(Méthodes, n° 233.)

1339. Théorème. Deux cercles qui se coupent se transforment en 1 cercle égal, lorsque l'on prend pour origine un point quelconque d'un des cercles et bissecteurs des cercles donnés. (Méthodes, n° 235.)
1310. Théorème. Entre deux cercles intérieurs non concentriques A et B, on inscrit un cercle C tangent aux deux premiers; puis on inscrit le cercle D tangent aux cercles A, B, C ; un cercle E tangent aux cercles A, B, D, etc.
1° Les points de contact communs aux cercles C, D, E. sont sur une même circonférence.
2° Si un cercle N, de rang n, ferme la série en se trouvant tangent au cercle C, une nouvelle série, commençant en un point quelconque, se terminera après n cercles consécutifs.
(Méthodes, n° 237.)
Exercice 419. — I.
1341. Théorème de Fuerbach. Le cercle des neuf points est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles ex-inscrits.
Démonstration. On peut recourir à l'Inversion (voir Méthodes, n° 238).
2e Démonstration. (M. MILNE.)
Fig. 842.
Soient I, J, le centre du cercle inscrit et d'un cercle ex-inscrit; R, S, les points de contact, FDE le triangle médian, GH la quatrième tangente.
La droite CG, la bissectrice AI, la ligne DE des milieux se coupent en un même point K.
On sait que BR=CS et RS=AB-AC
Mais on sait que le lieu des points E, F tels que les produits DL x DE x DM x DF soient égaux à la puissance du point D par rapport aux cercles I et J est un cercle DEF tangent aux cercles I et J (n° 1322); donc le cercle des neuf points ou cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux cercles ex-inscrits. 