Théorème. Par le sommet A d’un parallélogramme ABCD, on mène une sécante AMN qui coupe BC en M et DC en N ; prouver que le produit BM · DN est constant.
En effet, les triangles ABM, ADN sont équilatéraux ; donc
d'où BM · DN = AB · AD quantité constante.
Théorème. Par un point O pris sur la diagonale BD d’un parallélogramme, on mène une sécante qui coupe les côtés adjacents AB, AD en F et G, et qui coupe les deux autres en F’ et G’ ; prouver que OF · OG = OF’ · OG'.
Les triangles OFB, ODG' sont semblables; il en est de même de OF’B, OGD ; on a donc
Exercice 349.
Théorème. Sur les côtés d’un parallélogramme articulé ABCD, ou sur les prolongements de ces côtés, on prend quatre points L, M, N, O, situés en ligne droite. En admettant que ces points restent fixes sur les côtés respectifs auxquels ils appartiennent, tandis que le parallélogramme se déforme, prouver que le rapport des distances d’un de ces points à deux autres points reste constant.
Soit, par exemple, L, M, N.
Les triangles semblables MBL, MCN donnent :
Pantographe. Le pantographe repose sur le théorème précédent.
On sait que le pantographe est un instrument qui permet de reproduire rapidement un dessin, en l’amplifiant ou en le réduisant dans un rapport donné.
En fixant le point A, par exemple, et en faisant décrire au point L une figure donnée, le point N décrira une figure semblable à la première.
Les deux figures homothétiques décrites par L et N auront M pour centre intérieur de similitude.
En fixant le point L, les points M et O décriront des figures homothétiques ayant L pour centre extérieur de similitude. 