v1v1d/Latexify_v1 · Datasets at Hugging Face

image imagewidth (px) 24 6.82k	text stringlengths 13 2.18k
	\vec { L } \, = \, \vec { x } \times \vec { P } - \mu \frac { \vec { x } } { r } P _ { 4 } \, .
	U G ^ { - 1 } V , \, \, U = \left( \begin{array} { c c } { P _ { L } } & { i P _ { R } } \\ { i P _ { R } } & { P _ { L } } \\ \end{array} \right) , \, \, V = \left( \begin{array} { c c } { P _ { R } } & { i P _ { L } } \\ { i P _ { L } } & { P _ { R } } \\ \end{array} \right) .
	S = - \left( \frac { 1 } { 2 } \int \Phi \star Q \Phi + \frac { 1 } { 3 } \int \Phi \star \Phi \star \Phi \ \right) .
	G _ { 1 2 2 } ^ { \mu } ( p , q , - p - q ) = ( - i g ) ( i g ) ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } s } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, [ i D _ { 1 2 } ( s ) ] \gamma _ { \alpha } [ i S _ { 2 2 } ( s + q ) ] \gamma ^ { \mu } [ i S _ { 2 1 } ( s - p ) ] \gamma ^ { \alpha } \, .
	\left\{ \begin{array} { l } { A _ { 0 } \tilde { K } = ( A _ { 2 } + A _ { 3 } ) K _ { 0 } \: , } \\ { \tilde { K } \| _ { t = 0 } = 0 \: . } \\ \end{array} \right.
	\mathbf { \Lambda } ^ { i } . \mathbf { \alpha } _ { j } = \delta _ { j } ^ { i } \mathrm { ~ , }
	\left. \frac { d [ T F _ { 1 } ( T ) ] } { d T } \right\| _ { T = T _ { c } ^ { - } } = \left. \frac { d [ T F _ { 1 } ( T ) ] } { d T } \right\| _ { T = T _ { c } ^ { + } } \, ,
	\mathrm { T r } ( \partial _ { x } \Phi _ { k } [ U ^ { \dagger } \partial _ { x } U , \Phi _ { k } ] ) = 0
	z + \frac { \mu } { z } = W ( x , u _ { 1 } , \ldots , u _ { r } )
	L _ { M } = \frac { 1 } { 2 } a _ { i j } ^ { Y } [ g ^ { \mu \nu } ( y _ { \mu } ^ { i } - \Gamma _ { \mu } ^ { i } ) ( y _ { \nu } ^ { j } - \Gamma _ { \nu } ^ { j } ) - m ^ { 2 } y ^ { i } y ^ { j } ] \sqrt { \mid g \mid } \omega .
	\sum _ { i } \: S _ { i j } \: D _ { i } \: S _ { i k } = D _ { j } \: \delta _ { j k } .
	S _ { F , A } \rightarrow \frac { \tilde { b } ^ { 2 } } { 3 ! 2 } \int d ^ { 4 } x F _ { \mu \nu \rho } ( A ) F ^ { \mu \nu \rho } ( A ) .
	V ^ { \{ \hat { \alpha } _ { 2 } \} } ( z ) = r \cdot Q ^ { ( 1 ) } ( z ) U ^ { \{ \hat { \alpha } _ { 2 } \} } ( z )
	V ~ = ~ { \frac { g ^ { 2 } } { 8 } } ~ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ~ \bigg \| { \frac { \partial W } { \partial \varphi _ { j } } } \bigg \| ^ { 2 } ~ - ~ { \frac { g ^ { 2 } } { 3 } } ~ \big \| W \big \| ^ { 2 } \ ,
	T ^ { \mu \nu } = { \frac { 2 } { \sqrt { - g } } } { \frac { \delta I _ { ( m ) } } { \delta g _ { \mu \nu } } } ~ ~ ~ .
	\Theta _ { 2 } = \partial _ { i } \pi ^ { i } + m ^ { 2 } A _ { 0 } \approx 0
	H ^ { 0 } ( { \cal S } , { \cal O } _ { { \cal S } } ( 5 ) \oplus { \cal O } _ { { \cal S } } ( 3 ) \oplus { \cal O } _ { { \cal S } } ( 2 ) ) .
	t r ( F _ { ( 1 , 1 ) } \wedge F _ { 1 , 1 } ) + t r ( F _ { ( 2 , 0 ) } \wedge F _ { 0 , 2 } ) \sim t r ( \psi \wedge \psi + F [ A ] \wedge \langle \phi \rangle ) ,
	\left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ^ { 2 } x } + V _ { \pm } \right] \Psi _ { \pm } ( x ) = E \Psi _ { \pm } ( x ) \, .
