85. 3° Les racines x' et x" sont imaginaires. Dans ce cas, on sait que le produit (x - x')(x - x") conserve le même signe pour toutes les valeurs réelles de x, il en résulte que y2 et par suite // sont toujours réels. La courbe s’étend donc indéfiniment dans tous les sens, comme au n° 83, et porte encore le nom d'hyperbole. Ce qui distingue ce cas de celui du n° 81, c’est 1° que toutes les parallèles à l’axe des y rencontrent la courbe ; 2° que la courbe ne rencontre plus son diamètre, car //2 ne pourrait devenir nul que pour x = x' ou pour x = x", valeurs imaginaires; 3° que la valeur de y* est susceptible d’un minimum différent de zéro. En effet, le trinôme x3 + 2 x4, dont les racines sont x' et x", peut s’écrire 2, mais, puisque x' et x" sont imaginaires, on a le trinôme est donc la somme de deux quantités positives, dont la première seule est variable; le minimum du trinôme, et par suite celui de //2, répondent donc au cas où la quantité variable est nulle, ce qui suppose x =— P ou X = 2 (x'-{x"); Exemple. Soit l’équation 4 y2 - 8 xy + 3 x2 - 4 y + 6 x - 4 = 0 ; on en tire y = x + 1 ±: √(x2 - 2ax + 5). La courbe est indéfinie dans tous les sens; elle ne coupe point son diamètre; mais pour x= 1, y atteint son minimum, qui est y2 = 1. La forme et la position de la courbe sont indiquées par la fig. 47. 84. figure parabole. TROISIÈME cas : B2 - 4 AC = 0. Dans ce cas, la valeur de y se réduit à y = mx + n ± √(qx + r). Soit x' la valeur qui, mise à la place de x, annulerait le binôme qx + r ; cette valeur sera l’abscisse du point où la courbe coupe son diamètre. On pourra écrire et ici, il y aura plusieurs cas à distinguer. 1° On a q>0. Pour que soit réel, il faut que a2 - x' soit positif, ou que x soit algébriquement plus grand que x'. 