On sait que les côtés d'un parallélogramme inscrit sont parallèles à deux diamètres conjugués; menons donc le conjugué DG du diamètre donné AB et une tangente EMF qui détermine un triangle isocèle ; le point M est le sommet demandé.
Fig. 221.
En effet, d'après une propriété connue du triangle isocèle (n° 19), on a : MQ + MP = GH + GK donc MP + MQ > IH + IL, etc.
Remarque. La question précédente peut être considérée comme n'étant qu'un cas particulier de la suivante.
Exercice.
340. Problème. On donne deux droites et une courbe; par chaque point de la courbe on mène des parallèles aux droites données; étudier les variations de la somme des parallèles ainsi menées.
Prenons deux longueurs égales OA, OB; le triangle AOB sera isocèle et donnera
Fig. 222.
DE + DF = OB Pour avoir le maximum et le minimum, il faut mener des tangentes parallèles à BA.
M correspond au maximum.
MP + MQ = OR Pour le point D la somme diminue.
Le point de contact N donne le minimum.
Pour le point J, on a : JI + JL = OK Pour les points d'intersection, tels que H, une des lignes est nulle.
Remarque. On procède d'une manière analogue lorsqu'on abaisse des perpendiculaires de chaque point de la courbe sur OX et OY.
Exercice.
341. Problème. On donne de grandeur et de position une circonférence et une droite limitée CD. Pour quel point A de la circonférence l'angle CAD est-il maximum ou minimum ?
Pour obtenir un angle CAD ayant une grandeur donnée, il faudrait décrire sur CD un arc de segment capable de l'angle donné. 