On prend 3°
+ 6', +8", -8" + 8', -6", +6" + 8', -8", -o" 

Dans chacun de ces trois derniers cas, il y aura toujours deux points d’un côté de la directrice, et le troisième d’un autre côté, ce qui ne peut convenir qu’à une hyperbole. Ainsi le problème admet en général quatre solutions, parmi lesquelles se trouvent au moins trois hyperboles. Remarque I. Ce problème a une grande importance en astronomie, où il sert à déterminer la trajectoire d’une planète, lorsqu’on connaît trois positions de l’astre. Il n’admet alors qu’une solution, parce qu’on sait que les planètes se meuvent dans des ellipses dont le soleil occupe un foyer. Les données de la question sont alors les trois rayons vecteurs déjà désignés par 8’, 8”, 8’’, et les angles que ces rayons vecteurs font avec une droite fixe passant par le foyer. On fait usage ordinairement des coordonnées polaires. L’équation de l’ellipse en coordonnées polaires est 
P =
1 — e cos (w — a) 
a étant l’angle de l'axe polaire et de l’axe focal de la courbe. Il ne s’agit plus
que de déterminer les inconnues p, e, a au moyen de trois couples de valeurs de p, w, qui doivent satisfaire à cette équation. Ce qui n’offre aucune difficulté. Remarque II. On peut donner du même problème une solution géométrique que nous nous contenterons d’indiquer. Elle repose sur ce théorème. Si deux points M et M'appartiennent à une ellipse, à une parabole ou à une même branche d’hyperbole dont le foyer est en F, le point qui partage la droite MM' en deux segments soustractifs dans le rapport de MF à M'F, appartient à la directrice correspondante au foyer F. Si les deux points M et M' sont sur deux branches d’hyperbole, c’est le point qui partage MM' en deux segments additifs dans le rapport de MF à M'F qui est sur la directrice. Au moyen de ce théorème on pourra donc avoir deux points de la directrice, et par suite celle droite. Abaissant du point F une perpendiculaire FP sur la directrice, on aura la direction de l’axe focal. Les sommets s’obtiendront en partageant FP en deux segments additifs ou soustractifs dans le rapport des distances de M au foyer et à la directrice. 