Construisons l'angle réel à égal à s, et l'angle DAE égal à CBD, et menons EC. Le point B n'étant pas sur la circonférence, l'angle CBD n'a pas la même mesure que DAC, et ainsi la droite AE ne se confond pas avec AC.

Fig. 743.
Les triangles semblables DEA et DCB donnent
Ces mêmes triangles donnent encore DB = DC; et comme l'angle total t + s = t + r, les deux triangles CDE et BDA sont semblables, comme ayant en D un angle égal compris entre des côtés proportionnels, et l'on a
En additionnant les résultats obtenus (1) et (2), on trouve ac + bd = BD(AE + CE) Et si l'on remplace AE + CE par sa valeur moindre AC, on aura BD. AC < ac + bd. C. Q. F. D.
Remarques. 1° Le sommet B peut être indifféremment à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle, et l'énoncé n'est pas modifié.
Des deux premiers théorèmes de Ptolémée, on conclut que si le produit des diagonales d'un quadrilatère est égal à la somme des produits des côtés opposés, le quadrilatère est inscriptible (no 7).
Exercice 358. I.
3e Théorème de Ptolémée. Les diagonales d'un quadrilatère inscrit sont entre elles comme les sommes des produits des côtés qui
(La démonstration qui suit suppose connue la formule qui exprime la
Fig. 744.
surface d'un triangle : l'aire du triangle ADC égale 1/2 ny, et l'aire du triangle ABC égale 1/2 nz; de sorte que l'aire du quadrilatère est (ny+nz) Appelons 2R le diamètre du cercle circonscrit. 