<SYSTEM_TASK:>
Given the following text description, write Python code to implement the functionality described below step by step
<END_TASK>
<USER_TASK:>
Description:
 OMA 2. kolokvij 2013/2014
1. naloga
Podana je funkcija $f(x)=x^2 e^{-x}$.
Step1:  Doloci definicijsko obmocje ${\cal D}_f$ in izracunaj limiti v robovih ${\cal D}_f$.
Ker je eksponentna funkcija definirana povsod, je ${\cal D}f = \mathbb{R}$.
$\displaystyle{\lim{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0}.$
$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty} x^2 e^{-x} = \infty}.$
Poisci nicle in stacionarne tocke funkcije $f$.
Step2:  Narisi graf funkcije $f$.
Step3:  2. naloga
Izracunaj nedoloceni integral racionalne funkcije 
$$\int \frac{x}{(x-1)(x-2)}.$$
Step4:  Z integracijo po delih izracunaj
$$\int_{0}^{\pi}x\cos(x)dx.$$
Step5:  3. naloga
Resi linearno diferencialno enacbo prvega reda
$$ y' - \frac{y}{x} = 2x^2.$$
Step6:  Upostevajmo se robni pogoj.
Step7:  4. naloga
Turist si v cerkvi ogleduje 3m visoko okno, ki se nahaja 1m nad njegovimi ocmi. Kako dalec od stene, na kateri se nahajo okno, naj se postavi, da bo razlika kotov pod katerimi vidi spodnji in zgornji kot okna najvecja?
Najprej nastavimo enacbo. Kot, pod katerim iz razdalje $x$ vidimo spodnji del okna $\arctan(\frac{1}{x})$, zgorjnji del pa vidimo pod kotom $\arctan(\frac{4}{x})$.
Step8:  Kandidati za resitev so stacionarne tocke zgornje funkcije, torej nicle njenega odvoda. Pri tem dodatno zahtevamo, da so resitve pozitivne.
<ASSISTANT_TASK:>
Python Code:
x = sympy.symbols('x')
f = lambda x: x**2 * sympy.E**(-x)
Explanation: OMA 2. kolokvij 2013/2014
1. naloga
Podana je funkcija $f(x)=x^2 e^{-x}$.
End of explanation
equation = sympy.Eq(f(x), 0)
equation
solutions = sympy.solve(equation)
s = 'Nicle: ${0}$'.format(latex(solutions))
display(HTML(s))
derivative = sympy.diff(f(x), x)
equation = sympy.Eq(derivative, 0)
equation
solutions = sympy.solve(equation)
s = 'Stacionarne tocke: ${0}$'.format(latex(solutions))
display(HTML(s))
Explanation: Doloci definicijsko obmocje ${\cal D}_f$ in izracunaj limiti v robovih ${\cal D}_f$.
Ker je eksponentna funkcija definirana povsod, je ${\cal D}f = \mathbb{R}$.
$\displaystyle{\lim{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0}.$
$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty} x^2 e^{-x} = \infty}.$
Poisci nicle in stacionarne tocke funkcije $f$.
End of explanation
sympy.plotting.plot(f(x), (x, -1, 5))
Explanation: Narisi graf funkcije $f$.
End of explanation
f = lambda x: x/((x-1)*(x-2))
sympy.integrate(f(x))
Explanation: 2. naloga
Izracunaj nedoloceni integral racionalne funkcije 
$$\int \frac{x}{(x-1)(x-2)}.$$
End of explanation
f = lambda x: x*sympy.cos(x)
sympy.integrate(f(x))
Explanation: Z integracijo po delih izracunaj
$$\int_{0}^{\pi}x\cos(x)dx.$$
End of explanation
f = sympy.symbols('f', cls=sympy.Function)
equation = sympy.Eq(f(x).diff(x)-f(x)/x, 2*x**2)
equation
solution = sympy.dsolve(equation, f(x))
solution
Explanation: 3. naloga
Resi linearno diferencialno enacbo prvega reda
$$ y' - \frac{y}{x} = 2x^2.$$
End of explanation
equation = solution.subs(f(x), 2).subs(x, 1)
equation
c1 = sympy.solve(equation)[0]
C1 = sympy.symbols('C1')
sympy.expand(solution.subs(C1, c1))
Explanation: Upostevajmo se robni pogoj.
End of explanation
f = lambda x: sympy.atan(4/x) - sympy.atan(1/x)
f(x)
Explanation: 4. naloga
Turist si v cerkvi ogleduje 3m visoko okno, ki se nahaja 1m nad njegovimi ocmi. Kako dalec od stene, na kateri se nahajo okno, naj se postavi, da bo razlika kotov pod katerimi vidi spodnji in zgornji kot okna najvecja?
Najprej nastavimo enacbo. Kot, pod katerim iz razdalje $x$ vidimo spodnji del okna $\arctan(\frac{1}{x})$, zgorjnji del pa vidimo pod kotom $\arctan(\frac{4}{x})$.
End of explanation
x = sympy.symbols('x', positive=True)
equation = sympy.Eq(f(x).diff(x), 0)
equation
solutions = sympy.solve(equation)
solutions
Explanation: Kandidati za resitev so stacionarne tocke zgornje funkcije, torej nicle njenega odvoda. Pri tem dodatno zahtevamo, da so resitve pozitivne.
End of explanation
<END_TASK>