18. — Come si è già visto al n. 7, deve essere il numero v delle equazioni linearmente indipendenti che definiscono il sistema (e possedenti la stessa caratteristica) minore di #: alle equazioni stesse può darsi la forma:

LIV = 100 + Ya + Na+ + Yad"
TY = Y00 + Yar + 19922 +... + 12"

IV+I = Y0C + YvIX + yo +... Ad Tu"

(le y sono funzioni delle variabili x, y, ..., y). Se si ha una sola equazione, v = 1, essa esprime che gli Sx tangenti alla V, che rappresenta il sistema in due punti infinitamente vicini di una linea (x, y) hanno in comune la tangente alla linea xy (o y;) passante per uno di essi. In particolare, se v = 2, la V, è una superficie con un doppio sistema coniugato (una superficie secondo la denominazione del professore Segre) (2°) e dall’osservazione fatta scende la trasformazione di Laplace. Questa osservazione fa vedere di più che la trasformazione stessa non può estendersi ai sistemi soprascritti (cfr. più in esteso il § 8).
Se v = 2, e se facciamo l'ipotesi che la V, non rappresenti altre equazioni di 2° ordine non contenute nel sistema, possiamo scrivere le condizioni d’integrabilità confrontando per termini le due espressioni delle derivate terze x%V+! (Z,m, = 1, ...

(2) L. ce. n. 3 (4); n. 11. Questa stessa denominazione viene ora usata in senso diverso nella recente Memoria del Brawne, Sulla teoria delle trasformazioni delle curve di Bertrand e delle superficie pseudosferiche [° Memorie della Soc. It. delle Scienze (detta dei XL) ,, serie 3°, t. XVIII (1913), pp. 1-98).
 