Per dimostrarlo consideriamo tre numeri, 4, 5, e 6, e proponiamoci di provare che il prodotto dei numeri 4, e 5 moltiplicato per 6, che indicheremo così, (4. 5). 6, è lo stesso del prodotto dei numeri, 5 e 6 moltiplicato per 4, ovvero (5. 6). 4. Si è già veduto che 4. 5 è lo stesso di 5.4 (§. 8), e perciò in vece di (4. 5). 6 potremo scrivere (5. 4). 6. Ora, il prodotto di 5 per 4 non è altra cosa che il 5 ripetuto quattro volte, ed il prodotto di 5 per 6 equivale al 5 ripetuto sei volte. Disponiamo dunque il prodotto 5.4, composto di quattro 5, in una linea orizzontale, e scriviamo cinque linee simili al di sotto. Otteniamo così compilo un quadro del quale ogni linea orizzontale corrisponde al prodotto 5.4, ed ogni colonna verticale al prodotto 5.6, e siccome il quadro stesso può considerarsi composto di sei linee orizzontali, o pure di quattro colonne verticali, così sei volte il prodotto 5.4 sarà la stessa cosa di quattro volte il prodotto 5.6 ovvero

(5.4). 6 = (5. 6). 4

come ci eravamo proposti di dimostrare. 