47. Considérons maintenant l'intégrale
J F(g, x, s) dS.
dans laquelle x sera regardé comme une constante assujettie seulement à être représentée par un point qui appartienne à l'aire (A); quant à s, ce sera une constante telle que p~(s) ne soit pas nul. Nous allons montrer que, si l'on prend cette intégrale sur la circonférence d'un cercle ne passant par aucun pôle, ayant son centre au point o, de rayon infiniment petit ou de rayon infiniment grand, elle est infiniment petite. Admettons, pour un instant, qu'il en soit ainsi.
Entre deux cercles ayant pour centre commun le point o, la fonction F(g, r, z), où est la variable, est univoque elle n'admet pas d'autres singularités que des pôles, en nombre fini, quand on a fixé les deux cercles, à savoir le point s == 1, que Fon peut toujours supposer situé entre les deux cercles, et ceux des points s == dh où n est un nombre entier, qui sont aussi situés entre les deux cercles. Tous ces points sont des pôles simples de la fonction considérée comme une fonction de s. Par suite, lorsque le rayon d'un des deux cercles croît indéfiniment, que l'autre décroît indéfiniment, la somme des résidus de la fonction, résidus dont l'un est F(y, 1), tendra vers zéro. On prévoit ainsi qu'on obtiendra F(y, 1) sous forme d'une série. On voit même, puisque l'intégrale est infiniment petite sur le cercle infiniment petit, ou sur le cercle infiniment grand, que la somme des résidus résiduels aux pôles compris entre deux cercles ayant pour centre le point o tend vers une limite quand le rayon du cercle intérieur décroît indéfiniment ou que le rayon du cercle extérieur grandit indéfiniment. 