Dimost. Essendo il triangolo DGB, rettangolo, si avrà DG : GB : : tang. a : 1. Dipoi il triangolo rettangolo EGB, ci da GB : GE : tanghi r. Quindi moltiplicando i termini di queste due proporzioni in corrispondenza, si avrà DG : GE : : tang. a tang.ó : 1; ma sta R : r 1 * tang. a tang.À : 1, dunque sarà ancora DG : GE : : R‘ 1 : r x, ed essendo per costruzione DG~R ?, sarà ancora GE=r 1. Quindi è vero che GE è il raggio della sfera iscritta. C. B. D.
TEOREMA III
Le superficie dei Poliedri regolari del medesimo nome, sono tra loro come i quadrati dei loro lati.
Dimost. Sieno L, ed L' lati di due Poliedri regolari dei medesimo nome, saranno le loro superficie. Quindi avremo S : S' : : pnL 1 cot. b p' n' L' 2 cot. b'; ossia S : S' : : pnL*cot.6 : p'n' L'cot. b; ma essendo i Poliedri dell’ istesso nome, sarà p = p', a = n', b=b’, e perciò si avrà S : S’ : : L* : L. Dunque le superficie de’ Poliedri dell’ istesso nome sono tra loro come i quadrati de’ loro lati. C. B. D. 