Par le point 0 de concours des diagonales, menons des parallèles IJ, MN aux bissectrices EU, FL des angles E, F.
Il faut prouver que IJ et MN sont les bissectrices des angles 0.
En effet, a = 12 (DH ∘ AG) mais l'arc GI = HJ on peut ajouter ou retrancher ces grandeurs égales et écrire : a = 12 (DJ + AI) a = 12 (CJ + BI)
mais a = b donc DJ + AI = CJ + BI d'où DJ + BI = GJ + AI

Le premier membre est le double de la mesure de l'angle c; le second est le double de d.
Donc c = d. Q. F. D.
On prouverait de même que MN est bissectrice de l'angle BOC.
674 (a). Calcul. Posons arc BM = x, MK = y, KC = z ou AN = x', NL = y', LD = z'
La bissectrice KL donne : x' + y' - z - y = z' - z d'où y' - y = z - z - x - x (1)
La bissectrice MN donne : x + y' + z' = y + z + x'
d'où y' - y = z + x' - x - z' (2)
additionnant (1) et (2) membre à membre : 2(y' - y) = 0 ; d'où y' = y
Donc MN et KL sont parallèles.
Exercice 132. — I.
687. Théorème. Lorsqu'on prolonge les côtés opposés d'un quadrilatère inscriptible, et qu'on mène les bissectrices des deux angles ainsi obtenus, ces lignes coupent les côtés du quadrilatère en quatre points, qui sont les sommets d'un losange inscrit dans la figure donnée.
Soient EH, FJ les bissectrices des angles E, F formés par les côtés opposés du quadrilatère donné ABCD. 