Ciò risulta immediatamente dalla (4), ricordando pure che è nullo il prodotto alternato di due forme eguali di specie dispari, o di due bivettori, o quello di due forme eguali di terza specie ad invariante nullo.
Possiamo ora dimostrare il
4. — Teorema. Se una superficie piana limitata si muove in modo da conservarsi piana, l'elemento di volume da essa descritto è il prodotto dell’area, di 2, per la proiezione sulla normale a di spostamento del centro di gravità di stessa.
Infatti, se nel teorema del numero precedente si fa e si pone , si ha:
È a del
(5) a pio= TE d+0 Aa,
Inoltre, supposto ora variabile in ed indicato con una forma di terza specie del piano di (funzione, al pari di , della sola variabile), dalla:
da | he i dp
ar) Pedo=|s
Pa) |
TL
Pa ,
e per essere Pa= 0, qualunque sia , ne segue Pa= 0, cioè il punto individuato dalla (5), giace sempre, come , nel piano di .
Se quindi nella:
(6)
Pda. =16G
che definisce il centro di gravità di della superficie , deriviamo ambi i membri rispetto a , si ottiene:
dP aG d
(7) E e I Ce
ove il vettore , risulta parallelo al piano dell’area . 