Parity of a permutation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, X ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದಾಗ, X ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು (ಅಂದರೆ. X ನಿಂದ X) ವರೆಗಿನ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಬರುತ್ತವೆಃ ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು. X ನ ಯಾವುದೇ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, X ನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (ವಿಚಿತ್ರತೆ ಅಥವಾ ಸಮತೆ) σ ಗೆ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, X ನ x, y ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು. σ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಹಿ ಅಥವಾ ಸಂಕೇತವನ್ನು sgn (σ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು σ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ + 1 ಮತ್ತು σ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ-1 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಗ್ನೇಚರ್ Sn ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪರ್ಯಾಯ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಲೆವಿ-ಸಿವಿಟಾ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ (εσ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು X ನಿಂದ X ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಲ್ಲದ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ N (σ) ಎಂಬುದು σಯಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು σಯನ್ನು ಅದರ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ m ಎಂಬುದು ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಈ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು 34521 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗುರುತಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ 12345 ರಿಂದ ಮೂರು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಮೊದಲು 2 ಮತ್ತು 4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ, ನಂತರ 3 ಮತ್ತು 5 ಅನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 1 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ನೀಡಲಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು σ ಬೆಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೈಕಲ್ ನೊಟೇಶನ್ ಲೇಖನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ರಚಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ σ ಅನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗುರುತಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿನಿಮಯಗಳ (ವರ್ಗಾವಣೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಾವಣೆಯಿಂದ (ಮಾತ್ರ) ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆಃ ಎರಡು ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಎರಡು ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಬೆಸವಾಗಿದೆ ಇವುಗಳಿಂದ ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ವಿಲೋಮವು ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು Snನ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಎನ್ ಅಕ್ಷರಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಂಪು, ಇದನ್ನು ಆನ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಸ್. ಜಿ. ಎನ್. ನ ಕರ್ನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಆನ್ (ಎಸ್. ಎನ್. ನಲ್ಲಿ) ನ ಕೊಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ Snನಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಷ್ಟೇ ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳೂ ಇರುತ್ತವೆ; ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, anಯು n!/2 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಕಾರಣವೆಂದರೆ σ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು σ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ನಕ್ಷೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.) ಒಂದು ಚಕ್ರವು ಅದರ ಉದ್ದವು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಮವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬೇರ್ಪಡುವ ಚಕ್ರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮ-ಉದ್ದದ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಬೆಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೌಲ್ಯವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯೂ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು. A4 ನಲ್ಲಿನ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆ ಈ ವಿಭಾಗವು σ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ σ ನಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆ (ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ); ಅಥವಾ σ ಅನ್ನು ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನತೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ನಾವು ಅದನ್ನು ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ). ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳು ಬಿಂದುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅದರ ಚಕ್ರ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. σ = (i1 i2. ir + 1) (j1 j2. js + 1). (l1 l2. lu + 1) ಎಂಬುದು σಯ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಬೇರೆಯಾದ ಚಕ್ರಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಚಲಿಸುವ ಕಾರಣ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬಹುದು. ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಕ್ರವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯನ್ನು (2-ಚಕ್ರಗಳು) ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಚಕ್ರದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ವರ್ಗಾವಣೆಗಳು ಗಾತ್ರ 1 ರ ಚಕ್ರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯಿಂದ m ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಸೈಕಲ್ಗಳವರೆಗೆ ನಾವು σನ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕಿ ಎಂಬುದು ith ಸೈಕಲ್ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು σನ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಮಿನೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು σನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು 1-ಚಕ್ರಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸಲು ನಾವು ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುವಂತೆಯೇ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. σ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ನಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆ (a b) ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. a ಮತ್ತು b ಗಳು σ ನ ವಿಭಿನ್ನ ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು a ಮತ್ತು b ಗಳು σ ನ ಒಂದೇ ಚಕ್ರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, N ((a b) σ) ನ ಸಮಾನತೆಯು N (σ) ನ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಒಂದು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಭಜನೆಯು σ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಗುರುತಿನ ನಂತರ t2 ನಂತರ r ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಗುರುತಿನ ನಂತರ (ಇದರ N ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ) N (σ) ಮತ್ತು r ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. σ ನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು N (σ) ನ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಮ ಉದ್ದದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಸಮ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬೆಸ ಉದ್ದದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯು ಬೆಸ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವಾದದ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು r ಗಾತ್ರಗಳ ಯಾವುದೇ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು r ವರ್ಗಾವಣೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, N (σ) ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಚಕ್ರಗಳು ವರ್ಗಾವಣೆಯಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ σ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚಕ್ರಗಳ ಗಾತ್ರಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು σ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ) ಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಒಂದು ಉದ್ದದ ಕಾರ್ಯ l (v) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ, ಪಕ್ಕದ ವರ್ಗಾವಣೆಗಳಿಗೆ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಚಿಹ್ನೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಹದಿನೈದು ಒಗಟು ಎಂಬುದು ಝೊಲೋಟರೆವ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಥಿಯರಿ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ಪ್ಯಾರಿಟಿ (ಗಣಿತ) ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಸೈನ್ (ಗಣಿತ) ರುಃ περεστανοvκα #Связанные πρεδελενενία