134. Problème. Construire un triangle, connaissant le périmètre, un angle et la hauteur abaissée du sommet de cet angle.
Formons un angle A égal à l'angle donné; déterminons l'enveloppe de la base du triangle à périmètre constant 2p (n° 124). Pour cela, prenons AD = AE = P, élevons les perpendiculaires DO, EO, et décrivons le cercle ex-inscrit au triangle demandé.
Du sommet A, il faut décrire une autre circonférence avec h pour rayon, puis mener une tangente commune aux deux circonférences AO, OE.
La dénomination de cercles ex-inscrits (G., n° 189) est due à LHUILIER, de Genève, en 1812.
SIMON LHUILIER, né à Genève en 1750, eut pour professeur Louis BELLAND, connu par la démonstration des parallèles (n° 425). LHUILIER résida longtemps à Varsovie, puis à Genève, où il publia la Geométrie. Il mourut en 1820, après avoir compté Stein au nombre de ses élèves.
III
EMPLOI DE FIGURES AUXILIAIRES
SI. — Constructions auxiliaires.
135. Le recours à des constructions auxiliaires, soit pour démontrer un théorème, soit pour résoudre un problème, est moins une méthode qu'un procédé dont l'emploi est réclamé par la plupart des questions à traiter. Les exercices déjà proposés en fournissent plusieurs exemples (nos 48, 49, 51).
Il est impossible d'indiquer d'une manière générale les constructions qu'il convient de faire ; mais parfois une seule ligne donne des rapports inattendus d'où dérive directement la solution.
Dans les exemples que nous allons donner, les lignes auxiliaires seront tantôt une ou plusieurs droites, et tantôt une circonférence.
Exercice.
136. Théorème. Les côtés opposés d'un quadrilatère inscriptible, dont une des diagonales est un diamètre, se projettent sur l'autre diagonale suivant des longueurs égales.
Soit ABCD un quadrilatère inscrit, AOC le diamètre, CE, AF les perpendiculaires abaissées sur la diagonale BD. 