Natural deduction
ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತವು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪುರಾವೆ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು "ನೈಸರ್ಗಿಕ" ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ತೀರ್ಮಾನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಶೈಲಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬದಲಿಗೆ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್, ಫ್ರೆಜ್ ಮತ್ತು ರಸ್ಸೆಲ್ (ನೋಡಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ) ಅವರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಅಸಮಾಧಾನದ ಸನ್ನಿವೇಶದಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತವು ಬೆಳೆಯಿತು. ಅಂತಹ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಗಳನ್ನು ರಸ್ಸೆಲ್ ಮತ್ತು ವೈಟ್ಹೆಡ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಗಣಿತದ ಗ್ರಂಥವಾದ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. 1926 ರಲ್ಲಿ ಪೋಲೆಂಡ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಲುಕಾಸಿವಿಕ್ಜ್ ಅವರ ವಿಚಾರಗೋಷ್ಠಿಗಳ ಸರಣಿಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ, ಜಾಸ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಹೆಚ್ಚು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು, ಮೊದಲು 1929 ರಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ 1934 ಮತ್ತು 1935 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಿದರು. ಅವರ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು ಫಿಚ್-ಶೈಲಿಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಅಥವಾ ಫಿಚ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು) ಅಥವಾ ಸ್ಯೂಪ್ಸ್ ವಿಧಾನದಂತಹ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದವು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಮ್ಮನ್ ಎಲ್. ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಡಿಡಕ್ಷನ್ ಎಂಬ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ 1933 ರಲ್ಲಿ ಗೊಟ್ಟಿಂಗನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಬೋಧಕವರ್ಗಕ್ಕೆ ನೀಡಿದ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಡಿಡಕ್ಷನ್ (ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ಅದರ ಜರ್ಮನ್ ಸಮಾನವಾದ ನ್ಯಾಚುರ್ಲಿಚೆಸ್ ಶ್ಲೀಬೆನ್) ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಲಾಯಿತುಃ ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಬಯಕೆಯಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು. ಸ್ಥಿರತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅವರಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ, ಕಟ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಪ್ರಮೇಯ-ಹಾಪ್ಸಟ್ಜ್-ನೇರವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕಾಗಿ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾದ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಹಾಪ್ಸಟ್ಜ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1961 ಮತ್ತು 1962ರ ವಿಚಾರಗೋಷ್ಠಿಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾವಿಟ್ಜ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಗ್ರ ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಾಗಿಸಿದರು. ಅವರ 1965 ರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಡಿಡಕ್ಷನ್ಃ ಎ ಪ್ರೂಫ್-ಥಿಯರಿಟಿಕಲ್ ಸ್ಟಡಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡಿಡಕ್ಷನ್ ಕುರಿತು ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ಕೃತಿಯಾಗಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಮೋಡಲ್ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಡ್-ಆರ್ಡರ್ ತರ್ಕದ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ, ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆವರಣಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಾವಿಟ್ಜ್ ಅವರ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಅವರ ತಾರ್ಕಿಕ ತೀರ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಕಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನಿಕಟವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ತೀರ್ಪುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು ಒಂದು ತೀರ್ಪು ಎಂಬುದು ತಿಳಿವಳಿಕೆಯುಳ್ಳ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಜ್ಞಾನದ ವಸ್ತು. ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ" ಎಂಬುದು ಒಂದು ತೀರ್ಪು, ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವವರಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಿಟಕಿಯ ಹೊರಗೆ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಮನೆಯಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಮೂಲಕ ತೀರ್ಪಿನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಕ್ಷ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲಭೂತ ಸ್ಪಷ್ಟ ತೀರ್ಪುಗಳಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಕಡಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಅದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ತೀರ್ಪು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಪುಗಳು "ಎ ನಿಜ" ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಎ ಅಕ್ಷರವು ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಸತ್ಯದ ತೀರ್ಪುಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಚೀನ ತೀರ್ಪಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆಃ "ಎ ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆ". ಅನೇಕ ಇತರ ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಎ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ" (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರ್ಕವನ್ನು ನೋಡಿ), "ಎ ಸಮಯ ಟಿ ನಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ" (ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ತರ್ಕವನ್ನು ನೋಡಿ), "ಎ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ" ಅಥವಾ "ಎ ಪ್ರಾಯಶಃ ನಿಜವಾಗಿದೆ" (ಮಾದರಿ ತರ್ಕವನ್ನು ನೋಡಿ), "ಎಂ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಟೈಪ್ τ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ" (ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೋಡಿ), "ಎ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳಿಂದ ಸಾಧಿಸಬಹುದು" (ರೇಖೀಯ ತರ್ಕವನ್ನು ನೋಡಿ), ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ. ಮೊದಲಿಗೆ, "ಎ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆ" ಮತ್ತು "ಎ ಎಂಬುದು ನಿಜ" ಎಂಬ ಎರಡು ಸರಳವಾದ ತೀರ್ಪುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಚಿಂತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ "ಎ ಪ್ರಾಪ್" ಮತ್ತು "ಎ ಟ್ರೂ". ತೀರ್ಪು "ಎ ಪ್ರೋಪ್" ಎ ಯ ಮಾನ್ಯ ಪುರಾವೆಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ತೀರ್ಪಿನ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, "ಎ ಪ್ರೋಪ್" ಮತ್ತು "ಬಿ ಪ್ರೋಪ್" ಎಂಬ ತೀರ್ಪುಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ), ಆಗ ನಾವು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಸಂಯುಕ್ತ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ "" ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿಸಲು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮವು ಯೋಜನಾಬದ್ಧವಾಗಿದೆಃ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ತ್ವರಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದು ತೀರ್ಪು ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮವನ್ನು "ಹೆಸರು" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ಆವರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವವುಗಳು ತೀರ್ಮಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳೆಂದರೆ ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ (), ನಿರಾಕರಣೆ (), ಸೂಚ್ಯಂಕ (), ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾದ ಸತ್ಯ () ಮತ್ತು ಸುಳ್ಳು (). ಅವುಗಳ ರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ಈಗ ನಾವು "ಒಂದು ನಿಜವಾದ" ತೀರ್ಪನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ತೀರ್ಮಾನದಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಗಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ಅಂದರೆ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳಿಗೆ "ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಿಜ" ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು, "ಎ ನಿಜ" ಮತ್ತು "ಬಿ ನಿಜ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮದಂತೆಃ ಅಂತಹ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ನಿಯಮವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಒಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆಃ ಇದನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರಚನೆಯ ನಿಯಮದಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಹಿಂದಿನ ರೂಪದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಆವರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು "ಪ್ರೋಪ್" ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ. ಶೂನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಆವರಣದಿಂದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯೋಜಕವು ಅನೇಕ ಪರಿಚಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಶೂನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಸುಳ್ಳುಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಚಯ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಸರಳವಾದ ತೀರ್ಪುಗಳಿಂದ ಸುಳ್ಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪದ ಬಗೆಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ಘಟಕಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನಾಗಿ ಹೇಗೆ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳು ಪರಿಚಯದ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, "ಎ ಬಿ ಟ್ರೂ" ನಿಂದ, ನಾವು "ಎ ಟ್ರೂ" ಮತ್ತು "ಬಿ ಟ್ರೂ" ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದುಃ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳ ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಸಂಯೋಗದ ಸಂವಹನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎ. ಬಿ. ಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಿ. ಎ. ಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ; ಕಡಿಮೆ ತೀರ್ಮಾನದ ಆವರಣವು ಮುಂದಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೀರ್ಮಾನದ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೋಡಿದ ತೀರ್ಮಾನದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಪರಿಚಯ ಅಥವಾ ವಿಭಜನೆಯ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೇಳಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಮಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಊಹಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಊಹೆಗಳ ತರ್ಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಈ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಬಿ ಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಬದಲಿಗೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಎ (ಬಿ) ಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, "ಎ (ಬಿ) ಯು ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಬಿ ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ" ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಬಿ ನಿಜ" ಎಂಬ ತೀರ್ಪು "ಎ (ಬಿ) ಯು ನಿಜ" ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾದ ತೀರ್ಪನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆಃ "ಬಿ ಟ್ರು ಎಂಬುದು ಎ ಱ್ (ಬಿ ಱ್ ಸಿ) ಟ್ರು ನಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ". ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ "ಬಿ ಟ್ರೂ" ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು "ಎ (ಬಿ) ಟ್ರೂ" ನಿಂದ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ಆದ್ಯತೆಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆಃ ಪ್ರತಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ (ಡಿಐ) ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಯಶಸ್ವಿ ತೀರ್ಪು (ಜೆ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವರಣವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿರಬಹುದು. (ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ತೀರ್ಪನ್ನು ಆಧಾರವಿಲ್ಲದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.) ಊಹಾತ್ಮಕ ತೀರ್ಪಿನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಒಳನೋಟದ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ನಿಯಮಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಪರಿಚಯದ ನಿಯಮದಲ್ಲಿ, ಯು ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಪೂರ್ವವರ್ತಿಯನ್ನು ತೀರ್ಮಾನದಲ್ಲಿ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಊಹೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಾಗಿದೆಃ ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಏಕೈಕ ಕಾರಣವೆಂದರೆ "ಬಿ ಟ್ರು" ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು; ಇದನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಪರಿಚಯದ ಕೆಳಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "A′ (B′ (A′B)) ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಈ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅತೃಪ್ತಿಕರ ಆಧಾರಗಳಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉಪ-ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳು ಊಹಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "B′ (A′B) ಟ್ರೂ" ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಪೂರ್ವವರ್ತಿ "A ಟ್ರೂ" (ಯು ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ) ನೊಂದಿಗೆ ಊಹಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಈಗ ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎ ಬಿ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಾವು "ಎ ಟ್ರೂ" ಮತ್ತು "ಬಿ ಟ್ರೂ" ಎರಡರಿಂದಲೂ "ಸಿ ಟ್ರೂ" ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಆಗ ಸಿ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಯಮವು "ಎ ಟ್ರೂ" ಅಥವಾ "ಬಿ ಟ್ರೂ" ಎರಡಕ್ಕೂ ಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಶೂನ್ಯ-ಏರಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಸುಳ್ಳುತನಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸುಳ್ಳುತನವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಸಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ನಿರಾಕರಣೆಯು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯದ ನಿಯಮವು ಊಹೆಯ ಹೆಸರು ಯು, ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪಿ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಪಿ ಎ ತೀರ್ಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಾರದು. ಈ ನಿಯಮಗಳು ಯೋಜನಾಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಚಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆಃ "ಎ ಟ್ರೂ" ನಿಂದ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗೆ "ಪಿ ಟ್ರೂ" ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಆಗ ಎ ಫಾಲ್ಸ್ ಆಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, "ಎ ಟ್ರೂ ಅಲ್ಲ". ನಿರ್ಮೂಲನೆಗೆ, ಎ ಮತ್ತು ಎ ಎರಡೂ ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಸಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ನಿರಾಕರಣೆಯ ನಿಯಮಗಳು ತುಂಬಾ ಹೋಲುತ್ತವೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಎ ಮತ್ತು ಎ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರತೆ, ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸುಳ್ಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ (ಯಾವುದೇ ಊಹೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕದ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಅದರ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದು ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇವು ಸಂಪೂರ್ಣ ತರ್ಕದ ಬಗೆಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿಯ ಕೆಲವು ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಥಿರತೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ, ಅವು ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮನವಿಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಸ್ಥಳೀಯ ಸ್ಥಿರತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಯೋಜಕದ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಅದರ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಿಂದ ಈ ಅಡ್ಡದಾರಿ ಇಲ್ಲದೆ ಸಮಾನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿಯಂತ್ರಣವಾಗಿದೆಃ ಅವು ತಮ್ಮ ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಇಲ್ಲದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಷ್ಟು ಪ್ರಬಲವಾಗಿರಬಾರದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಯೋಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯು ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದು ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಅದರ ಪರಿಚಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವಷ್ಟು ಪ್ರಬಲವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ ಸಂಯೋಗಗಳಿಗೆಃ ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಕರಿ-ಹೋವರ್ಡ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ β-ಕಡಿತ (ಬೀಟಾ ಕಡಿತ) ಮತ್ತು η-ಪರಿವರ್ತನೆ (ಇಟಾ ಪರಿವರ್ತನೆ) ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯಿಂದ, ಪ್ರತಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಸಮಾನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ತೆಗೆದುಹಾಕುವಿಕೆಯ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಪರಿಚಯಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ಗಳು ಪರಿಚಯಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಾನವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಕೇವಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತವನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಷ್ಟ, ಆದರೂ ಅಂತಹ ಖಾತೆಗಳು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ 1961 ರಲ್ಲಿ ಡಾಗ್ ಪ್ರವಿಟ್ಜ್ ಅವರಿಂದ. ಕಟ್-ಫ್ರೀ ಸೀಕ್ವೆಂಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ತೋರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ತರ್ಕವು ಏಕ-ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತರ್ಕಃ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು. ಈ ಸರಳ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಅನೇಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ; ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಸ ರೀತಿಯ ತೀರ್ಪನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, "ಟಿ ಒಂದು ಪದ" (ಅಥವಾ "ಟಿ ಪದ") ಅಲ್ಲಿ ಟಿ ಯೋಜನಾಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ V ಅನ್ನು, ಫಂಕ್ಷನ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ F ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯ ಮೂರನೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ P ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆಯ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಮಾಣು ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ರಚನೆಯ ಮೊದಲ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಆ ಅಧ್ಯಯನ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗಮನವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕಿಂತ ಸಾಕಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ರಚನೆಯ ಮೂರನೇ ನಿಯಮವು ಪರಮಾಣು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ; ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ (ಿಲೀ) ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ (HE) ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದುಃ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪರಿಮಾಣಕವು ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಪರಿಮಾಣಕವು ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಈ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತ [t/x] A ಎಂದರೆ ಸೆರೆಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಮೂಲಕ Aಯಲ್ಲಿ xನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು (ಗೋಚರ) ನಿದರ್ಶನಕ್ಕೆ t ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಹೆಸರಿನ ಮೇಲಿನ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳು ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆಃ ಎ ಎಂಬ ಪದವು ಐಜೆನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಐಜೆನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಎಚ್. ಇ. ಇ. ಯಲ್ಲಿ ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಎಂಬ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ತರ್ಕವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ತರ್ಕವು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆಃ ಅವು ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ. ಉನ್ನತ-ಶ್ರೇಣಿಯ ತರ್ಕವು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸಿದಂತೆ ಅದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಚರ್ಚೆಯು ಈ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕಗಳ ನಡುವೆ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕವು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ವಿವಿಧ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು ಟ್ರೀ-ರೀತಿಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸುವ ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ನ ವಿಸರ್ಜನೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಿಜವಾದ ತೀರ್ಪುಗಳ ಮರದ ಬದಲು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ಬಗೆಗಿನ ಜಾಶ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು ಫಿಚ್-ಶೈಲಿಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಅಥವಾ ಫಿಚ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು) ಅಥವಾ ಸ್ಯೂಪ್ಸ್ ವಿಧಾನದಂತಹ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದವು, ಅದರಲ್ಲಿ ಲೆಮ್ಮನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಲ್ ಎಂಬ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅಂತಹ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. 1940: ಒಂದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಕ್ವೈನ್, ಸಪೆಸ್ನ 1957ರ ಸಾಲು-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾ, ಚೌಕಾಕಾರದ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದನು. 1950: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಕ್ಷತ್ರಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಯಿತು. ಇದು ಕ್ಲೀನ್ನ ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಕ್ವೈನ್ರ ನಕ್ಷತ್ರ ಚಿಹ್ನೆ 1950ರ ಮೂಲ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ನಂತರದ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ.) 1957: ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರ್ಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಚಯವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಇದು ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು). 1963: ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮ ತಾರ್ಕಿಕ ವಾದಗಳ ಸಾಲುಗಳ ಪೂರ್ವ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. 1965: ಈ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಸ್ಯೂಪ್ಸ್ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ತರ್ಕ ಪುರಾವೆಗಳ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. 1967: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರ್ಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಯಿತು, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವವರ್ತಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾದ ಪಟ್ಟಿ-ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಪುರಾವೆಯ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡದೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರೂಫ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ (ಕೆಲವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ವಿ ಸೆಟ್ನಿಂದ) ಲೇಬಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಪ್ರೂಫ್ನಿಂದ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಗಳನ್ನು ಅಲಂಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪೂರ್ವವರ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಟರ್ನ್ಸ್ಟೈಲ್ () ಮೂಲಕ ಸಕ್ಸೀಡೆಂಟ್ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾರ್ಪಾಡು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಅವುಗಳ ನಿಖರವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಜಾತ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪ್ರೂಫ್-ಲೆಸ್ ತೀರ್ಪು "ಎ ಟ್ರು" ನಿಂದ ತೀರ್ಪಿನತ್ತ ಸಾಗುತ್ತೇವೆಃ "π ಎಂಬುದು (ಎ ಟ್ರು) ನ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ", ಇದನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ "π: ಎ ಟ್ರು" ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, "π ಪ್ರೂಫ್" ತೀರ್ಪುಗಾಗಿ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ವಂತ ರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಊಹೆಯ ಬಳಕೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯು ಲೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೀರ್ಪು ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿಜವೆಂದು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, "ಎಃ ಎ" ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ. ಸ್ಪಷ್ಟ ಪುರಾವೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಮರುಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಸಂಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಯೋಗದ ಪುರಾವೆಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಪರಿಚಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆಃ ಅವು ಎರಡು ಸಂಯೋಗಗಳ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪುರಾವೆಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ಹೀಗಾಗಿಃ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ನಿಯಮಗಳು ಇ1 ಮತ್ತು ಇ2 ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಪುರಾವೆಗಳು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ-ಮೊದಲ (ಎಫ್ಎಸ್ಟಿ) ಮತ್ತು ಎರಡನೇ (ಎಸ್ಎನ್ಡಿ). ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕಾಗಿ, ಪರಿಚಯದ ರೂಪವು ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ಥಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು λ ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ; ಇದು ಬಿಡುಗಡೆಯಾದ ಲೇಬಲ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿಯಮದಲ್ಲಿ, " ತಾಇ, ಯುಃ ಎ" ಎಂದರೆ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, ಜೊತೆಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಲ್ಪನೆ ಯು. ಪುರಾವೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿರುವಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಪುರಾವೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ತರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಊಹೆಗೆ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ತೀರ್ಪಿನ ಆಳದ (ಅಥವಾ ರಚನೆ) ಮೇಲೆ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ವೇಳೆಃ ಎ ಮತ್ತು ಎ, ಯುಃ ಎಃ π2: ಬಿ, ಆಗಃ ಬಿಃ ಬಿ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, "ಎ" ತೀರ್ಪು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಸ್ತುಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಗಣನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಈಗ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಲಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರೂಫ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ "π: A" ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ "ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ π ಎ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ". ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಯೋಜಕಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಓದುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ (×) ಎಂದು ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸೂಚಿತ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಾಣ (→), ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಕೇವಲ ಸೌಂದರ್ಯವರ್ಧಕವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ರಚನೆ, ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ನಿಯಮಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಓದುಗನು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸರಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಂದ (ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು) ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿಗೆ (ಪುರಾವೆಗಳು) ಗಮನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳ ಪರಿವರ್ತನೀಯತೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಧಕ್ಕೂ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಆ ರೀತಿಯ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿವೆ; ಇವುಗಳನ್ನು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪಗಳು ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದು (ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದು) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಲವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅಪರೂಪದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಪಂಚದಿಂದ ದೊಡ್ಡ ನಿರ್ಗಮನವಾಗಿದೆ. (ಬಹುತೇಕ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ಸಮಾನವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.) ಕಾರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸಲುಃ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಎಂದಿಗೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ; ಅಂತಹ ಲೂಪಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಲೂಪಿಂಗ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಪ್ರಕಾರವು ಡಿಡಿ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ "ಡಿಡಿ ನಿಜ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ; ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಪುರಾವೆಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆಃ ಒಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ತರ್ಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ತರ್ಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ತರ್ಕದಂತೆಯೇ, ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮದ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನೇಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಒಂದು ಶಾಖೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ನೆರವಿನ ಪುರಾವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು β ಮತ್ತು HE ಬದಲಿಗೆ β ಮತ್ತು β ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಈ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಾಣ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳ ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹಳ ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಭಾವ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯು ಕಡಿದಾದ ಬೆಲೆಗೆ ಬರುತ್ತದೆ-ಟೈಪ್ ಚೆಕಿಂಗ್ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ (ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಷನಲ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ), ಅಥವಾ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಷನಲ್ ರೀಸನಿಂಗ್ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ (ಇಂಟೆನ್ಷನಲ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಕೆಲವು ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಡೊಮೇನ್ನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು. ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಪ್ರಕಾರಗಳು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವುದರಿಂದ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಪ್ರಕಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದು ಕೇಳಲು ಸಹಜವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಹಲವು ರೀತಿಯ ಉತ್ತರಗಳಿವೆ. ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪಾಲಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುವುದು; ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳಿವೆಃ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಿಡಿಕೇಟಿವ್ ಪಾಲಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ; ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಸುಕಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಇಂಪ್ರೆಡೆಟಿವ್ ಪಾಲಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಬಹುರೂಪತೆಯ ವಿವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದದ್ದು ಹೆಂಕ್ ಬರೆಂಡ್ರೆಗ್ನ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯೂಬ್. ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಛೇದನವು ವಿಶಾಲವಾದ ಮತ್ತು ಸಕ್ರಿಯ ಸಂಶೋಧನಾ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೊಸ ತರ್ಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಚೌಕಟ್ಟು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಲ್ಎಫ್ನಂತಹ ಜನಪ್ರಿಯ ಆಧುನಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮ ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕತೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶಕ್ತಿಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವಿನಿಮಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೆಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ವಿಧಾನದ ಬಹುಮುಖತೆಗೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ತರ್ಕಗಳು ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ತರ್ಕಗಳು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಕೂಡಿವೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತರ್ಕವು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯದ ತತ್ವದೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗೆ p, ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಪರಿಚಯ ಅಥವಾ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಲ್ಲ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಯೋಜಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ನ ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯದ ಮೂಲ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು (ಸಮಾನ) ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಈಗಾಗಲೇ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಹೇಯ್ಟಿಂಗ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾದೃಶ್ಯದ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದವುಃ (XM3 ಕೇವಲ ಇ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ XM2 ಆಗಿದೆ.) ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯದ ಈ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು, ಶುದ್ಧತಾವಾದಿಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಆಕ್ಷೇಪಾರ್ಹವಾಗುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತೊಡಕುಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ನಿಯಮಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಮೊದಲು 1992 ರಲ್ಲಿ ಪಾರಿಗೋಟ್ ಅವರು λμ ಎಂಬ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಅವರ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಒಳನೋಟವೆಂದರೆ ಸತ್ಯ-ಕೇಂದ್ರಿತ ತೀರ್ಪು ಎ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಇದು ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಎ ಬದಲಿಗೆ, ಅವರು γ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು, γ ಗೆ ಹೋಲುವ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಸಂಗ್ರಹದೊಂದಿಗೆ. ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅನುಕ್ರಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಿಯಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಎತ್ತಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಐಎಸ್ಪಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವಂಶಸ್ಥರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾಲ್ಸಿಸಿ ಅಥವಾ ಥ್ರೋ/ಕ್ಯಾಚ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ಪುರಾವೆಗಳಿಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವುದು λμ ನಲ್ಲಿನ ನಾವೀನ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. (ಇದನ್ನೂ ನೋಡಿಃ ಪ್ರಥಮ ದರ್ಜೆ ನಿಯಂತ್ರಣ.) ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕೇವಲ ಸತ್ಯದ ಮೂಲಭೂತ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿ ಮತ್ತು ಇತರ ತರ್ಕಗಳಿಗೆ ಆಗಿತ್ತು. ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಅಲೆಥಿಕ್ ಮಾದರಿ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಗಳಾದ ಎಸ್4 ಮತ್ತು ಎಸ್5 ಗಾಗಿ, 1965 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರವಿಟ್ಜ್ ಅವರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅಂದಿನಿಂದ ಅವು ಸಂಬಂಧಿತ ಕೆಲಸದ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿವೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ಮೋಡಲ್ ಲಾಜಿಕ್ ಎಸ್4ಗೆ ಒಂದು ಹೊಸ ತೀರ್ಪು, "ಎ ವ್ಯಾಲಿಡ್" ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಸತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆಃ "ಬಿ ಟ್ರು" ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ "ಎ ಟ್ರು" ಆಗಿದ್ದರೆ, "ಎ ವ್ಯಾಲಿಡ್" ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವರ್ಗೀಕರಣದ ತೀರ್ಪನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಸಂಯೋಜಕ ಎ (ಓದಲು "ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಎ") ಎಂದು ಆಂತರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆಃ "ಎ ಮಾನ್ಯ" ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಬದಲಿಗೆ, ಸಿಂಧುತ್ವದ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಊಹೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು "ω; ಎ ಟ್ರೂ" ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ω ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ನಿಜವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ω ಮಾನ್ಯವಾದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಎ ಟ್ರೂ" ಎಂಬ ಒಂದೇ ಒಂದು ತೀರ್ಪು ಇದೆ; ಇಲ್ಲಿ ಸಿಂಧುತ್ವದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ "ಎ ವ್ಯಾಲಿಡ್" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ "ಎ ಟ್ರೂ; ಎ ಟ್ರೂ" ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಪರಿಚಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮೂಲನೆ ರೂಪಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮಾದರಿ ಊಹೆಗಳು ಊಹೆಯ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಮೇಯದ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಮಾಡಲ್ ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ω; ω1: A ನಿಜ ಮತ್ತು ω1, u: (A ಮಾನ್ಯ); ω2: C ನಿಜ, ನಂತರ ω; ω2: C ನಿಜ. ಬಹು-ವಲಯ ಅಥವಾ ಪಾಲಿಯಾಡಿಕ್ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಊಹೆಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಗ್ರಹಗಳಾಗಿ ತೀರ್ಪುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಈ ಚೌಕಟ್ಟು ಬಹಳ ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಬಲ್ಲದು; ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಇದನ್ನು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿ ತರ್ಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರಲ್ ತರ್ಕಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕೆಲವು ಮಾದರಿ ತರ್ಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪುರಾವೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು, ಲೇಬಲಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಆಳವಾದ ತೀರ್ಮಾನದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಂತಹ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು. ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಲೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ನಿಯಮಗಳು ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಲೇಬಲ್ ಕಡಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸ್ತಬ್ಧಚಿತ್ರಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಲೇಬಲ್ಗಳು ಕ್ರಿಪ್ಕೆ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಪಂಚಗಳ ಹೆಸರನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ; ಹೈಬ್ರಿಡ್ ತರ್ಕದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಪ್ಕೆ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೀರ್ಮಾನ ನಿಯಮಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅವ್ರಾನ್ ಮತ್ತು ಪಾಟಿಂಗರ್ನ ಹೈಪರ್ಸೀಕ್ವೆಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎಸ್5 ಮತ್ತು ಬಿ ಯಂತಹ ಮಾದರಿ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಗಳಿಗೆ ಬೆಲ್ನಾಪ್ನ ಪ್ರದರ್ಶನ ತರ್ಕದಂತಹ ಅನೇಕ ಪುರಾವೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಸಮೀಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇತರ ಅಡಿಪಾಯದ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗಣಿತೀಯ ತರ್ಕದ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ ಮಾಹಿತಿಯ ಹರಿವು ದ್ವಿ-ದಿಕ್ಕಿನದ್ದಾಗಿದೆಃ ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮಗಳು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಡೀಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಹರಿಯುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಚಯ ನಿಯಮಗಳು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಜೋಡಣೆಯ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಹರಿಯುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡಿಡಕ್ಷನ್ ಪ್ರೂಫ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಾಟಮ್-ಅಪ್ ಅಥವಾ ಟಾಪ್-ಡೌನ್ ಓದುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಪ್ರೂಫ್ ಸರ್ಚ್ನಲ್ಲಿ ಆಟೊಮೇಷನ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ ಅವರು 1935 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಆದರೂ ಅವರು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ತರ್ಕದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನವಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಿದ್ದರು. ಕ್ಲೈನ್, ತಮ್ಮ 1952 ರ ಮೂಲ ಪುಸ್ತಕ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಮೆಟಾಮೆಥೆಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಆಧುನಿಕ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಾಟಮ್-ಅಪ್ ಓದುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಟರ್ನ್ಸ್ಟೈಲ್ನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಈ ಲೇಖನವು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಟ್ಯಾಕ್ ಬದಲಿಗೆ ಡಬಲ್ ಬಾಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ಪರಿಚಯದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ನಿಯಮಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬಹಳ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ನಿಯಮಗಳು ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಡ ನಿಯಮಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ವಿಚ್ಛೇದನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ; ಬಲ ನಿಯಮಗಳು ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆಃ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿಃ ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿಃ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಎ. ಬಿ., ಇದು ಎ. ಇ. ಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎಡ ನಿಯಮದ ತೀರ್ಮಾನದ ಊಹೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಡ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯ ತಲೆಕೆಳಗಾದ ನಿರ್ಮೂಲನ ನಿಯಮವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಲಾಕ್-ಸ್ಟೆಪ್ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಮತ್ತು ಪರಿಚಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೀಟಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಆರಂಭಿಕ ನಿಯಮಗಳು ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ಊಹೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ವರ್ಗಾವಣೆ ಅಥವಾ ಹಸ್ತಲಾಘವವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆಃ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಜೋಡಿ ದೃಢತೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇವೆರಡನ್ನೂ ಪ್ರೇರಕ ವಾದದ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಸೌಂಡ್ನೆಸ್ ಆಫ್ ಆರ್. ಟಿ. ಎ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎ. ಪೂರ್ಣತೆ. ಎ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಸತ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದೇ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಪ್ರೂಫ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಯೋಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಬಲ ನಿಯಮವು ಪರಿಚಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಡ ನಿಯಮವು ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸದ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು β-ಸಾಮಾನ್ಯ η-ಉದ್ದದ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತ ಪುರಾವೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಇಂಟರ್ಕ್ಯಾಲೇಷನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ (ಮೊದಲು ಜಾನ್ ಬೈರ್ನ್ಸ್ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ), ಇದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರಚನಾತ್ಮಕ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ರಚನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕಟ್ (ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್) ಯುಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ಎಃ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಇದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದು ಸರಳವಾದ ಪ್ರೇರಕ ವಾದವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದಾದ ಇ ಅಥವಾ ಇ ನಂತಹ ನಿಯಮಗಳಿಂದಾಗಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಅಸಮರ್ಥತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಕಟ್ ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮ ನಿಯಮಗಳು ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಆಳವು ಅಂತಿಮ ತೀರ್ಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪ್ರಮಾಣಿಕತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನದ ಉಪ-ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಜಾಗತಿಕ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆಃ "ನಿಜ" ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅನುಕ್ರಮ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮವು ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿ "ಷ್ಣೂ" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ! ಪ್ರೂಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಕಟ್-ಫ್ರೀ ಸೀಕ್ವೆಂಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಎಂ. ಇ. ಸ್ಜಾಬೊದಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತನಿಖೆಗಳು ಎಂಬ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷಾಂತರ). ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ಜೆಂಟ್ಜೆನ್ನ ಸಂಗ್ರಹಿತ ಕೃತಿಗಳು. ನಾರ್ತ್-ಹಾಲೆಂಡ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಕಂಪನಿ, 1969.) ಪಾಲ್ ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ವೈವ್ಸ್ ಲಾಫೊಂಟ್ ಅವರು ಭಾಷಾಂತರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅನುಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ. ಪೋಲಿಷ್ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಮುದ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ 1920-39, ಆವೃತ್ತಿ. ಸ್ಟಾರ್ಸ್ ಮೆಕ್ಕಾಲ್. ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಾ ಡೆಗ್ಲಿ ಸ್ಟಡಿ ಡಿ ಸಿಯೆನಾ, ಏಪ್ರಿಲ್ 1983 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಕೋರ್ಸ್ಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧ. ಎಂಎಸ್ಸಿ ಪ್ರಬಂಧ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲ್ಯಾಬೋರೊ, ಡೇನಿಯಲ್ ಕ್ಲೆಮೆಂಟೆ, "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತದ ಪರಿಚಯ". ಆಮ್ಲದ ಮೇಲೆ ಡೊಮಿನೊ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಡಿತವನ್ನು ಡೊಮಿನೋಗಳ ಆಟವಾಗಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೆಲೆಟಿಯರ್, ಜೆಫ್, "ಎ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಡಿಡಕ್ಷನ್ ಅಂಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಲಾಜಿಕ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಬುಕ್". ಲೆವಿ, ಮೈಕೆಲ್, ಎ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನಲ್ ಪ್ರೋವರ್. ತಾರ್ಕಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಡಿಡಕ್ಟಿವ್ ರೀಸನಿಂಗ್ ಪ್ರೂಫ್ ಥಿಯರಿ ಪ್ರೂಫ್ ವಿಧಾನಗಳು