Il faut prouver que BE = DF. En effet, en traçant comme ligne auxiliaire le diamètre parallèle à BD, prolongeant CE, et menant la perpendiculaire OH, on obtient deux triangles rectangles égaux : OAN, OCM, donc OM = ON. Donc BE = FD. De même BF = ED. C. Q. F. D.
Exercice.
Problème. Une rivière, dont le cours est rectiligne dans la partie considérée, passe entre deux localités inégalement éloignées du cours de l'eau. Où faut-il construire un pont perpendiculaire à la rivière, pour que les deux localités soient à des distances égales de l'entrée correspondante du pont ?
Fig. 81.
Supposons le problème résolu ; soit AMNB la ligne brisée telle que MN soit perpendiculaire à RM et que AM = BN. En menant une droite auxiliaire BC égale et parallèle à MN, on reconnaît immédiatement que le point M sera déterminé par la perpendiculaire DM élevée au milieu de AC; car la figure BCMN est un parallélogramme; donc BN = CM = AM.
Exercice.
Problème. Étant données deux circonférences sécantes A et B, mener par l'un des points d'intersection E une sécante qui soit divisée par ce point dans un rapport donné ?
Fig.82.
Pour résoudre la question posée, on pourrait recourir à un lieu géométrique déjà étudié (n° 65); mais le problème comporte une solution particulière très simple, qu'il est utile d'indiquer.
Soit le problème résolu et en ne prenant que la moitié des cordes. 