L'idée heureuse qu'ont eue les anciens pour éluder la difficulté de trouver des relations entre les côtés et les angles des triangles, problème auquel se ramènent tous les autres, a été de considérer, au lieu des angles eux-mêmes, des droites qui les déterminent, et, réciproquement, sont déterminées par eux. Ils ont choisi, à ce effet, les lignes, ou plutôt les rapports de longueurs, les plus commodes, et ont trouvé des relations entre ces quantités et les côtés des triangles. Ils ont ensuite construit une table qui faisait connaître quelques-unes par les autres ces quantités et les angles correspondants de sorte qu'il était indifférent d'avoir des équations dans lesquelles entrassent les angles, ou ces quantités auxiliaires que l'on nomme. Cette conception est l'une des plus importantes dans l'application réciproque de la science des nombres et de la géométrie et ce qui donne beaucoup d'utilité des équations auxquelles elle conduit, c'est la possibilité de renfermer, sous un seul type, toutes les formules relatives aux divers cas qu'une même question peut présenter. Le moyen unique par lequel on y parvient consiste encore à regarder comme implicitement négatives dans les formules, les quantités qui se trouvent dirigées en sens opposé à celui qu'elles avaient dans les figures qui ont servi à trouver les formules. La condition expresse de cette extension est qu'on exécute les opérations sur ces quantités négatives d'après les règles démontrées dans le cas des polynômes; de sorte qu'il n'y a encore aucune question à se faire sur cette manière d'opérer, puisqu'il a été démontré que cette manière d'agir est un moyen sûr de tirer tous les cas particuliers d'un seul système d'équations, au lieu d'en employer plusieurs; ce qui est un avantage considérable dont on pourrait se passer, mais qu'il ne serait pas raisonnable de repousser. 