Démontrons d'abord que les côtés opposés GI, BC sont parallèles, tandis que la diagonale EF est antiparallèle à ces mêmes côtés.
La droite MN qui joint les pieds de deux hauteurs est antiparallèle au côté BC; or pour le triangle ANM, GI est antiparallèle au côté NM, donc GI et BC sont parallèles. La diagonale EF est parallèle à NM, à cause des triangles semblables ELF, NHM ; donc EF est antiparallèle à BC.
De même FD est parallèle à AB, et IJ est antiparallèle aux mêmes droites AB et FD ; puis EJ est parallèle à AC, tandis que GD est antiparallèle à ces deux droites.
Ceci démontré, il est facile d'établir que l'hexagone est inscriptible : ainsi le quadrilatère EGIF est inscriptible puisque les côtés opposés EF, GI du quadrilatère EGIF sont antiparallèles; le quadrilatère JEGI est inscriptible, puisque AB, IJ sont antiparallèles par rapport aux côtés CA, CB, ou par rapport aux parallèles à ces mêmes côtés EJ, GI.
Les deux cercles ayant trois points communs E, G, I se confondent; de même le sixième point D appartient à ce cercle.

Remarques. 1° Les trois diagonales sont égales entre elles, car le trapèze GIDJ est inscrit, et par suite symétrique; PQR est le triangle médian du triangle orthique LMN de ABC.
Le cercle inscrit au triangle PQR des trois diagonales égales est concentrique au cercle circonscrit EGIF; le centre se désigne par T.
Le cercle de Taylor appartient au groupe général des cercles de LEMOINE ou de TUCKER, car les six points concycliques sont déterminés, en réalité, par trois antiparallèles égales EF, DG, IJ. 