	\tilde { f } ^ { ( n + 1 ) } = - { \frac { 1 } { n + 1 } } \phi _ { \mu } ^ { \alpha } \omega _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } X _ { \nu \lambda } ^ { \beta \delta } G ( f ) _ { \delta } ^ { \lambda ( n ) } ~ ~ ; ~ ~ n \ge 1
	{ \cal L } _ { m } ^ { ( 1 ) } = \vec { E } ( - \partial _ { 0 } \vec { A } - \vec { \nabla } A ^ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } [ \vec { E } ^ { 2 } + ( \vec { \nabla } \times \vec { A } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ( A _ { 0 } ^ { 2 } - \vec { A } ^ { 2 } ) ] - A ^ { 0 } \rho + \vec { A } \vec { j }
	F _ { 0 } ( x ) \simeq \zeta _ { 0 } ^ { \prime } ( 0 , 1 , 1 ) ( x + { \frac { 1 } { x } } )
	W = ( R _ { 1 1 } N + i R _ { 3 } N ^ { \prime } ) ~ \Pi = R _ { 1 1 } ( N + \tau N ^ { \prime } ) ~ \Pi \, .
	\phi _ { 0 } ^ { \prime } \varphi = - \frac { 3 } { 2 } \bigg ( F ^ { \prime } - 2 \frac { K ^ { \prime } } { K } F \bigg ) + f ( z ) .
	\phi _ { \parallel \tau t } ( p ) \sim e ^ { - i \frac { p _ { \parallel } ^ { 2 } } { 2 M } \tau + i p x } u _ { \parallel } ( p , t )
	S _ { a } = - \int d ^ { 4 } x \, \widetilde { \psi } _ { a } ^ { \dagger } \left( - \frac { 1 } { 2 m } \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu _ { e x t } \right) \widetilde { \psi } _ { a }
	P _ { i j } A _ { k n } = \left\{ \begin{cases} { A _ { k n } P _ { i j } } & { i , j , k , n a l l d i s t i n c t } \\ { A _ { i n } P _ { i j } } & { j = k ; \; i , j , n a l l d i s t i n c t } \\ { A _ { k i } P _ { i j } } & { j = n ; \; i , j , k a l l d i s t i n c t } \\ \end{cases} \right. \; ,
	T _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { r ^ { 4 } } \, f ( \theta , \alpha ) \, \mathrm { d i a g } ( 1 , - 3 , 1 , 1 ) = ( T _ { r r } , T _ { \theta \theta } , T _ { z z } , - \rho )
	\langle A _ { X } \rangle \simeq ( 0 . 1 7 ) ^ { 2 } , \quad \langle A _ { Y } \rangle \simeq ( 0 . 1 1 ) ^ { 2 } , \quad \langle A _ { S } \rangle \simeq ( 0 . 3 1 ) ^ { 3 } ,
	{ \cal H } _ { \hbar } ( q , a ) = q _ { i } h _ { \hbar } ^ { i } + i \bar { c } _ { i } \partial _ { k } h _ { \hbar } ^ { i } c ^ { k } ,
	\phi ( x ) \, = \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, d y \, K ( x - y ) \, \phi ( y ) ,
	\sigma _ { a } \sigma _ { b } \sigma _ { c } = + 1 \quad \mathrm { i f } \quad N _ { a b c } \not = 0 \, ,
	\gamma _ { \pm } = \lambda _ { \pm } ( f _ { 1 } - \lambda _ { \pm } ^ { 2 } f _ { 2 } ) ,
	i \bar { K } = \left( \underbrace { 0 , \cdots , 0 } _ { d } \frac { i } { \sqrt { a } } , \frac { 1 } { \sqrt { a } } \right)
	a _ { p , [ i _ { 2 } , . . . . , i _ { n } } \, q _ { i _ { 1 } ] } ^ { p } ~ = ~ 0
	8 \pi { { T ^ { ( 4 ) } } ^ { z } } _ { z } = 2 \alpha ^ { 2 } ,
	\phi ( z , \bar { z } ) = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \phi _ { \mathrm { L } } ( z ) + \phi _ { \mathrm { R } } ( \bar { z } ) \Big )
	{ \frac { M } { M _ { P l } } } \approx 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 4 } \left( 1 0 ^ { 1 0 } P _ { k } ^ { S } \right) ^ { 1 / 4 } \left( { \frac { 6 0 } { L } } \right) ^ { 1 / 2 } u ^ { - 1 } .
