Bei der Classification von Curven können diejenigen Unterscheidungen als fundamental betrachtet werden, welche unzerstörbar sind durch Projection, oder mit anderen Worten, welche nicht nur Curven sondern Kegel derselben Ordnung von einander unterscheiden. Unter den Curven zweiter Ordnung gibt es solche Unterschiede nicht, weil nur eine Art von Kegeln zweiten Grades existiert. Um zu erkennen, ob solche Unterschiede für die Curven dritter Ordnung existieren, reicht es hin, die Form ihrer Gleichung, in welcher nach dem Beweis des letzten Artikels die Gleichung jeder solchen Curve überführt werden kann, darauf zu untersuchen, ob und welche durch Projection unzerstörbare Verschiedenheiten zwischen den durch sie dargestellten Curven existieren. Und da es sich nur um Verschiedenheiten handeln soll, welche durch Projection unzerstörbar sind, so können wir die Gerade x = 0 im Unendlichen voraussetzen und die Form x^3 = ax^2 - 3hxi^2 - dcx^2 - d oder discutieren, als eine solche, welche eine Projection jeder gegebenen Curve dritter Ordnung darstellt. Wir bemerken, dass für einen im Unendlichen gelegenen Inflexionspunkt ein System durch ihn gehender Sehnen zum System paralleler Ordinaten und seine harmonische Polare zu einem dieselben halbierenden Durchmesser wird, wie denn in der Tat die obige Gleichung für jeden Wert von x zwei gleiche und entgegengesetzte Werte von y liefert.
Die vorige Gleichung ist früher in Art. 39. zum Teil discutiert worden und aus dem dort Gesagten erhellt, dass die durch sie dargestellten Curven in folgende fünf Hauptklassen geteilt werden können: Die rechte Seite der Gleichung kann in drei ungleiche Factoren zerlegbar sein und diese Factoren können (I) alle reell sein. Die Curve besteht dann aus einem Oval und einem unendlichen Ast (Art. 39.). 