Ce théorème, qu'on peut étendre à un polygone circonscrit d'un nombre quelconque de côtés et au polygone inscrit, obtenu en joignant deux à deux les points de contact du premier, se démontre d'une manière analogue au théorème de l'Exercice 344, I, mais en utilisant le théorème de l'Exercice 345, 1 (nos 1176 et 1178).
Soient a, b, c les distances du point de la circonférence aux trois points d'intersection de la sécante et des côtés du triangle inscrit; d, e, f les distances du même point aux points où la sécante rencontre les côtés du triangle circonscrit; enfin représentons par l, m, n des valeurs constantes;
Remarques. 1° La constante dépend à la fois du triangle donné et de la direction de la sécante.
2° En représentant par a’, b’, c’, d’, e’, f’ les distances des mêmes points d'intersection au second point où la sécante coupe la circonférence, on aura, quelle que soit la direction de cette sécante :
Théorème d'Euler. Dans tout triangle, la distance d du centre du cercle circonscrit au centre du cercle inscrit est donnée par la relation d^2 = R (R - 2r).
En désignant par ra le rayon du cercle exinscrit tangent au côté a, et par da la distance de ce centre au centre du cercle circonscrit, on a d^ = R( R - 2ra).
Note. La relation d'Euler est le premier pas qui ait été fait dans une voie où d'illustres géomètres ont marché après lui : il s'agit des polygones à la fois inscrit et circonscrit à deux cercles, ou plus généralement à deux coniques. 