	\int _ { e } ^ { g } [ d g ] \, e ^ { \frac { i } { 2 } \int d s \| \| \dot { g } \| \| ^ { 2 } } .
	\sqrt { \langle R ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } \sim ( g N ) ^ { 1 / 3 } { \cal H } _ { 4 } ^ { - 1 / 1 2 } \lambda ^ { 1 / 2 } ,
	G = k \epsilon ^ { i j } \partial _ { i } A _ { j } + i e ( \phi \pi - \phi ^ { * } \pi ^ { * } ) \approx 0
	A _ { A } = \nabla _ { A } u + \epsilon _ { A B } \nabla ^ { B } v \ ,
	v = { \frac { 1 } { { J _ { H } ^ { - 1 } } ^ { \prime } } } .
	\vec { r } _ { 1 } = ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) , \ \, v e c r _ { 2 } = ( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) , \ \, v e c r _ { 3 } = ( 1 , 0 ) , \ \ \vec { r } _ { 4 } = - \vec { r } _ { 1 } , \ \, v e c r _ { 5 } = - \vec { r } _ { 2 } , \ \ \vec { r } _ { 6 } = - \vec { r } _ { 3 }
	m ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } - 8 \hbar \Lambda \Omega ^ { 4 } + \frac { 1 7 6 \hbar ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } \Omega ^ { 6 } } { 3 } - \frac { 4 0 0 \hbar ^ { 3 } \Lambda ^ { 3 } \Omega ^ { 8 } } { 9 } + . . . = 0
	\| \psi _ { 1 } \rangle = b _ { - 1 } b _ { - 2 } \ldots b _ { 1 - \lambda } \| \! \downarrow \rangle ,
	L _ { k } \| \Psi \rangle = 0 \; \; \; , \; \; \; k \geq 1 \; \; \; .
	m _ { b } = { \frac { 1 } { 2 } } ( { r _ { b } } ^ { 3 } / 3 - 2 n ^ { 2 } r _ { b } - n ^ { 4 } / r _ { b } )
	Z = \int [ D P _ { a b } ^ { k } ] [ D \omega _ { k } ^ { a b } ] d e t ( G ^ { i j m n } ( \tilde { g } ) ) \delta ( \phi ^ { i j } ) \delta ( \chi ^ { m n } ) d e t M _ { \alpha \beta } \delta ( H _ { \perp } ) \delta ( H _ { i } ) \delta ( J _ { a b } ) \ e x p \frac { i } { \hbar } S
	d s ^ { 2 } = - \kappa ^ { 2 } \rho ^ { 2 } d t ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } + d z _ { 1 } ^ { 2 } + d z _ { 2 } ^ { 2 } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ - \infty < z _ { 1 } , z _ { 2 } < \infty ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \rho > 0 ~ ~ ~ .
	\Gamma = { \frac { 1 } { \tau } } < < M
	p ^ { 0 } = f ( \pi ^ { 0 } ) , \qquad \vec { p } = g ( \pi ^ { 0 } ) \vec { \pi } , \qquad a < \pi ^ { 0 } < b .
	h _ { 0 0 } = { \bar { h } } _ { 0 0 } - \frac { 1 } { 2 } h = \frac { 2 G M } { r } \left[ 1 + \frac { 4 3 G } { 3 0 \pi r ^ { 2 } } - \frac { 5 G } { 1 2 \pi r ^ { 2 } } + \frac { a ( \lambda ) - 2 b ( \lambda ) } { r ^ { 2 } } \right] .
	H = p _ { \mu } \circ \dot { q } ^ { \mu } - L - Z
	S = \beta \sum _ { a b } [ 2 r _ { a b } ^ { - 1 } - s i n ^ { 2 } ( \theta _ { a b } ) ] e ^ { - r _ { a b } }
	{ \bf v } ^ { n } \equiv \frac T { \alpha ^ { 2 } } { \bf V } ^ { n } = \varphi _ { n } ^ { 0 } \bbox { \varphi }
	P ( s , l ) \; = \; \gamma ^ { j } \: P _ { j } ( s , l ) \; \; \; \; { \mathrm { w i t h } } \; \; \; \; P _ { j } ( s , l ) \; : = \; \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v \; h _ { j } ( u , v ) \: e ^ { - i ( u s + v l ) } \; .
	\sum a _ { i j } x _ { i } y _ { j } = 0
	h ( a ) = { \frac { 1 } { 9 a ( 1 - a ) ^ { 2 } } } + k ( a ) \, ,
