Occupons-nous d'abord du développement de la fonction log(). En posant \(c=K\) ou \(a, b, p\) désignent des nombres réels, on aura \(log(\frac{b}{a}) = \frac{log(b)}{log(a)}\), où \(log\) désigne la valeur absolue de \(log\) aura donc \(log(\frac{b}{a}) = \frac{log(b)}{log(a)}\). Si \(log\) est en valeur absolue plus petite que \(1\), les quantités précédentes seront toutes deux plus petites que \(1\) donc, puisque la fonction \(log\) est une fonction holomorphe de \(c\) tant qu'on a \(c < 1\), les fonctions de \(log\) et \(log(\frac{b}{a})\) seront holomorphes tant que l'on aura \(j < 1\).

La série \(log(1-\frac{t}{r})\) en supposant qu'elle soit convergente, est évidemment une des déterminations de \(log(1+c)\); la convergence de cette série et la faite que sa somme est une fonction holomorphe de \(c\), tant que l'on a \(j < 1\), seront établis à la fois si l'on prouve que la série double \(\cos^n x\) est absolument et uniformément convergente tant que \(j\) est moindre qu'un nombre plus petit que \(1\). Or on a \(cos^n x = e^{inx}e^{-inx}\) et, par suite, \(cos^n x = \frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\) dès lors il suffit de prouver la convergence des séries à termes positifs \(\frac{1}{n}(\frac{1}{r})^n\) et \(\frac{1}{n}(\frac{1}{r})^n\) qui est évidente lorsque \(j < 1\) puisque la somme de la première série, par exemple, est égale au logarithme de l'inverse du produit infini \(n=1,\frac{1}{r}\). 