Soit F le point où BE rencontre AH, il suffit de prouver que AF = FH. Fig. 774.
Remarque. 1° Les diagonales et la hauteur AH sont les symétries du triangle rectangle BAC; or on démontre directement que les symétries qui partent des sommets B et C se coupent au point milieu de la hauteur relative à l'hypoténuse.
On pourrait prouver d'abord que les diagonales se coupent sur AH, puis se rappeler que la parallèle aux bases d'un trapèze, menée par le point de concours des diagonales, est divisée en parties égales par ce point (n° 1109). Mais établir la première partie serait aussi long que la démonstration donnée ci-dessus.
Exercice 372.
Théorème de Desargues. Lorsque les côtés de deux triangles se coupent deux à deux en trois points situés en ligne droite, les droites qui joignent deux à deux les sommets correspondants se coupent au même point. Fig. 775.
Soient les triangles ABC, A'B'C' tels que les points L, M, N soient en ligne droite; il faut prouver que les lignes AA', BB', CC' concourent en un même point O.
1° On peut démontrer ce théorème à l'aide des transversales et du théorème de Ceva; 2° En employant le rapport anharmonique (G., n° 782); 3° En recourant à un solide auxiliaire. (Méthodes, n° 177.)
Exercice 373.
Théorème réciproque. Lorsque les sommets de deux triangles sont deux à deux sur trois droites qui concourent en un même point, les côtés des triangles se coupent deux à deux en trois points situés en ligne droite. 