	A _ { m n } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 2 } { \pi } } ( - 1 ) ^ { m + n + 1 } \sqrt { m n } { \frac { \beta \, \mathrm { s i n } m \pi \beta } { n ^ { 2 } - m ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } } ,
	{ \frac { \partial } { \partial t } } * \Phi ( t ) = d \Phi ( t ) .
	\Phi _ { G n } ^ { \mathrm { o u t } } = \sum _ { m } ( \alpha _ { G m n } \Phi _ { G m } ^ { \mathrm { i n } } + \beta _ { G m n } \Phi _ { G m } ^ { \mathrm { i n } * } ) \, ,
	G B = ( C _ { m n p q } ) ^ { 2 } - 2 ( { \cal { R } } _ { m n } ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } { \cal { R } } ^ { 2 }
	{ \cal S } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { G } \left( - R + ( \nabla _ { \mu } \Phi ) ^ { 2 } + \xi e ^ { \zeta \Phi } \right)
	\frac { 1 } { 2 } \biggl [ \biggl < S _ { 4 } ^ { 2 } ( \phi _ { s } , \phi _ { f } ) \biggr > _ { 0 f } - \biggl < S _ { 4 } ( \phi _ { s } , \phi _ { f } ) \biggr > _ { 0 f } ^ { 2 } \biggr ] .
	{ \cal T } _ { m e } : ( \Omega , e ^ { \rho } , A , f ) \rightarrow ( e ^ { \rho } , \Omega , - i A , f ) , ~ d x \rightarrow e ^ { \rho } \Omega ^ { - 1 } d x ,
	Q _ { a b } = { \frac { 1 } { L ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 , L ^ { 2 } } < \sigma _ { i } ^ { a } > < \sigma _ { i } ^ { b } >
	H C _ { n } ( G ) \simeq \oplus _ { i \geq 0 } H _ { n - 2 i } ( G )
	d _ { H } ( t _ { * } ) = \int _ { 0 } ^ { t _ { * } } { \frac { c _ { p } ( t ) d t } { a ( t ) } } ,
	S _ { A } [ \Phi , \Phi ^ { * } ] = S _ { A } ^ { 0 } [ \phi , \Phi ^ { * } ] + \mathrm { g h o s t - t e r m s } .
	\frac { d ^ { 2 } } { d j ^ { 2 } } Z ^ { ( 0 ) } ( j ) = [ Z ^ { ( 0 ) } ( j ) ] ^ { 2 } .
	\phi _ { n , \nu } ( \kappa ) = \vert \kappa \vert ^ { - 1 + 2 i \nu } \left( { \frac { \kappa ^ { * } } { \vert \kappa \vert } } \right) ^ { n } ,
	\widetilde { \omega } ^ { - 2 } = \omega ^ { - 2 } \left[ 1 + \epsilon \eta \left( x ^ { i } , v \right) \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \widetilde { b } = b \left[ 1 + \epsilon \eta \left( x ^ { i } , v \right) \right] .
	U ( t ) a ^ { \# } U ^ { * } ( t ) = a ^ { \# } - \sqrt { 2 \omega } E
	\langle W _ { C } [ { \cal A } ] \rangle _ { Y M } \not = \langle W _ { C } [ { \cal V } ] \rangle _ { Y M } ,
	u v = ( w ^ { \prime } - \lambda \gamma ) ( w ^ { \prime } + \lambda \gamma )
	r _ { \mathrm { w } } ( k ^ { 2 } ) \; = \; \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } J _ { l } ( k ^ { 2 } ) \left[ I _ { l - 1 } ( k ^ { 2 } ) - I _ { l } ( k ^ { 2 } ) \right] ( k ^ { 2 } ) ^ { l }
	x _ { r } ( t ) = a \, { \frac { \mathrm { c n } ( a t , k ) } { \mathrm { s n } ( a t , k ) } } , \quad y _ { r } ( t ) = - a ^ { 2 } { \frac { \mathrm { d n } ( a t , k ) } { \mathrm { s n } ^ { 2 } ( a t , k ) } } , \quad z _ { r } ( t ) = - b ^ { 2 } \wp ( b t ) ,
	1 + \frac { \gamma } { 4 } \sum _ { \mathrm { q u a r k s } } ( Y _ { R } ^ { 3 } - Y _ { L } ^ { 3 } ) = 0 \, .
	\nabla ^ { \mu } \Sigma _ { \mu \nu } ( e ^ { \sigma } g _ { \mu \nu } ) = \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \nu } \sigma ~ g ^ { \mu \nu } \Sigma _ { \mu \nu } ( e ^ { \sigma } g _ { \mu \nu } ) ~ ,
