Les triangles ABD, EAB sont semblables, car ils ont un angle commun, et l'angle ABD a même mesure que l'angle AEB; donc
d'où AB2 = AD * AE. Remarque. Ce théorème se rapporte à une question connue (n° 1294).
Exercice 402.
1305. Théorème. Lorsque deux cercles sont tangents extérieurement, la distance des points de contact d'une tangente extérieure commune aux deux cercles est moyenne proportionnelle entre les diamètres des cercles.
Soient r et s les rayons des cercles, t la distance AB.
AB2 = DC2 + CE2
Fig. 821.
mais DC = r-s; GE = r-s; t2 = (r + s)2 - (r - s)2 = 2rs + s2 - r2 = 2rs + (r + s)(r - s) t2 = 2r2s. C. Q. F. D.
Autres démonstrations. Les triangles équiangles ABN, ABM (fig. 822) donnent donc
Fig. 822.
Le quadrilatère AMCE, BMED sont semblables (fig. 823), on a: MA = MB = ME = 2 Le triangle rectangle DMC donne: t2 = DE * EG = r * s d'où t2 = 2rs. C. Q. F. D.
1306. Théorème. La distance FH du point de contact à la tangente extérieure égale à la demi-somme des rayons et à chacun de ces rayons (fig. 821).
1307. Théorème. La distance FO du point de contact au centre extérieur de similitude des deux cercles est donnée par 2rs (fig. 821).
Exercice 403.
1308. Théorème. Lorsque trois circonférences sont tangentes deux à deux et sont inscrites dans le même angle, le rayon de la circonférence intermédiaire est une moyenne proportionnelle aux rayons des circonférences extrêmes.
Fig. 824. 