Es ist unterliegt keiner Schwierigkeit, durch eine mit der in den anderen Fällen angewendeten sehr ähnliche Schlussweise die Charaktere der inversen Kurve einer gegebenen Originalkurve zu bestimmen, somit auch die Charaktere der Fusspunktcurve und der negativen Fusspunktcurve; es erscheint als hinreichend, die Resultate der Untersuchung mitzuteilen. Wir geben s und z, um durch sie, wie früher auszudrücken, respective, wie viel mal die Kurve durch einen der Punkte oder J geht, und wie viel mal sie die Gerade JJ berührt; wir bezeichnen durch £*, a* die reciproken Singularitäten, nämlich die Zahl von Berührungen einer Kurve mit einer der Geraden Ol oder OJ und die Vielfachheit des Hindurchgehens durch den Ursprung O; ferner durch Jto und Tii die Zahl der zusammenfallenden Tangenten für einen vielfachen Punkt in O oder in I oder J, so dass z. B. ;r, = 1 wäre, falls der Ursprung eine Spitze ist; endlich durch ;r,* und 71- die reciproken Singularitäten, üanii erhalten wir für die inverse Kurve

^'= 2 fi — £ — ö*, v=^ V -|- 2,a — 2 (£ + 0*) — (a*+ (7) -| (;r,|-| TT,),

£'= 2W, — £ — 2ö*, G'= 7r,*, £*'= 7r,^, Ö*' = [1 — £,

n, = a, T1'= £*, für die Fusspunktcurve

}i'= 2v — £* — a, v'= ii + 27^— 2 ((7|-|£*) — ((J|^+£) + 7r,*+7r,,

t = 2 1/ — 2 a — £*, 6 = 7r*, £*' == 7r,*, o*' = v — £*,

Tc, = 6*j 7t 1 = £ ;

endlich für die negative Fusspunktcurve

^,'= 2v — 2^ - 2 (£ + a*) - (£*+ 7), + 7t, + 7t,,

V = 2\i, £ = (J*, f'== 7t, 7t' == 7t — f,

£*'^= 2ft — £ — 2 a*, (?*'= 7r,o, nö = o, 7t 1= £*. 