Menez la diagonale AC, prolongez cette ligne, et prennez une longueur CE égale à GB ; il faut que l'on ait AE = l.
Si l'on mène BE, on reconnaît que le triangle BCE est isocèle; l'angle BCA, extérieur à ce triangle, étant de 45 degrés, chacun des angles B, E du triangle isocèle BCE égale la moitié de 45 degrés. Ainsi, dans le triangle ABE, on connaît la base AE ou l et les angles adjacents A, E.
On peut donc construire le triangle, et le petit côté AB sera le côté du carré demandé.
L'ordre le plus pratique, pour ces constructions, est celui que nous allons indiquer dans la synthèse.
2° Synthèse. Sur le milieu d'une droite AE, égale à la longueur donnée l, il faut élever une perpendiculaire; porter MA de M en N ; tracer NA et NE; mener EB bissectrice de l'angle E, puis BC perpendiculaire à AB, et enfin AD et CD qui complètent le carré.
En effet, dans le triangle ABC, l'angle B est droit, l'angle A égale 45 degrés, et, par suite, C égale aussi 45 degrés; ainsi BC = AB.
L'angle AEN égale 45 degrés; donc AEB = la moitié de 45 degrés.
Dans le triangle BCE, l'angle B égale l'angle extérieur C moins l'angle intérieur E ; 45° + 45° ou angle B = 90°, donc le triangle BCE est isocèle ; CE = CB ou AB, et la ligne AE ou l égale la diagonale AC plus la longueur du côté.
Le problème est donc résolu.
Remarque. Nous allons donner quelques autres exemples de résolution de problèmes, mais en nous bornant à les traiter par l'analyse.
Exercice.
