Dans les problèmes de Géométrie, où les longueurs des lignes droites jouent le principal rôle, on conçoit que l'on doit avoir souvent à considérer la distance de deux points connus ou inconnus; et que, par conséquent, quand on traite ces problèmes par le calcul, l'expression de cette distance au moyen des grandeurs qui déterminent ses extrémités, doit souvent se rencontrer. Nous en avons eu des exemples dans le petit nombre de problèmes que nous venons de traiter; et nous avons reconnu que la formule qui la représente change de forme suivant la disposition des points. Cette différence de disposition peut se rapporter aux points donnés ou à des points inconnus; quelquefois on peut la considérer comme donnant lieu à autant de problèmes différents, que l'on peut traiter séparément. Souvent aussi, comme nous en avons vu des exemples, on ne peut isoler ces différentes questions, elle résolvie d'après l'une des suppositions convient aux autres, soit complètement, soit avec certaines modifications. Mais dans tous les cas on doit faire la discussion complète, et souvent minutieuse, de toutes ces variétés de circonstances; ce qui peut être quelquefois fort long pour des problèmes très simples. Le livre d'Apollonius, huile sectione Mf&lt;&lt;o/&lt;M, a pour objet la solution d'un problème de Géométrie qui, traité particulièrement, ne conduit qu'à une équation diascrète degré, mais qui donne lieu à une grande variété de positions relatives. On conçoit donc combien il serait à désirer que l'on pût posséder des formules applicables à tous les cas, qui permettent par conséquent de les traiter tous par un seul calcul, dans les résultats duquel on puisse reconnaître d'une manière précise les formes spéciales correspondantes aux différentes dispositions des points donnés ou cherchés, et qui dispenseraient presque entièrement de chercher à prévoir tous les cas renfermés dans la question, puisqu'ils seraient annoncés à la fin par des indices certains. C'est ce que nous allons faire pour la formule qui exprime la distance de deux points, en les supposant déterminés par leurs distances à deux droites rectangulaires; ce qui est le système le plus employé et presque toujours le plus commode.
Soient XX', YY' (~. 8) les deux axes auxquels nous sommes. 