	\mathrm { R H S } = \displaystyle \frac { ( 1 - \tau ^ { 2 } ) \zeta _ { N - 1 } } { \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( z _ { N - 1 } - z _ { j } \tau ^ { 2 } ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \zeta _ { k } \displaystyle \prod _ { j = 1 \atop j \neq k } ^ { n } \frac { ( z _ { N - 1 } - z _ { j } ) ( z _ { k } - z _ { j } \tau ^ { 2 } ) } { z _ { k } - z _ { j } } \displaystyle \overline { { G } } _ { \varepsilon , k } ^ { ( n - 1 , l - 1 ) } ( \zeta ^ { \prime } ) .
	\langle { \cal A } _ { a } \rangle _ { m n } = { \frac { ( [ { \cal D } _ { a } , H _ { 0 } ] ) _ { m n } } { E _ { n } - E _ { m } } }
	\square _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \gamma _ { I } = j _ { I } ( z )
	{ \bf W } \equiv a _ { D } \frac { d a } { d u } - a \frac { d a _ { D } } { d u }
	h ( x ) \longrightarrow h ( x ) - \psi ( x ) \epsilon ,
	v ^ { * } + v ^ { 2 } - \frac { h _ { 3 } ^ { * } } { 2 h _ { 3 } } v + h _ { 3 } \Upsilon = 0 ;
	{ \cal A } ( { \cal O } ^ { \prime } ) = { \cal A } ( { \cal O } ) ^ { \prime } , \, \, \, \, H a a g \, \, D u a l i t y
	\delta \psi _ { 5 R } ^ { ( 0 ) } = { \frac { \omega } { \rho } } \varepsilon _ { R } ^ { ( 0 ) * } + \cdots
	P _ { j } ^ { \alpha } \neq P _ { k } ^ { \alpha } ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ j \neq k ~ ~ \mathrm { a n d ~ a l l } ~ ~ \alpha ,
	P ^ { A } \equiv ( \bar { c } ^ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { A } c ^ { \beta } ) . \tag { 3 9 }
	\Gamma _ { m } = \left( \begin{array} { c c } { } & { \gamma _ { m } ^ { \dagger } } \\ { \gamma _ { m } } & { } \\ \end{array} \right)
	\left. A \right\| _ { h } = a ^ { M } ( h ) \left. \partial _ { M } \right\| _ { h } \, .
	K _ { c } = \frac { i k + 2 \sigma } { i k - 2 \sigma } + \frac { 2 i k } { ( i k - 2 \sigma ) ^ { 2 } } \epsilon + O ( \epsilon ^ { 2 } ) .
	{ \bf J } = \frac { 1 } { i } \{ \psi ^ { * } ( { \bf D } \psi ) - \psi ( { \bf D } \psi ) ^ { * } \} .
	c _ { 3 } ( V ) = 2 \lambda \sigma \eta ( \eta - n c _ { 1 } ( B ) ) .
	T _ { 0 } \equiv T \| _ { z = \pi = 0 } , \; \; \; \; { \cal K } _ { 0 I } \equiv { \cal K } _ { I } \| _ { z = \pi = 0 }
	\pi _ { \lambda \zeta , \lambda z } = \lambda ^ { L _ { 0 } } \circ \pi _ { \zeta , z } \circ \left( \lambda ^ { - L _ { 0 } } \otimes \lambda ^ { - L _ { 0 } } \right) ,
	\{ a _ { i } , \, a _ { j } \} _ { \pm } = 0 = \{ a _ { i } ^ { * } , \, a _ { j } ^ { * } \} _ { \pm } , \quad \{ a _ { i } , \, a _ { j } ^ { * } \} _ { \pm } = \delta _ { i j } = \pm \{ a _ { j } ^ { * } , \, a _ { i } \} _ { \pm } .
	e ^ { \phi } = { \frac { 1 } { N } } \left[ ( g _ { f } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left( { \frac { u } { \cal R } } \right) \left( { \frac { d _ { p } ^ { 1 / ( 3 - p ) } } { c _ { p } ^ { 1 / ( p - 1 ) } } } \right) \right] ^ { \frac { ( p - 1 ) ( 3 - p ) } { 2 ( 2 - p ) } } \, .
	C = { \cal O } _ { \omega _ { 1 } } + { \cal O } _ { \omega _ { 2 } } .

