Semidirect product
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಎರಡು ನಿಕಟವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆಃ ಆಂತರಿಕ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು. ಹೊರಗಿನ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಹೊಸ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಂತೆಯೇ, ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಮಾನತೆ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಶೂರ್-ಝಾಸ್ಸೆನ್ಹೌಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು ವಿಭಜನೆ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಗುರುತಿನ ಅಂಶ, ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಇದು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಅನನ್ಯ ಮತ್ತು ಅಂತಹವುಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಅನನ್ಯ ಮತ್ತು ಅಂತಹವುಗಳಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮತ್ತು ಅಂಶ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಏಕರೂಪತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಗುರುತು ಮತ್ತು ಅದರ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಜಿತ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ (ಇದನ್ನು ಬೈ ನ ಗುಂಪು ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಅವುಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದರೆ), ನಾವು ಮತ್ತು, ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಅಥವಾ ಅಥವಾ ವಿಭಜಿತವಾದ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ; ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಮತ್ತು ನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಹ ಒಬ್ಬರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಯಾವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಒಂದು ಗುಂಪು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪಿಗೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ). ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಷರತ್ತುಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಇದು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಇನ್ ಮತ್ತು ಇನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ನಾವು ನಂತರ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಆಂತರಿಕ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆಂತರಿಕ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈಗ ನಾವು ಹೊರಗಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ಹೊಸ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವು ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಜೋಡಿಗಳು ಉಪಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪೂರ್ಣ ಗುಂಪು ಈ ಹಿಂದೆ ನೀಡಲಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವೂ ಇರುವ ಮತ್ತು ಇರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೀಡಲಾದ ಏಕರೂಪತೆ (ಲಿಖಿತ) ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಅಪೂರ್ವತೆಯಿಂದಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಫಾರ್ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಎಪೀಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮತ್ತು ಮೊನೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಕಳುಹಿಸುವುದು) ಆಗ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಭಜಿತ ಲೆಮ್ಮಾದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಒಂದು ಗುಂಪು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಇಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಲಾಗದ ಅಂಶವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಹೀಗಿದೆಃ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಜನರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಂದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಮತ್ತು ಕೋಪ್ರೈಮ್, ಮತ್ತು; ಅಂದರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತಿಃ ಕೋಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಃ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪದ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫ್ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಗೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಗುಂಪಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫ್. ಇದನ್ನು ಗುಂಪಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಚನೆಯ ನಕ್ಷೆಯು ಆನ್ ನ ಸರಿಯಾದ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಗುಣಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಕ್ಲೈನ್ ಬಾಟಲಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು, ಅಂದರೆ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪು, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಏಕಕೋಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆನ್ ನ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸೆಟ್ ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದು ಪ್ರೇರಿತ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪು ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಚಲನೆಗಳ (ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳು) ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗುಂಪು (ನಕ್ಷೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ (ಇದು ಅನುವಾದಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ (ಇದು ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಡುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ) ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅನುವಾದವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಮೊದಲು ತಿರುಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ತಿರುಗಿಸಲಾದ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಅನುವಾದ ವಾಹಕದಿಂದ ಅನುವಾದವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಮೂಲ ಅನುವಾದದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು). ಇದು ಅನುವಾದಗಳ ಗುಂಪು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗುಂಪು ಅನುವಾದ ಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು O (n) ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪು (ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಡುವ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಸೆಟ್) ಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು. ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಡುವ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಇನ್ವೊಲ್ಯುಷನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್), ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ H ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಗುರುತು ಅಲ್ಲ) ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ (3-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವುಗಳ "ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರ" ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅರೆ-ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ (ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು), ಮತ್ತು ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುಂಪುಗಳು ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸ್ಫಟಿಕದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಬಿಂದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅನುವಾದ ಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳು ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಅವುಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಡಕುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲದವು ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸರಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವುಗಳನ್ನು ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಬೈ ನ ವಿಭಜಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೂ, ಅಂತಹ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಹಾರದ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. Z4 ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಸರಳವಾದ ಗುಂಪಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು 2ನೇ ಕ್ರಮದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಭಾಗವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯಿದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಆ ಗುಂಪು ಸಮರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆ 8 ಎಂಟು ಚತುಷ್ಕೋಣಗಳ ಗುಂಪು ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು, ಇನ್ನೂ ವಿಭಜನೆಯಾಗದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ರಚಿಸಿದ ಆದೇಶದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಊಹಾತ್ಮಕ ನಿಖರವಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿರಬೇಕುಃ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಈ ಎರಡೂ ಗುಂಪುಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಗುಂಪು ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಈ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದಿರುವುದನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು, ಆದರೆ ಮೂರು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕ್ರಮವು ಮತ್ತು ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮತ್ತು ನ ಹೊರಗಿನ ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕರ್ನಲ್ನೊಂದಿಗಿನ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಾದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮತ್ತು ನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂಶ ಗುಂಪುಗಳು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಏಕರೂಪತೆಯ ಮೂಲಕ (ಸರಿಯಾದ) ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಂದಿಗೂ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಪೂರ್ವತೆ (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು) ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಲ್ಲ; ಎರಡೂ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 16ನೇ ಕ್ರಮದ ನಾಲ್ಕು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಅವು ಮತ್ತು; ನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ನಾಲ್ಕು ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇತರ ಮೂರು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆಃ 16ನೇ ಕ್ರಮದ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು, 16ನೇ ಕ್ರಮದ ಕ್ವಾಸಿಡಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು, 16ನೇ ಕ್ರಮದ ಇವಾಸಾವಾ ಗುಂಪು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 24ನೇ ಕ್ರಮದ ಒಂದು ಗುಂಪು ಇದೆ (4ನೇ ಕ್ರಮದ ಆರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 6ನೇ ಕ್ರಮದ ಆರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಗುಂಪು) ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಚಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಕೆಲವು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವು ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಹಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಶೂರ್-ಜಾಸೆನ್ಹೌಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಷುರ್-ಜಾಸೆನ್ಹೌಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು 6ನೇ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವೆ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಷುರ್-ಝಾಸ್ಸೆನ್ಹೌಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು 4ನೇ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಥವಾ ಉದಾಹರಣೆಗೆ 8ನೇ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಳಗೆ, ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಬಹುದು. ಗುಂಪುಗಳ ಜಪ್ಪಾ-ಸೆಪ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉಂಗುರಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಚನೆಯೂ ಇದೆ. ಇದನ್ನು ಗುಂಪುಗಳ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಗುಂಪು ವಲಯದಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಿಂಗ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಇದೆ; ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂವಹನಶೀಲವಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅರೆ-ಪರೋಕ್ಷ ಉತ್ಪನ್ನವು ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ನಂತರದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ತಂತ್ರಗಳ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಅಲೈನ್ ಕಾನ್ನೆಸ್ ಅವರು ಸಮರ್ಥಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಸಿ. ಎಫ್. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ರಚನೆಯ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆನ್ (ಗುಂಪನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು, ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ರಚನೆ) ಕ್ರಿಯೆಯು H ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ನಿಂದ (ಒಂದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ *, ಅದರ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು H) ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ (ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಂಪು) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸಿದರೆ ಅದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ನಂತರ ಕಕ್ಷೆಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂಲಭೂತ ಸಮೂಹವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಪುಸ್ತಕದ 11ನೇ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಎನ್ಕ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ನಲ್ಲಿ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗದಂತಹ ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಜಿತ ಲೆಮ್ಮಾವು ಪ್ರತಿ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಎಂಬ ವರ್ಗದ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ಸಂಯೋಗದಿಂದ) ಅಥವಾ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳು ಈ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಪಗುಂಪು () ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ () ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಬ್ಯಾರಿ ಸೈಮನ್, ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಯುನಿಕೋಡ್ ನಾಲ್ಕು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆಃ {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್"! ! ! ಮೌಲ್ಯ! ! ಮ್ಯಾಥ್ಎಂಎಲ್! ! ಯೂನಿಕೋಡ್ ವಿವರಣೆ |-| | | U + 22C9 | | ಕ್ಷಣಗಳು | | ಎಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಧ್ಯಮ ಉತ್ಪನ್ನ |-| U + 22CA | | ಸಮಯಗಳು | | ಸರಿಯಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಧ್ಯಮ ಉತ್ಪನ್ನ |-| U + 22CB | | lthri | | ಎಡ ಮಧ್ಯಮ ಉತ್ಪನ್ನ |-| U + 22CC | | rthri | ಸರಿಯಾದ ಮಧ್ಯಮ ಉತ್ಪನ್ನ | ಲಾಟೆಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಕಮಾಂಡ್ಗಳ ಸಮಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಯಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಎ. ಎಂ. ಎಸ್. ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಅನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡುವುದರೊಂದಿಗೆ, 'ಲೆಫ್ಟ್-ಸ್ಟ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ಸ್' ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 'ರೈಟ್-ಸ್ಟ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ಸ್' ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಇದು ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಮೊತ್ತ ಸಬ್ಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಹೂಮಾಲೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಜಪ್ಪಾ-ಸ್ಜೆಪ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗುಂಪು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಒಂದು ವರ್ಗೀಯ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗಿದೆ.