Supposons d'abord que les deux aires (A) et (B) n'aient pas d'autres points communs que ceux qui appartiennent à la région (C) ainsi définie. On pourra effacer la partie du contour de (A) qui est dans (B), celle du contour de (B) qui est dans (A) et dans l'aire (A, B), dont les points appartiennent soit à (A) soit à (B), on aura défini une fonction homéomorphe F(z), égale à f(z), à g(z) ou aux deux fonctions f(x) et g(z), suivant que le point z est dans (A), dans (B), ou à la fois dans (A) et dans (B).
Mais, si les deux aires (A) et (B) ont une autre région commune (D) telle que l'on ne puisse effacer en partant de cette région restante une portion dans les aires (A) et (B), rien de ce qui précède n'autorise à dire que, dans cette région (D), les deux fonctions f(z), g(z) coïncident. Il pourra, suivant les circonstances, en être ou n'en être pas ainsi, et il faudra se garder, dans ce dernier cas, d'effacer les portions du contour de (A) ou de (B) qui limitent la région (D). On voit, sans que nous insistions davantage, comment s'introduit de cette façon, la notion de convergence, que nous supposons d'ailleurs familière au lecteur.
Donnons un exemple des méthodes et propositions qui précèdent. Partons de la série
f(z) = z + z^2 = + z
danstaquette le cercle de convergence évidemment l'unité pour rayon. En un point z intérieur à ce cercle, on a pour les dérivées successives
f'(z) = 1 + a + 2 = -1,
f"(z) = (1 + z)^2 = -1 (1 -4z^2)
et par suite, a'; étant un point intérieur au cercle,
n(z) = (f(z))^(-1)(z - 1) (1 + z^2)
1 + x, "(1 + x)' 3 (1 -4x^2)
~)-T-(p(~'). 