Stone–Čech compactification
ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ (ಅಥವಾ ಚೆಕ್-ಸ್ಟೋನ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್) ಎಂಬುದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ನಿಂದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ βX ಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನ ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ βX, ಎಕ್ಸ್ನಿಂದ "ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ" ಅತಿದೊಡ್ಡ, ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಎಕ್ಸ್ನಿಂದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ βX ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ (ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ). X ಒಂದು ಟೈಚೋನೋಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, X ನಿಂದ ಅದರ ಇಮೇಜ್ಗೆ βX ನಲ್ಲಿರುವ ನಕ್ಷೆಯು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ X ಅನ್ನು βX ನ (ದಟ್ಟವಾದ) ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು; X ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ βX ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳಗಳು X ಗೆ, X ನಿಂದ βX ವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳವು ಸ್ಟೋನ್-ಸೀಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ರೂಪದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಸ್ಥಳಗಳಾದ X ಗೆ ಸಹ, βX ನ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವಿವರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, βX\ X ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪುರಾವೆಗಳು βX\ X ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಒಂದು ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಆಂಡ್ರೆ ನಿಕೊಲಾಯೆವಿಚ್ ಟಿಖೋನೋವ್ 1930 ರಲ್ಲಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ರೋಗಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅದರ ನಿರಂತರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಅದೇ 1930ರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಪ್ರತಿ ಟೈಚೋನೋಫ್ ಸ್ಥಳವನ್ನು (ಅಂದರೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಸ್ಥಳ) ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ (ಅದೇ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಟೈಚೋನೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ). 1937ರಲ್ಲಿ, ಚೆಚ್ ಅವರು ಟೈಚೋನೋಫ್ನ ತಂತ್ರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಈ ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ βX ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸ್ಟೋನ್ 1937 ರ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ βX ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದನು, ಆದರೂ ಬಹಳ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದಾನೆ. ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಕೃತಿಯಾದ ಟೈಚೋನೋಫ್ನ ಲೇಖನವು ಸ್ಟೋನ್ ಮತ್ತು ಚೆಚ್ ಇಬ್ಬರೂ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದರೂ, ಟೈಚೋನೋಫ್ನ ಹೆಸರು ವಿರಳವಾಗಿ βX ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಾಲಿಟಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ Xನ ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ βX ಆಗಿದ್ದು, ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ iX: X → βX ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ f: X → K, ಅಲ್ಲಿ K ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ βf: βX → K, ಅಂದರೆ. (βf) iX = f. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಎಂದಿನಂತೆ, ಈ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು βX ಅನ್ನು ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಿರುವಂತೆ, ಅಂತಹ ಸ್ಟೋನ್-ಸೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ iX: X → βX ಪ್ರತಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು (ಆಯ್ಕೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಚಿತ್ರ ಐಎಕ್ಸ್ (ಎಕ್ಸ್) βX ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಳ X ಟೈಚೋನೋಫ್ (ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್) ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆಃ X ನಿಂದ ಅದರ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ βX ನಲ್ಲಿರುವ ನಕ್ಷೆಯು X ಟೈಚೋನೋಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಮಿಯೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. X ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ X ನಿಂದ ಅದರ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ βX ನಲ್ಲಿರುವ ನಕ್ಷೆಯು ತೆರೆದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳಾದ X ಗೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ X → βX ನಕ್ಷೆಯು X ನ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದೂ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಈ ರೀತಿಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಗೆ ಎಂದಿನಂತೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು β ಅನ್ನು ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ (ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗ) ಚೌಸ್ಗೆ (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗ) ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಯು ಅನ್ನು ಚೌಸ್ನಿಂದ ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರ್ಪಡೆಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕಾರಿಯಾಗಿ ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, βX ನಿಂದ K ವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಗಳು (ಚೌಸ್ನಲ್ಲಿ K ಗಾಗಿ) X ನಿಂದ UK ವರೆಗಿನ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ (X ಗೆ ಅವುಗಳ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು βX ನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ). ಅಂದರೆ. ಹೋಮ್ (βX, K) β ಹೋಮ್ (X, UK), ಅಂದರೆ β ಯು ಗೆ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಚೌಸ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಫಲಕ β ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು X ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಟೋನ್-ಸೀಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ಗಳು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವು ಅತ್ಯಂತ ಅಗಾಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿನಾಯಿತಿಗಳು ಸೇರಿವೆಃ ಆರ್ಡರ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಆರ್ಡಿನಲ್ನ ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಆಗಿದೆ. ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಟೈಚೋನೋಫ್ ಹಲಗೆಯ ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಟೈಚೋನೋಫ್ ಹಲಗೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಾಣ X ನ ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಯತ್ನವೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನವು X ನಿಂದ ಹಿಡಿದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು K ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ X ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು (ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದ ಗುರುತಿನ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಬಲ ಕ್ಯಾನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ X ನ ಚಿತ್ರವು ಚೌಸ್ನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಫಂಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ). ಟೈಚೋನೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾಂದ್ರ ಸ್ಥಳಗಳ ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿ X ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸಹ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಬದಲು ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಕೆ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೆಟ್ ಪಿ (ಪಿ (ಎಕ್ಸ್)) (ಎಕ್ಸ್ನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ನ ಪವರ್ ಸೆಟ್) ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಾಣ βX ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ C ಅನ್ನು X ನಿಂದ [0,1] ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುವುದು ಮತ್ತು [0,1] C ಗೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದಾದ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು. ಟೈಚೋನೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, [0,1] ಸಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ [0,1] ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, [0,1] ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು ಎಕ್ಸ್ ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು K = [0,1] ಗಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ f: X → [0,1] ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು [0,1] C ಯಲ್ಲಿ f ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ K ಗಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ನಾವು K ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಘನದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಘಟಕ ಮಧ್ಯಂತರದ ವಿಶೇಷ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದ ಕೋಜೆನೆರೇಟರ್ ಆಗಿದೆಃ ಇದರರ್ಥ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಎ ನಿಂದ ಬಿ ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಎಚ್ಃ ಬಿ → [0,1] ಅಂದರೆ ಎಚ್ಎಫ್ ಮತ್ತು ಎಚ್ಜಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕೋಜೆನೆರೇಟರ್ (ಅಥವಾ ಕೋಜೆನೆರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್) ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮುಖ್ಯ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಮತ್ತು ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪುಶ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ನ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್, ಹೇಳಿ ಮತ್ತು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿರಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಸ್ಟೋನ್-ಎಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟೋನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅದೇ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟೋನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳು, ಅಥವಾ 2 ಅಂಶ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪತೆಗಳು) ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. (ಸ್ಥಳವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ.) ಸಿ *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಾಣ ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಸಿಬಿ (ಎಕ್ಸ್) ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಂಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ Cb (X) ಯು ಸೂಪ್-ನಾರ್ಮ್ನೊಂದಿಗೆ Xನ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ಸೀಮಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ C *-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Cb (X) ಯು C0 (X) ನ ಗುಣಕ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಟೋನ್-ಸೀಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ X ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎನ್ ಅಥವಾ ಆರ್, ಎಕ್ಸ್ನ ಚಿತ್ರವು βXನ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗದ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಹ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದ ಜಾಗವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, βX\X. ಇದು βX ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ನಾವು N ಅನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು βN\N = N * ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಆದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ X ಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಕೇತವೆಂದು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ). ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಎನ್ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ βN ಅನ್ನು ನೋಡಬಹುದು, ಯು ಎನ್ ಉಪಗುಂಪಿಗಾಗಿ ರೂಪದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ. ಸೆಟ್ ಎನ್ ಪ್ರಧಾನ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಎನ್ * ಉಚಿತ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. βN ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ N * ನ ಅಧ್ಯಯನವು ಆಧುನಿಕ ಸೆಟ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪರೊವಿಚೆಂಕೊ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಊಹೆಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಃ ತೂಕದ ಪ್ರತಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಜಾಗವು (ಅಲೆಫ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಎನ್ * ನ ನಿರಂತರ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ (ಇದಕ್ಕೆ ನಿರಂತರ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ). ನಿರಂತರತೆಯ ಊಹೆಯು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, N * ಎಂಬುದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾದ ಪರೊವಿಚೆಂಕೊ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಮೂಲತಃ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಲ್ಲಿನ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಜಾನ್ ವ್ಯಾನ್ ಮಿಲ್ βNಅನ್ನು "ಮೂರು ತಲೆಯ ರಾಕ್ಷಸ" ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ-ಮೂರು ತಲೆಗಳು ನಗುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಸ್ನೇಹಪರ ತಲೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (ನಿರಂತರ ಊಹೆಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಡವಳಿಕೆ), ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಕೊಳಕು ತಲೆಯು ನಿಮ್ಮನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ (ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ನಡವಳಿಕೆಯು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ತಲೆಯು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ನೀವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ZFC ಯಲ್ಲಿ ಏನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು). ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ-ವಾಸ್ತವವಾಗಿ βN ನ ನಾಲ್ಕನೇ ತಲೆ ಇದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ರಾಮ್ಸೇ ರೀತಿಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು βN ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇದು ನಿರಂತರ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಬಹುತೇಕ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಇದು N * ನಿಂದ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಟಿನ್ನ ಆಧಾರಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಬಣ್ಣದ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸೇರಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು (ಎನ್ *) 2 ≤ ಎನ್ * ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಿರಂತರ ಊಹೆಯು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅನ್ವಯಃ ರಿಯಲ್ಗಳ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ಗಳ ಜಾಗದ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ βN ಅನ್ನು (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಆರ್ ಅಥವಾ ಸಿ ಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ಗಳ ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್, ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ) ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಚೆಂಡು B ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು a ನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. a ನಂತರ N ನಿಂದ B ಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. N ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು B ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, a ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ βa: βN → B. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬಿ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ನಾವು ಸೀಮಿತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸ್ಥಳದಿಂದ βN ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಣಾ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದು, ಏಕೆಂದರೆ ಸಿ (βN) ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಸೂಪ್ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಎರಡೂ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ನಕ್ಷೆಯು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಚೆಂಡು ಬಿ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ವಿಸ್ತೃತ ಅನುಕ್ರಮದ ಸೂಪ್ ಮಾನದಂಡವು ಬೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ವಿಸ್ತೃತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿತ್ರಣವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು). ಹೀಗಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಿ (βN) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಇದು ನಮಗೆ ರೀಸ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು βN ಮೇಲಿನ ಸೀಮಿತ ಬೋರೆಲ್ ಅಳತೆಗಳ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಈ ತಂತ್ರವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಳತೆ ಸ್ಪೇಸ್ X ನ L ≤ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, X ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಥಳ βX ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬದಲು, ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಸರಿಯಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ X ನ ಅಳತೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟೋನ್ ಸ್ಪೇಸ್ Y ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದುಃ X ಸಮಂಜಸವಾದ ಮಿತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವವರೆಗೆ (ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಳತೆಯ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ) C (Y) ಮತ್ತು L (X) ಸ್ಥಳಗಳು C *-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಂತೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಟೋನ್-ಸೀಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ನ ಮೇಲೆ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು βN ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ), ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಸಹ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ಸಂವಹನವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ, ಎ, ಎನ್ ನ ಮತ್ತು ಎನ್ ನಲ್ಲಿನ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಾದ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಅನ್ನು ಎನ್ ಮೇಲೆ ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮತ್ತೆ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ + βN ಮೇಲೆ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ಸಂವಹನವಲ್ಲ) ಮತ್ತು N ಮೇಲೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ; 0 βN ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ತಟಸ್ಥ ಅಂಶವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಎಫ್ಗೆ, ನಕ್ಷೆಯು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಹ ಸರಿಯಾದ-ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಸ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರೆಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಸ್ನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು βS ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಬಲ-ನಿರಂತರ ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೋನ್-ಚೆಕ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿತ್ರದ ಪೂರಕವಾದ ಜಾಗದ ಕೋರೋನಾ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪ್ಲಾನೆಟ್ ಮ್ಯಾಥ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಡ್ರಾರ್ ಬಾರ್-ನಟಾನ್, ಅಲ್ಟ್ರಾ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ನೆಸ್, ಮತ್ತು ಸ್ಟೋನ್-ಸಿಚ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಜನರಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ (ಗಣಿತ)