Plus grande des grandeurs. Nous avons procédé ensuite à la mesure des quantités pour lesquelles la question peut être ramenée à la considération de l'égalité, tels sont les figures planes terminées par des lignes droites, les angles et les solides prismatiques. Enfin nous avons résolu un certain nombre de problèmes, comme exemptes de diverses restrictions, principalement de la méthode analytique qui les domine toutes, et que nous avons fait ressortir avec grand soin. De plus, nous avons comparé et mis en forme des séries de sommes de petits. La comparaison des grandeurs ne peut pas toujours être ramenée à la considération de l'égalité. Les figures planes terminées par des droites peuvent être décomposées en triangles dont la mesure se ramène à celle des côtés, dont la comparaison au carré pris pour unité s'effectue par la décomposition en parties égales. Mais il n'en est pas de même des figures terminées par des courbes; et pour la comparaison des surfaces des cellules soit entre elles, soit avec l'unité, il a fallu avoir recours à de nouvelles conceptions. C'est à cette occasion que les anciens géomètres ont imaginé de considérer les grandeurs commensurables d'autres grandeurs variables, dont la comparaison était plus facile. Ils cherchaient alors la relation entre ces nouvelles grandeurs, et après en avoir tiré par induction celle qui devait exister entre les propositions, ils la démontraient rigoureusement par la méthode de réduction à l'absurde. Les variables considérées par Euclide sont des sommes de grandeurs constantes en nombre indéfiniment croissant c'est-à-dire, dans notre langage, qu'il regarde les quantités en question comme limites de la somme des termes de séries convergentes et il démontre cette convergence en s'appuyant sur ce théorème général que si l'on ôte d'une quantité quelconque plus de sa moitié, puis du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite indéfiniment, on pourra parvenir à un reste moindre que toute quantité désignée. 