<SYSTEM_TASK:>
Given the following text description, write Python code to implement the functionality described below step by step
<END_TASK>
<USER_TASK:>
Description:
 Circuitos CA
Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
Senoides e Fasores
A análise em Corrente Alternada (CA) é a análise de circuitos nos quais a fonte de tensão ou
de corrente varia com o tempo. Os circuitos acionados
por fontes de tensão ou de corrente senoidais são chamados circuitos CA.
Senoide é um sinal que possui a forma da função seno ou cosseno.
Consideremos a tensão senoidal
Step1:  Problema Prático 9.1
Dada a senoide 30 sen(4pit – 75°), calcule sua amplitude, fase, frequência angular, período e frequência
Step2:  Exemplo 9.2
Calcule o ângulo de fase entre v1 = –10 cos(wt + 50°) e v2 = 12 sen(wt – 10°). Indique
qual senoide está avançada.
Step3:  Problema Prático 9.2
Determine o ângulo de fase entre 
i1(t) = -4sen(377t + 55º) 
e 
i2(t) =  5cos(377t - 65º)
Step4:  Fasores
Fasor é um número complexo que representa a amplitude e a fase de uma
senoide
Os fasores se constituem de maneira simples para analisar circuitos lineares
excitados por fontes senoidais; encontrar a solução para circuitos desse tipo
seria impraticável de outro modo. A noção de resolução de circuitos CA usando
fasores foi introduzida inicialmente por Charles Steinmetz em 1893.
Um número complexo z pode ser escrito na forma retangular como
\begin{align}
{\Large z = x + jy}
\{\Large j = \sqrt{-1}}
\end{align}
O número complexo z também pode ser escrito na forma polar ou exponencial
Step5:  Problema Prático 9.4
Expresse as senoides seguintes na forma de fasores
Step6:  Exemplo 9.5
Determine as senoides representadas pelos fasores seguintes
Step7:  Problema Prático 9.5
Determine as senoides correspondentes aos fasores seguintes
Step8:  Exemplo 9.6
Dados i1(t) = 4 cos(wt + 30°) A e i2(t) = 5 sen(wt + 20°) A, determine sua soma.
Step9:  Problema Prático 9.6
Se v1(t) = –10 sen(vt – 30°) V e v2(t) = 20 cos(vt + 45°), determine v = v1 + v2.
Step10:  Exemplo 9.7
Usando o método de fasores, determine a corrente i(t) em um circuito descrito pela
equação diferencial
\begin{align}
{\Large 4i + 8 \int idt - 3 \frac{di}{dt} = 50cos(2t + 75)}
\end{align}
Step11:  Problema prático 9.7
Determine a tensão v(t) em um circuito descrito pela equação integro-diferencial a seguir
<ASSISTANT_TASK:>
Python Code:
print("Exemplo 9.1")
import numpy as np
Vm = 12
phi = 10
omega = 50
T = 2*np.pi/omega
f = 1/T
print("Amplitude:",Vm,"V")
print("Fase:",phi,"º")
print("Frequência angular:",omega,"rad/s")
print("Período:",T,"s")
print("Frequência:",f,"Hz")
Explanation: Circuitos CA
Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
Senoides e Fasores
A análise em Corrente Alternada (CA) é a análise de circuitos nos quais a fonte de tensão ou
de corrente varia com o tempo. Os circuitos acionados
por fontes de tensão ou de corrente senoidais são chamados circuitos CA.
Senoide é um sinal que possui a forma da função seno ou cosseno.
Consideremos a tensão senoidal:
\begin{align}
{\Large v(t) = V_m sen(\omega t)}
\end{align}
onde
Vm = amplitude da senoide (V)
ω = frequência angular (rad/s)
ωt = argumento da senoide (rad)
\begin{align}
{\Large T = \frac{2 \pi}{\omega}}
\end{align}
A senoide é mostrada na Figura 9.1a em função de seu argumento e na Figura
9.1b em função do tempo.
O fato de v(t) repetir-se a cada T segundos é demonstrado substituindo-se t por
t + T. Portanto:
\begin{align}
{\Large v(t + T) = v(t)}
\end{align}
Função periódica é aquela que satisfaz f(t) = f(t + nT), para todo t e para
todos os inteiros n.
Conforme mencionado anteriormente, o período T da função periódica é o
tempo de um ciclo completo ou o número de segundos por ciclo. O inverso
desse valor é o número de ciclos por segundo, conhecido como frequência
cíclica f da senoide. Consequentemente,
\begin{align}
{\Large f = \frac{1}{T}}
\{\Large \omega = 2 \pi f}
\end{align}
Uma expressão mais genérica para a senoide:
\begin{align}
{\Large v(t) = V_m sen(\omega t + \phi)}
\end{align}
onde ϕ é a fase.
Consideremos duas senoides, sendo:
\begin{align}
{\Large v_1(t) = V_m sen(\omega t)}
\{\Large v_2(t) = V_m sen(\omega t + \phi)}
\end{align}
Uma senoide pode ser expressa em termos de seno ou de cosseno. Isso pode ser conseguido
usando-se as seguintes identidades trigonométricas:
\begin{align}
{\Large sen(A \pm B) = sen(A)cos(B) \pm sen(B)cos(A)}
\{\Large cos(A \pm B) = cos(A)cos(B) \mp sen(A)sen(B)}
\end{align}
Com essas identidades, fica fácil demonstrar que:
\begin{align}
{\Large sen(\omega t \pm 180º) = -sen(\omega t)}
\{\Large cos(\omega t \pm 180º) = -cos(\omega t)}
\{\Large sen(\omega t \pm 90º) = \pm cos(\omega t)}
\{\Large cos(\omega t \pm 90º) = \mp sen(\omega t)}
\end{align}
Usando essas relações, podemos transformar uma senoide na forma de seno
para uma na forma de cosseno, ou vice-versa.
A magnitude e o argumento da senoide resultante na forma de cosseno
são imediatamente obtidos do triângulo. Portanto:
\begin{align}
{\Large A cos(\omega t) + B sen(\omega t) = r cos(\omega t - \theta)}
\{\Large r = \sqrt{A^2 + B^2}}
\{\Large \theta = arctg \frac{B}{A}}
\end{align}
Exemplo 9.1
Determine a amplitude, a fase, o período e a frequência da senoide
v(t) 12 cos(50 t + 10º)
End of explanation
print("Problema Prático 9.1")
Vm = 30
#30sin(4*pi*t - 75º) = 30cos(4*pi*t + 165º)
phi = -75
omega = 4*np.pi
T = 2*np.pi/omega
f = 1/T
print("Amplitude:",Vm,"V")
print("Fase:",phi,"º")
print("Frequência angular:",omega,"rad/s")
print("Período:",T,"s")
print("Frequência:",f,"Hz")
Explanation: Problema Prático 9.1
Dada a senoide 30 sen(4pit – 75°), calcule sua amplitude, fase, frequência angular, período e frequência
End of explanation
print("Exemplo 9.2")
#v1 = -10cos(wt + 50º) = 10cos(wt + 50 - 180) = 10cos(wt - 130º)
#v2 = 12sen(wt - 10º) = 12cos(wt - 100º)
#-130 - (-100) = -30
phi = 30
print("v2 esta avancada em {}º em relação a v1".format(phi))
Explanation: Exemplo 9.2
Calcule o ângulo de fase entre v1 = –10 cos(wt + 50°) e v2 = 12 sen(wt – 10°). Indique
qual senoide está avançada.
End of explanation
print("Problema Prático 9.2")
#i1 = -4sen(377t + 55) = 4sen(377t + 55 + 180) = 4sen(377t + 235) = 4cos(377t + 145)
#i2 = 5cos(377t - 65)
phi = 145 - (-65)
print("i1 esta avancada em {}º em relação a i2".format(phi))
Explanation: Problema Prático 9.2
Determine o ângulo de fase entre 
i1(t) = -4sen(377t + 55º) 
e 
i2(t) =  5cos(377t - 65º)
End of explanation
print("Exemplo 9.4")
#6cos(50t - 40)
#r = 6
#phi = -40
#-4sen(30t + 50) = 4sen(30t + 50 + 180) = 4cos(30t + 140)
#r = 4
#phi = 140
print("I: 6[-40º]")
print("V: 4[140º]")
Explanation: Fasores
Fasor é um número complexo que representa a amplitude e a fase de uma
senoide
Os fasores se constituem de maneira simples para analisar circuitos lineares
excitados por fontes senoidais; encontrar a solução para circuitos desse tipo
seria impraticável de outro modo. A noção de resolução de circuitos CA usando
fasores foi introduzida inicialmente por Charles Steinmetz em 1893.
