Il faut prouver que le cône, ayant M pour sommet et MCN pour génératrice, a un volume plus petit que le cône engendré par une autre tangente quelconque. En effet, le cylindre CPOQ, ayant CP pour hauteur et CQ pour rayon, est moins grand que le cône engendré par MON (n° 386). Ou cône MON = 9/4 cylindre CPOQ. Par le point C, menons une parallèle EF à la tangente GH. Soient F et J les points situés aux 2/3 de ces lignes, à partir de F et de H. Dans le cône engendré par FOE, le cylindre CPOQ est moindre que le cylindre IKOL, qui correspond au premier tiers, à partir de la base. Donc cône FOE > 9/4 cylindre CPOQ ou cône FOE > cône MON donc, à fortiori, cône HOG > cône MON. Remarque. La démonstration présuppose que la courbe est concave vers les axes OA, OH. Exercice. Problème. Dans un segment à une base, de paraboloïde de révolution, inscrire le cylindre de volume maximum. Il faut mener la tangente DEF de manière que DE=2EF (n°390). Pour cela, il suffit de diviser AH en deux parties égales, car on aura AD = AO, puisque la sous-tangente est divisée en deux parties égales par la tangente au sommet. (G., n° 699.) Ainsi le cylindre maximum a pour base la section équidistante du sommet A et de la base BC du tronc de paraboloïde. Soient AH = a et BH = b. Le paraboloïde a pour volume (G., no 953.) Le cylindre a pour base πOE2, mais OE2 = 2HB2, et oh = a donc, π(a2 + b2) cylindre = 2 Le cylindre est la moitié du paraboloïde donné. 