9°. / teoremi relativi al calcolo delle espressioni fratte di forma (172), si applicano al caso in cui a e b indicano numeri incommensurabili. Osservazione II. I teoremi 7° e 8° sono stati dimostrati da noi nei due capitoli precedenti per la seconda e la terza potenza solamente; ma la dimostrazione essendo affatto identica per qualunque altra potenza, Faramo a meno di darla. Calcolo dei radicali. 299. La radice m° del numero N commensurabile o incommensurabile è il numero la cui potenza m° è uguale a N. Questa radice si indica col simbolo y^m, si chiama indice o grado della radice. Esempio, y/n rappresenta la radice quinta di 7, o la radice di 7 il cui indice è 5. Quando l'indice della radice è 2 si fa a meno di scriverlo. Un numero intero che non è la potenza m' di un numero intero, non può essere la potenza m"^ di una frazione; quindi la sua radice m" è un numero incommensurabile. Accade lo stesso per la radice m"" di una frazione irriducibile i cui termini non sono le potenze m" di due numeri interi. Teorema I. La radice m° di un prodotto è uguale al prodotto delle radici m° dei fattori. Siano a, b, c, d numeri qualunque; bisogna provare che (a*b*c*d)^(1/m) = (a^(1/m))* (b^(1/m)) * (c^(1/m)) * (d^(1/m)). Per definizione, la potenza m" del primo membro è a^b^c^d; quindi per provare che il secondo membro è uguale a a^b^c^d, è sufficiente far vedere che la sua potenza m" è a^b^c^d. Ora, per il teorema 8°, si ha (a^1/m) * (b^1/m) * (c^1/m) * (d^1/m) = a^b^c^d, il che dimostra la proposizione enunciata. 