Sia data una retta OA e un punto P non coincidente con O. Sia Q un punto della retta OA e R una retta passante per P e parallela a OA. Sia infine IP una retta passante per I e perpendicolare a OA. Si chiami TO la sezione rettoria di TO con la retta IR.

Se allora TP è maggiore del rettangolo OIP in quanto alla data ragione del quadrato di Q al quadrato di R, sarà in tal caso la differenza del rettangolo MIN, e del quadrato di Q al rettangolo OIP, come il quadrato di Q al quadrato di R; e presa sulla TP la TX come si è detto di sopra, si rileverà similmente essere ancora la differenza dei parallelogrammi TY, ed MN, ossia la differenza dei parallelogrammi PY, e PN al parallelogrammo IO, come il quadrato di Q al quadrato di R; ed essendo di uguaglianza la ragione dei quadrati di Q, e di R (Fig. 67, e 68), sarà del pari la differenza dei parallelogrammi PY, e PN uguale al parallelogrammo PO, e con ciò il parallelogrammo PY sarà uguale al parallelogrammo TO; e reciprocando i loro lati, sarà TN, o la sua uguale IP a - PX, come PM, e la sua uguale TS a TU, cioè in una data ragione; e perciò il punto I toccherà benanche una retta data di sito.

Se poi non sia di uguaglianza la ragione di Q ad R, ma una di queste rette, poniamo la Q, sia maggiore di R (Fig. 70, e 71), allora sarà la differenza dei parallelogrammi PY, e PN anche maggiore del parallelogramma PO; e prese parimenti nella TH le TZ, e ZU nella data ragione dei quadrati di Q, e di R, sarà pure la differenza dei parallelogrammi PY, e PN al parallelogramma PO, come TZ ad ZU, e dividendo sarà l'eccesso della differenza dei parallelogrammi PY, e PN sul parallelogramma PO, ossia l'eccezionale. 