Um número complexo z pode ser escrito na forma retangular como
\begin{align}
{\Large z = x + jy}
\{\Large j = \sqrt{-1}}
\end{align}
O número complexo z também pode ser escrito na forma polar ou exponencial:
\begin{align}
{\Large z = r \angle \phi = re^{j \phi}}
\{\Large r = \sqrt{x^2 + y^2}}
\{\Large \phi = arctg(\frac{y}{x})}
\end{align}
Por outro lado, se conhecermos r e f, podemos obter x e y como:
\begin{align}
{\Large x = rcos(\phi)}
\{\Large y = rsen(\phi)}
\end{align}
Operações com Complexos
As seguintes operações são importantes.
Adição
\begin{align}
{\Large z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + j(y_1 + y_2)}
\end{align}
Subtração
\begin{align}
{\Large z_1 + z_2 = (x_1 - x_2) + j(y_1 - y_2)}
\end{align}
Multiplicação
\begin{align}
{\Large z_1 z_2 = r_1 r_2 \angle \phi_1 + \phi_2}
\end{align}
Divisão
\begin{align}
{\Large \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \angle \phi_1 - \phi_2}
\end{align}
Inverso
\begin{align}
{\Large \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \angle - \phi}
\end{align}
Raiz Quadrada
\begin{align}
{\Large \sqrt{z} = \sqrt{r} \angle \phi / 2}
\end{align}
Conjugado Complexo
\begin{align}
{\Large z* = x - jy = r \angle -\phi = re^{-j \phi}}
\end{align}
A ideia da representação de fasor se baseia na identidade de Euler. Em
geral:
\begin{align}
{\Large e^{\pm j \phi} = cos(\phi) \pm jsen(\phi)}
\end{align}
Assim, podemos escrever:
\begin{align}
{\Large cos(\phi) = Re(e^{j \phi})}
\{\Large sen(\phi) = Im(e^{j \phi})}
\end{align}
Dada a senoide v(t) = Vm cos(vt + Φ), podemos representar como:
\begin{align}
{\Large v(t) = Re(V e^{j \omega t})}
\{\Large V = V_m e^{j \phi} = V_m \angle \phi}
\end{align}
V é, portanto, a representação fasorial da senoide v(t)
Derivada e Integral de Fasores
A derivada de v(t) é transformada para o domínio dos fasores
como jwV:
\begin{align}
{\Large \frac{dv}{dt} = - \omega V_m sen(\omega t + \phi) = \omega V_m cos(\omega t + \phi + 90º)}
\{\Large = Re(\omega V_m e^{j \omega t} e^{j \omega} e^{j 90º} = Re(j \omega V e^{j \omega t})}
\end{align}
Assim:
\begin{align}
{\Large \frac{dv}{dt} = j\omega V}
\{\Large \int v dt = \frac{V}{j\omega}}
\end{align}
As diferenças entre v(t) e V devem ser enfatizadas:
v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, enquanto V é a representação em termos de frequência ou no domínio dos fasores.
v(t) é dependente do tempo, enquanto V não é.
v(t) é sempre real sem nenhum termo complexo, enquanto V geralmente é complexo.
