Si une courbe joignant les points A et P peut être transformée en une autre d'un mouvement continu, sans couper la courbe fermée, l'Intégrale a la même valeur pour ces deux courbes; mais si, pendant la transformation, on coupe M fois la courbe formée, les valeurs de l'Intégrale diffèrent de 4~n.
Si a et b sont deux courbes fermées quelconques de l'espace, non entrecoupées, la somme des intégrales propre à chacune d'elles est la même.
Et encore, ce n'est pas nécessaire que deux courbes soient entrecoupées alternativement en les contraires, de façon qu'elles soient alternativement liées l'une à l'autre et que la valeur de l'intégrale soit cependant la même (voir [1]). C'est précisément la découverte de cette intégrale exprimant le travail effectué par un pôle magnétique qui décrit une courbe fermée en présence d'un courant électrique fermé, et indiquant la relation géométrique de ces deux courbes fermées, qui amena Gauss à déplorer le peu de progrès faits par la Géométrie de position, depuis l'époque de Leibnitz, d'Euler et de Vandermonde. Nous avons maintenant à signaler quelques progrès principalement dus à Riemann, Helmholtz et Listing. 