\vec { L } \, = \, \vec { x } \times \vec { P } - \mu \frac { \vec { x } } { r } P _ { 4 } \, .

U G ^ { - 1 } V , \, \, U = \left( \begin{array} { c c } { P _ { L } } & { i P _ { R } } \\ { i P _ { R } } & { P _ { L } } \\ \end{array} \right) , \, \, V = \left( \begin{array} { c c } { P _ { R } } & { i P _ { L } } \\ { i P _ { L } } & { P _ { R } } \\ \end{array} \right) .

S = - \left( \frac { 1 } { 2 } \int \Phi \star Q \Phi + \frac { 1 } { 3 } \int \Phi \star \Phi \star \Phi \ \right) .

G _ { 1 2 2 } ^ { \mu } ( p , q , - p - q ) = ( - i g ) ( i g ) ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } s } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, [ i D _ { 1 2 } ( s ) ] \gamma _ { \alpha } [ i S _ { 2 2 } ( s + q ) ] \gamma ^ { \mu } [ i S _ { 2 1 } ( s - p ) ] \gamma ^ { \alpha } \, .

\left\{ \begin{array} { l } { A _ { 0 } \tilde { K } = ( A _ { 2 } + A _ { 3 } ) K _ { 0 } \: , } \\ { \tilde { K } | _ { t = 0 } = 0 \: . } \\ \end{array} \right.

\mathbf { \Lambda } ^ { i } . \mathbf { \alpha } _ { j } = \delta _ { j } ^ { i } \mathrm { ~ , }

\left. \frac { d [ T F _ { 1 } ( T ) ] } { d T } \right| _ { T = T _ { c } ^ { - } } = \left. \frac { d [ T F _ { 1 } ( T ) ] } { d T } \right| _ { T = T _ { c } ^ { + } } \, ,

\mathrm { T r } ( \partial _ { x } \Phi _ { k } [ U ^ { \dagger } \partial _ { x } U , \Phi _ { k } ] ) = 0

z + \frac { \mu } { z } = W ( x , u _ { 1 } , \ldots , u _ { r } )

L _ { M } = \frac { 1 } { 2 } a _ { i j } ^ { Y } [ g ^ { \mu \nu } ( y _ { \mu } ^ { i } - \Gamma _ { \mu } ^ { i } ) ( y _ { \nu } ^ { j } - \Gamma _ { \nu } ^ { j } ) - m ^ { 2 } y ^ { i } y ^ { j } ] \sqrt { \mid g \mid } \omega .

\sum _ { i } \: S _ { i j } \: D _ { i } \: S _ { i k } = D _ { j } \: \delta _ { j k } .

S _ { F , A } \rightarrow \frac { \tilde { b } ^ { 2 } } { 3 ! 2 } \int d ^ { 4 } x F _ { \mu \nu \rho } ( A ) F ^ { \mu \nu \rho } ( A ) .

V ^ { \{ \hat { \alpha } _ { 2 } \} } ( z ) = r \cdot Q ^ { ( 1 ) } ( z ) U ^ { \{ \hat { \alpha } _ { 2 } \} } ( z )

V ~ = ~ { \frac { g ^ { 2 } } { 8 } } ~ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ~ \bigg | { \frac { \partial W } { \partial \varphi _ { j } } } \bigg | ^ { 2 } ~ - ~ { \frac { g ^ { 2 } } { 3 } } ~ \big | W \big | ^ { 2 } \ ,

T ^ { \mu \nu } = { \frac { 2 } { \sqrt { - g } } } { \frac { \delta I _ { ( m ) } } { \delta g _ { \mu \nu } } } ~ ~ ~ .

\Theta _ { 2 } = \partial _ { i } \pi ^ { i } + m ^ { 2 } A _ { 0 } \approx 0

H ^ { 0 } ( { \cal S } , { \cal O } _ { { \cal S } } ( 5 ) \oplus { \cal O } _ { { \cal S } } ( 3 ) \oplus { \cal O } _ { { \cal S } } ( 2 ) ) .

t r ( F _ { ( 1 , 1 ) } \wedge F _ { 1 , 1 } ) + t r ( F _ { ( 2 , 0 ) } \wedge F _ { 0 , 2 } ) \sim t r ( \psi \wedge \psi + F [ A ] \wedge \langle \phi \rangle ) ,

\left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ^ { 2 } x } + V _ { \pm } \right] \Psi _ { \pm } ( x ) = E \Psi _ { \pm } ( x ) \, .

\tilde { f } ^ { ( n + 1 ) } = - { \frac { 1 } { n + 1 } } \phi _ { \mu } ^ { \alpha } \omega _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } X _ { \nu \lambda } ^ { \beta \delta } G ( f ) _ { \delta } ^ { \lambda ( n ) } ~ ~ ; ~ ~ n \ge 1

{ \cal L } _ { m } ^ { ( 1 ) } = \vec { E } ( - \partial _ { 0 } \vec { A } - \vec { \nabla } A ^ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } [ \vec { E } ^ { 2 } + ( \vec { \nabla } \times \vec { A } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ( A _ { 0 } ^ { 2 } - \vec { A } ^ { 2 } ) ] - A ^ { 0 } \rho + \vec { A } \vec { j }

F _ { 0 } ( x ) \simeq \zeta _ { 0 } ^ { \prime } ( 0 , 1 , 1 ) ( x + { \frac { 1 } { x } } )

W = ( R _ { 1 1 } N + i R _ { 3 } N ^ { \prime } ) ~ \Pi = R _ { 1 1 } ( N + \tau N ^ { \prime } ) ~ \Pi \, .

\phi _ { 0 } ^ { \prime } \varphi = - \frac { 3 } { 2 } \bigg ( F ^ { \prime } - 2 \frac { K ^ { \prime } } { K } F \bigg ) + f ( z ) .

\phi _ { \parallel \tau t } ( p ) \sim e ^ { - i \frac { p _ { \parallel } ^ { 2 } } { 2 M } \tau + i p x } u _ { \parallel } ( p , t )

S _ { a } = - \int d ^ { 4 } x \, \widetilde { \psi } _ { a } ^ { \dagger } \left( - \frac { 1 } { 2 m } \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu _ { e x t } \right) \widetilde { \psi } _ { a }

P _ { i j } A _ { k n } = \left\{ \begin{cases} { A _ { k n } P _ { i j } } & { i , j , k , n a l l d i s t i n c t } \\ { A _ { i n } P _ { i j } } & { j = k ; \; i , j , n a l l d i s t i n c t } \\ { A _ { k i } P _ { i j } } & { j = n ; \; i , j , k a l l d i s t i n c t } \\ \end{cases} \right. \; ,

T _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { r ^ { 4 } } \, f ( \theta , \alpha ) \, \mathrm { d i a g } ( 1 , - 3 , 1 , 1 ) = ( T _ { r r } , T _ { \theta \theta } , T _ { z z } , - \rho )

\langle A _ { X } \rangle \simeq ( 0 . 1 7 ) ^ { 2 } , \quad \langle A _ { Y } \rangle \simeq ( 0 . 1 1 ) ^ { 2 } , \quad \langle A _ { S } \rangle \simeq ( 0 . 3 1 ) ^ { 3 } ,

{ \cal H } _ { \hbar } ( q , a ) = q _ { i } h _ { \hbar } ^ { i } + i \bar { c } _ { i } \partial _ { k } h _ { \hbar } ^ { i } c ^ { k } ,

\phi ( x ) \, = \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, d y \, K ( x - y ) \, \phi ( y ) ,

\sigma _ { a } \sigma _ { b } \sigma _ { c } = + 1 \quad \mathrm { i f } \quad N _ { a b c } \not = 0 \, ,

\gamma _ { \pm } = \lambda _ { \pm } ( f _ { 1 } - \lambda _ { \pm } ^ { 2 } f _ { 2 } ) ,

i \bar { K } = \left( \underbrace { 0 , \cdots , 0 } _ { d } \frac { i } { \sqrt { a } } , \frac { 1 } { \sqrt { a } } \right)

a _ { p , [ i _ { 2 } , . . . . , i _ { n } } \, q _ { i _ { 1 } ] } ^ { p } ~ = ~ 0

8 \pi { { T ^ { ( 4 ) } } ^ { z } } _ { z } = 2 \alpha ^ { 2 } ,

\phi ( z , \bar { z } ) = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \phi _ { \mathrm { L } } ( z ) + \phi _ { \mathrm { R } } ( \bar { z } ) \Big )

{ \frac { M } { M _ { P l } } } \approx 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 4 } \left( 1 0 ^ { 1 0 } P _ { k } ^ { S } \right) ^ { 1 / 4 } \left( { \frac { 6 0 } { L } } \right) ^ { 1 / 2 } u ^ { - 1 } .

