La ragione dei quadrati si chiamava dagli antichi geometri ragione duplicata, per cui composta di due ragioni eguali, come similmente quella dei cubi si diceva ragione triplicata; per cui, secondo questo linguaggio, di quattro grandezze continuamente proporzionali la prima sta alla terza in ragione duplicata della prima alla seconda, e la prima sta alla quarta in ragione triplicata della prima alla seconda.

La ragione di due frazioni è composta della diretta dei loro numeratori e della inversa dei loro denominatori. Siano le due frazioni i, y; riducendole allo stesso denominatore la ragione dell’una all’altro potrà essere espressa da quella dei numeratori delle nuove frazioni (§. 54, II) cioè si avrà,

la quale proporzione esprime la proprietà enunciata. Da qui risulta ancora che una frazione sta alla sua reciproca come il quadrato del suo numeratore sta al quadrato del suo denominatore. In fatti,

Componendo una ragione qualunque con la sua inversa si ha una ragione di uguaglianza; perchè moltiplicando una frazione qualunque per la stessa frazione rovesciata, deve aversi una frazione col numeratore uguale al denominatore, e così pure dovrà accadere se si moltiplicherà una frazione per la sua equivalente rovesciata, cui può darsi l'aspetto di. 