Ist die dem höchsten Punkt entsprechende Lage des erzeugenden Kreises, so ist wegen AM = arc, PM, AM" = arc. MP'PN, auch LP' = arc. P = IV* d. h. die Curve wird erzeugt, indem man die Ordinaten eines Kreises so verlängert, dass die Verlängerung dem entsprechenden vom Endpunkt des Durchmessers aus gemessenen Bogen gleich ist. Setzen wir LP'IV* = 0, so wird die Curve auf AIV*, IV* als Achsen bezogen durch die Gleichungen y = a (1 - cos Q), x = a (B - sin Q) dargestellt.

Die Construction der Tangente der Curve ergiebt sich aus der Bemerkung, dass in jedem Moment der Bewegung des erzeugenden Kreises der tiefste Punkt M dieses Letzteren in Ruhe ist, so dass die Bewegung eines Punktes P in demselben Augenblick eine Kreisbewegung um M und die Normale seiner Bahn nach M gerichtet, die Tangente derselben also die Gerade PN ist.

Die Gleichung dy/sin Q, dx / (1 - cos Q) beweist das Nämliche analytisch, denn die Tangente macht darnach mit der Achse der x einen Winkel, welcher ju /. CNP oder -^(p (komplementär) ist.

Wir verbinden hiermit die geometrischen Beweise der Haupteigenschaften der Cycloide.

Die von der Cycloide mit ihrer Basis umgrenzte Fläche ist dreimal so groß wie die Fläche des erzeugenden Kreises. Denn man hat das Flächenelement PFRR = dE, PFT' = m. P'P'Q'Q und somit die von der Cycloide begrenzte Fläche AEN*FB der Fläche des erzeugenden Kreises gleich, oder weil die Fläche ÄEFB das Vierfache der Letztern ist, die Fläche AN" EM* gleich dem Dreifachen der Fläche des erzeugenden Kreises.

Der Bogen IV*P der Cycloide ist doppelt so groß, wie die Sehne N*F des erzeugenden Kreises. 