Ainsi, de même que, de la similitude des triangles établie par l'égalité de trois angles, on déduit :
de même, de l'égalité de ces rapports et de l'égalité des angles en M, on déduit que l'angle MPE = MGP, etc.
Exercice.
27. Théorème. — Cercle des neuf points. Dans un triangle, les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des droites qui joignent les sommets au point de concours des hauteurs, sont situés sur une même circonférence.
EULER, Mémoires de Saint-Pétersbourg, 1765.
Fig. 10.
Soient D, E, F les points milieux des côtés; AK, CG deux des hauteurs, et L le point milieu de AH.
Circonscrire une circonférence au triangle DEF.
Pour démontrer le théorème, il suffit de prouver que cette circonférence passe par le pied K, d'une hauteur quelconque, et par le point L, milieu de AH.
1° La droite FK, qui joint le sommet K de l'angle droit au point milieu F de l'hypoténuse, égale la moitié de cette hypoténuse (G., n°222); donc FK = FC = donc DE.
Ainsi le trapèze EDFK est isocèle; par suite, la circonférence qui passe par E, D, F, passe aussi par le quatrième sommet K.
2° La droite FL, qui joint les points milieux F, L des côtés du triangle ACH, est parallèle à la base CH ; d'ailleurs FE est aussi parallèle à AB ; donc l'angle EFL égale l'angle AGC, égale donc 90 degrés.
Le quadrilatère EKFL est inscriptible à cause des angles droits EKL, EFL; donc la circonférence qui passe par les trois sommets E, K, F, passe aussi par le quatrième sommet L. C. Q. F. D. 