Le centre du cercle inscrit se correspond à lui-même dans l'inversion isogonale. Il en est de même de chacun des centres des cercles ex-inscrits.

Exercice 999.
2319. Théorème. Trois droites parallèles, issues des trois sommets d'un triangle, ont pour isogonales trois droites qui se coupent sur le cercle circonscrit, et réciproquement.
Soient les parallèles AD, BE, CE.
Pour obtenir l'isogonale de AD, on peut mener DM parallèle à BC, et l'on obtient l'isogonale AM.
Pour démontrer le théorème, il suffit de prouver que l'isogonale d'une des deux autres parallèles, celle de BE par exemple, passe par le point M du cercle circonscrit. En d'autres termes, il faut prouver que la parallèle menée par E au côté AC, afin de déterminer l'isogonale de BE, passe par le point M; or l'arc AE = BD, à cause des parallèles, égale MC; donc la parallèle menée au côté AC par le point E passe par M.
De même CM est l'isogonale de CF.

2320. Réciproquement. Si l'on donne le point M sur le cercle circonscrit, ce qui donne MA, MB dont il faut mener les isogonales, on peut tracer pour cela les droites MD, ME respectivement parallèles à CB et à CA; or, à cause des arcs égaux BD, MC, AE, les droites AD et BE sont parallèles, il en est de même de CF.
Le point isogonal d'un point M du cercle circonscrit est à l'infini, dans la direction des parallèles AD, BE, CF.
 