L'équation ~(J, <) = 0, considérée soit comme une équation en <, n'a de racines égales que pour un nombre fini de valeurs de t, ou un nombre fini de valeurs de puisqu'elle est irréductible. Considérons-ta, par exemple, comme une équation en <, en donnant à une valeur pour laquelle l'équation ~(~), t) = 0 n'ait pas de racines égales et qui, en outre, soit distincte des valeurs que prend la fonction 3 quand on y remplace M par l'une des valeurs qui annulent l'équation dans le tableau des périodes, m valeurs distinctes de M qui feront acquérir à s la valeur j; désignons-les par H), ~9, Mm, et désignons par <m tes valeurs correspondantes de t; ces dernières valeurs vérifieront l'équation ()'(s., ~)== 0; aucune autre valeur de t ne vérifiera cette équation dont aucune racine n'est double et dont, par conséquent, le degré en t sera exactement égal au nombre des quantités (),<), ~m qui seront distinctes. En particulier, si toutes ces quantités sont égales, t sera une fonction rationnelle de s. Un raisonnement analogue s'applique au degré en du polynôme <)(~, <). Supposons, en particulier, que t soit la dérivée z'= dit de la fonction on voit tout d'abord qu'~' a une période entre <cyb/<eo/! et <OM<!?/« périodique et sa déder. Cette dernière proposition, que l'on connaissait avant le théorème général, est due à M. Meray. 