Indichiamo con x il limite di questa frazione,
Sia il valore approssimato di x, che si ottiene
prendendo un numero di periodi limitato, tre per esempio. Avremo

(0 = 0,342 342 342.
Moltiplicando per 1000 queste due quantità eguali,
si ha

1000 = 342,342342.
Questo valore di 1000 a contiene nella sua parte
decimale un periodo di meno del valore a; e si vede
che per avere lo stesso numero di periodi, basta aggiungere
al valore di 1000 a la frazione 0,00;QPO3Q2 ovvero 342, avrà dunque,-

(2) 1000 a + O,00;QPO3Q2 = 342,342342.
1000

Ciò posto, sottraendo l'eguaglianza (1) dalla (2),
rimbambando a membro, si ottiene
Divideadolo per 999 si ha

999X1000'
e per conseguenza

999 999X1000'

Se si fosse indicato con a il valore approssimato
di X, ottenuto prendendo n periodi, si sarebbe trovato
342

999 999X1000'

Se il numero n dei periodi aumenta indefinitamente,
la frazione diverrà piccola quanto si vuole, quindi segue che la quantità a ha per limite la

999

Il ragionamento essendo generale, possiamo enunciare il teorema seguente:

La frazione ordinaria generatrice di una frazione
periodica semplice ha per numeratore il periodo, e per
denominatore un numero espresso da tanti 9 quante
sono le cifre del periodo.
Osservazione. Si può rendere più semplice la frazione
che si deduce dalla regola precedente,
fare perdere al suo denominatore la forma particolare

TRATTATI D'ARITMETICA. 