Dies ist somit auch der Grad, in welchem die Coeffizienten von F in die Bedingung der Berührung eingehen; und in analoger Art ergibt sich, dass dieselben die Coeffizienten von U im Grade ^' {^i -} 2^ — 3 enthält. Für ^' = 1 finden wir das schon bekannte Resultat wieder, dass die Bedingung, unter welcher die Gerade y = x = 0 eine Curve der Form y = ^ berührt, die Grössen y, im Grade ^ (ß - 1) und die Coeffizienten der Gleichung der Curve im Grade 2(ß - 1) enthält. (Vergl. „Kegelschnitte" Art. 348.)

Wenn die Curve y=0 einen Doppelpunkt hat, so folgt, weil Z7|=0, u.,=0, u.^==0 durch diesen Punkt gehen und, falls derselbe insbesondere eine Spitze ist, auch dieselbe Tangente mit [7=0 haben, dass dies alles auch für y=0 gilt; wir sehen damit, dass der Grad der Bedingung der Berührung in den Coeffizienten von V für jeden Doppelpunkt um zwei und für jede Spitze von y = 0 um drei Einheiten vermindert werden muss; dieser Grad ist somit (ß (jt + 2) - 3) - 2(ß) - dx oder ß + 2(ß) (ß - 1).

Dieselben Resultate können noch in anderer Weise begründet werden. Denken wir eine beliebige Gerade 0 und setzen wir die Determinante V = u y y. 