ್ ಹಾರ್ಮಂಡರ್ನ ತರಂಗ ಮುಂಭಾಗದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಏಕತ್ವಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇತರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಇವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಜಾನ್ ಮಿಕುಸಿನ್ಸ್ಕಿಯ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಕ್ವೋಶೆಂಟ್ ಥಿಯರಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ; ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ (ಅವುಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ), ಮತ್ತು ಈಗ ಶೀಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿವೆ. ಭೌಗೋಳಿಕ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಬ್ರುಹಾಟ್, ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವು, ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್-ಬ್ರುಹಾಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಈಗ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಹೋಗುತ್ತವೆ. ಅನ್ವಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಡೆಲಿಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ. ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಈ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಟೇಟ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆದರು, ಆದರ್ಶ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಝೀಟಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದರು; ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎಲ್-ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವಿಭಾಗವು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ನಯವಾದ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವಿಭಾಗಗಳು. ಇದು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಪರೀಕ್ಷಾ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಂಡಲ್ನ ನಯವಾದ ವಿಭಾಗಗಳು. ಅತ್ಯಂತ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂದರೆ ಡಿ ರಾಮ್ ಪ್ರವಾಹಗಳು, ಅವಳಿ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇವು ಏಕರೂಪದ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿವೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಬೆಪ್ಪೋ-ಲೆವಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ (ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್) ಹೈಪರ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ಆಫ್ ದಿ ಇಂಡಿಕೇಟರ್ ರಿಗ್ಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಲಿಮಿಟ್ ಆಫ್ ಎ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಬುಕ್ಸ್ ಸಂಪುಟವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. 2. ಎಚ್. ಕೊಮಾಟ್ಸು, ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ದಿ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಇವಾನಾಮಿ ಶೋಟೆನ್, ಟೋಕಿಯೊ, 1983. (ಆನ್ಲೈನ್ ಇಲ್ಲಿ). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗಾಗಿ 11ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು