309. Diese Curven haben über dies wie Epitrochoiden im Allgemeinen stets eine Anzahl von Doppel Punkten — isolierte oder Knoten — welche in Kreisen liegen und zwar in endlicher Zahl für algebraische, in unendlicher für transcendente Curven. Betrachten wir die Gleichungen
y = ml sin cp — d sin m (p, x = mh cos cp — d cos mtp, wo q0 = 0 der Anfangslage des erzeugenden Punktes entspricht, nämlich der in der Centrallinie beider Kreise oder der Axe der x und in der Anfangsentfernung vom Ursprung in 1 — d.
Alle die anderen Lagen des bewegten Kreises, für welche der erzeugende Punkt der Axe dem x angehört, entsprechen den von cp = 0 verschiedenen Lösungen der Gleichung
m h sin cp = d sin m q).
Diese Wurzeln sind offenbar paarweis gleich und von entgegengesetzten Zeichen und jedem dieser Paare entspricht ein und derselbe Wert
mh cos cp — d cos mq)
von X] d. h. die entsprechenden Punkte sind Doppelpunkte des Ortes.
Der Wert
ml cos cp — d cos mg)
kann mit Hilfe der Bedingung
m b sin cp = d sin mcp
in der Form
X sin cp = dsin (m — 1)cp
dargestellt werden. So oft der erzeugende Punkt in die analoge Lage zu beiden Centren kommt, so oft haben wir eine Linie mit Doppelpunkten und die Zahl solcher Lagen und daher der letzter ist, wie schon ausgesprochen, endlich für algebraische und unendlich groß für transcendente Curven. 