Exemplo 9.4
Transforme as senoides seguintes em fasores:
(a) i = 6cos(50t - 40º) A
(b) v = -4sen(30t + 50º) V
End of explanation
print("Problema Prático 9.4")
#7cos(2t + 40)
#r = 7
#phi = 40
#-4sen(10t + 10) = 4sen(10t + 10 + 180) = 4cos(10t + 100)
#r = 4
#phi = 100
print("V: 7[40º]")
print("I: 4[100º]")
Explanation: Problema Prático 9.4
Expresse as senoides seguintes na forma de fasores:
(a) v = 7cos(2t + 40º) V
(b) i = -4sen(10t + 10º) A
End of explanation
print("Exemplo 9.5")
import numpy as np
r = np.sqrt((-3)**2 + 4**2)
phi = np.arctan(4/(-3))*180/np.pi + 180
print("I: {}[{}º]".format(r,phi))
#j = 1[90º]
#V = 8e^(-j20) = 8[-20º]
#jV = 1*8 [90 -20] = 8[70º]
print("V: 8[70º]")
Explanation: Exemplo 9.5
Determine as senoides representadas pelos fasores seguintes:
(a) I = -3 + j4
(b) V = j8e^(-j20º)
End of explanation
print("Problema Prático 9.5")
print("v(t) = 25cos(wt + 220)")
#j(12 - j5) = 5 + 12j
r = np.sqrt(5**2 + 12**2)
phi = np.arctan(12/5)*180/np.pi
print("I: {}[{}º]".format(r,phi))
Explanation: Problema Prático 9.5
Determine as senoides correspondentes aos fasores seguintes:
(a) V = -25[40º]
(b) I = j(12 - j5)
End of explanation
print("Exemplo 9.6")
#4cos(wt + 30) = 4[30]
#5sen(wt + 20) = 5cos(wt + 70) = 5[-110]
x = 4*np.cos(30*np.pi/180) + 5*np.cos(-110*np.pi/180)
y = 4*np.sin(30*np.pi/180) + 5*np.sin(-110*np.pi/180)
print("i1 + i2: {} + j{}".format(x,y))
r = np.sqrt(x**2 + y**2)
phi = np.arctan(y/x)*180/np.pi
print("I: {}[{}]".format(r,phi))
print("i(t): {}cos(wt + {})".format(r,phi))
Explanation: Exemplo 9.6
Dados i1(t) = 4 cos(wt + 30°) A e i2(t) = 5 sen(wt + 20°) A, determine sua soma.
End of explanation
print("Problema Prático 9.6")
#-10sen(wt - 30) = 10sen(wt + 150) = 10sen(wt + 60) = 10[60]
#20cos(wt + 45) = 20[45]
x = 10*np.cos(60*np.pi/180) + 20*np.cos(45*np.pi/180)
y = 10*np.sin(60*np.pi/180) + 20*np.sin(45*np.pi/180)
print("v1 + v2: {} + j{}".format(x,y))
r = np.sqrt(x**2 + y**2)
phi = np.arctan(y/x)*180/np.pi
print("V: {}[{}]".format(r,phi))
print("v(t): {}cos(wt + {})".format(r,phi))
Explanation: Problema Prático 9.6
Se v1(t) = –10 sen(vt – 30°) V e v2(t) = 20 cos(vt + 45°), determine v = v1 + v2.
End of explanation
print("Exemplo 9.7")
#4I + 8I/jw - 3jwI = 50[75]
#4I -4jI - 6jI = 50[75]
#I = 50[75] / (4 - j10)
r = np.sqrt(4**2 + (-10)**2)
phi = np.arctan((-10)/4)*180/np.pi
R = 50/r
Phi = 75 - phi
print("Fasor I: {}[{}]".format(R,Phi))
print("i(t) = {}cos(wt + {}º)".format(R,Phi))
Explanation: Exemplo 9.7
Usando o método de fasores, determine a corrente i(t) em um circuito descrito pela
equação diferencial
\begin{align}
{\Large 4i + 8 \int idt - 3 \frac{di}{dt} = 50cos(2t + 75)}
\end{align}
End of explanation
print("Problema Prático 9.7")
#2Vjw + 5V + 10v/jw = 50[-30]
#5V -2jV + 10jV = 50[-30]
#V = 50[-30] / (5 + j8)
r = np.sqrt(5**2 + 8**2)
phi = np.arctan(8/5)*180/np.pi
R = 50/r
Phi = -30 - phi
print("Fasor I: {}[{}]".format(R,Phi))
print("i(t) = {}cos(wt + {}º)".format(R,Phi))
Explanation: Problema prático 9.7
Determine a tensão v(t) em um circuito descrito pela equação integro-diferencial a seguir:
\begin{align}
{\Large 2\frac{dv}{dt} + 5v + 10 \int vdt = 50cos(5t - 30º)}
\end{align}
End of explanation
<END_TASK>