Noi indicheremo con x, y i valori così ottenuti per le x, y, per ricordare che esse in realtà dipendono anche dal punto (u, v) considerato. Corrispondentemente a un’altra coppia di valori (u, v), troveremo altre funzioni x, y tali che un’equazione x + y = h (dove h, k sono costanti) rappresentano una sezione piana di S passante per il punto (u, v), così come le equazioni x + ky = h (k, h costanti) rappresentano sezioni passanti per il punto u, v;. E poiché tra tutte queste sezioni ve ne sono 2 passanti contemporaneamente per i punti (u, v) ed (u, v), esisteranno 3 sistemi di valori per le x, A, x, tali che le equazioni x + ky = h per i = 1,2 rappresentino le stesse sezioni. Anzi i valori corrispondenti di k, k sono in corrispondenza lineare, perchè le 2 sezioni ora considerate determinano sui piani tangenti in (v, v) ed in (u, ve) due fasci proiettivi. E noi potremo fare una tale trasformazione lineare intera p. es. sulle x, y in guisa che sia y = xs, cioè che gli o piani x + ky = h coincidano con infiniti piani rg + kys = hs. I valori di rg, e quello di h si determinano osservando che questi piani passano per i punti (u, v) ed (u, ve). 

DEFINIZIONE PROIETTIVO-DIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE
Perciò i piani:
[uw - (u + v)] + [yw - (y + v)] = 0
coincidono coi piani:
[u - (u + va)] + [y - (y + vb)] = 0. 