OSSERVAZIONE. La sola operazione che richiede una concezione veramente nuova è quella della moltiplicazione: tutte le altre dipendono da essa.
Teoremi relativi ai numeri incongruenti.
Teorema 1. Si possono sempre trovare due numeri commensurabili aventi la differenza piccola quanto si vuole, e che comprendono tra essi un numero incongruente dato.
Sia n un numero intero qualunque; se si considera la serie
1, 2, 3, 4, 5, ...
n, n, n, n, n

si vede che i suoi termini aumentano senza limite, oppure perché cominciano da 0, il numero dato, qualunque sia, è necessariamente compreso tra due di essi, e si può prendere n abbastanza grande, per cui la loro differenza sia piccola quanto si vuole.
Osservazione 1. In conseguenza del teorema precedente, ammetteremo come evidente che i teoremi seguenti, che sono stati dimostrati per numeri commensurabili qualunque, si applicano anche a numeri incongruenti.
1°. In un prodotto di più fattori, si può mutare l'ordine dei fattori.
2°. Per moltiplicare un numero per il prodotto di più fattori, si può moltiplicarlo successivamente per questi diversi fattori.
3°. Per moltiplicare un prodotto per un numero, basta moltiplicare uno dei suoi fattori per questo numero.
4°. Per moltiplicare un prodotto per un altro prodotto, basta formare un prodotto unico coi fattori del moltiplicando e quelli del moltiplicatore.
5°. Per moltiplicare due potenze di uno stesso numero basta sommare gli esponenti.
6°. Per dividere due potenze di uno stesso numero, basta sottrarre dall'esponente del dividendo quello del divisore.
7°. Per elevare una potenza ad un'altra potenza, basta moltiplicare il primo esponente per il secondo.
8°. Per elevare un prodotto a una potenza, basta elevare ciascun fattore a questa potenza. 