non alterano l'eguaglianza tra il prodotto degli estremi e quello dei medi. In particolare, si può in una proporzione: 1°. Permutare fra loro i medi o gli estremi; 2°. Porre i medi in luogo degli estremi, e reciprocamente. Così, la proporzione che ha luogo fra quattro numeri a, b, c, d, tali che a:b = c:d, esiste scritta in otto seguenti modi:

331. Teorema III. In una proporzione si può moltiplicare o dividere uno dei suoi estremi e uno dei suoi medi. Infatti è evidente che operando a questo modo si moltiplica o si divide per lo stesso numero il prodotto degli estremi e quello dei medi, lo che non altera la loro eguaglianza.
332. Teorema IV. Se due proporzioni hanno un rapporto comune, gli altri due rapporti formano una proporzione. Infatti dalle due proporzioni si può dedurre perciò questi due rapporti, eguali anche al secondo, sono evidentemente eguali fra loro.
CAPITOLO XIV.

333. Osservazione I. Se due proporzioni hanno i medesimi antecedenti, i consecutivi sono in proporzione. Se due proporzioni hanno i medesimi conseguenti, gli antecedenti sono in proporzione. Abbiano le due proporzioni a : b, c : d, e : f; se hanno i medesimi antecedenti. Permutando fra loro i medi, si ha a' : c', b' : d'; e per il teorema precedente b' : d' = c' : a'.
Osservazione II. Se due proporzioni hanno gli stessi estremi, il rapporto dei conseguenti è inverso a quello degli antecedenti. Se due proporzioni hanno i medesimi medi, il rapporto degli antecedenti è inverso a quello dei conseguenti. 