\int _ { e } ^ { g } [ d g ] \, e ^ { \frac { i } { 2 } \int d s | | \dot { g } | | ^ { 2 } } .

\sqrt { \langle R ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } \sim ( g N ) ^ { 1 / 3 } { \cal H } _ { 4 } ^ { - 1 / 1 2 } \lambda ^ { 1 / 2 } ,

G = k \epsilon ^ { i j } \partial _ { i } A _ { j } + i e ( \phi \pi - \phi ^ { * } \pi ^ { * } ) \approx 0

A _ { A } = \nabla _ { A } u + \epsilon _ { A B } \nabla ^ { B } v \ ,

v = { \frac { 1 } { { J _ { H } ^ { - 1 } } ^ { \prime } } } .

\vec { r } _ { 1 } = ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) , \ \, v e c r _ { 2 } = ( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) , \ \, v e c r _ { 3 } = ( 1 , 0 ) , \ \ \vec { r } _ { 4 } = - \vec { r } _ { 1 } , \ \, v e c r _ { 5 } = - \vec { r } _ { 2 } , \ \ \vec { r } _ { 6 } = - \vec { r } _ { 3 }

m ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } - 8 \hbar \Lambda \Omega ^ { 4 } + \frac { 1 7 6 \hbar ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } \Omega ^ { 6 } } { 3 } - \frac { 4 0 0 \hbar ^ { 3 } \Lambda ^ { 3 } \Omega ^ { 8 } } { 9 } + . . . = 0

| \psi _ { 1 } \rangle = b _ { - 1 } b _ { - 2 } \ldots b _ { 1 - \lambda } | \! \downarrow \rangle ,

L _ { k } | \Psi \rangle = 0 \; \; \; , \; \; \; k \geq 1 \; \; \; .

m _ { b } = { \frac { 1 } { 2 } } ( { r _ { b } } ^ { 3 } / 3 - 2 n ^ { 2 } r _ { b } - n ^ { 4 } / r _ { b } )

Z = \int [ D P _ { a b } ^ { k } ] [ D \omega _ { k } ^ { a b } ] d e t ( G ^ { i j m n } ( \tilde { g } ) ) \delta ( \phi ^ { i j } ) \delta ( \chi ^ { m n } ) d e t M _ { \alpha \beta } \delta ( H _ { \perp } ) \delta ( H _ { i } ) \delta ( J _ { a b } ) \ e x p \frac { i } { \hbar } S

d s ^ { 2 } = - \kappa ^ { 2 } \rho ^ { 2 } d t ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } + d z _ { 1 } ^ { 2 } + d z _ { 2 } ^ { 2 } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ - \infty < z _ { 1 } , z _ { 2 } < \infty ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \rho > 0 ~ ~ ~ .

\Gamma = { \frac { 1 } { \tau } } < < M

p ^ { 0 } = f ( \pi ^ { 0 } ) , \qquad \vec { p } = g ( \pi ^ { 0 } ) \vec { \pi } , \qquad a < \pi ^ { 0 } < b .

h _ { 0 0 } = { \bar { h } } _ { 0 0 } - \frac { 1 } { 2 } h = \frac { 2 G M } { r } \left[ 1 + \frac { 4 3 G } { 3 0 \pi r ^ { 2 } } - \frac { 5 G } { 1 2 \pi r ^ { 2 } } + \frac { a ( \lambda ) - 2 b ( \lambda ) } { r ^ { 2 } } \right] .

H = p _ { \mu } \circ \dot { q } ^ { \mu } - L - Z

S = \beta \sum _ { a b } [ 2 r _ { a b } ^ { - 1 } - s i n ^ { 2 } ( \theta _ { a b } ) ] e ^ { - r _ { a b } }

{ \bf v } ^ { n } \equiv \frac T { \alpha ^ { 2 } } { \bf V } ^ { n } = \varphi _ { n } ^ { 0 } \bbox { \varphi }

P ( s , l ) \; = \; \gamma ^ { j } \: P _ { j } ( s , l ) \; \; \; \; { \mathrm { w i t h } } \; \; \; \; P _ { j } ( s , l ) \; : = \; \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v \; h _ { j } ( u , v ) \: e ^ { - i ( u s + v l ) } \; .

\sum a _ { i j } x _ { i } y _ { j } = 0

h ( a ) = { \frac { 1 } { 9 a ( 1 - a ) ^ { 2 } } } + k ( a ) \, ,

A _ { m n } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 2 } { \pi } } ( - 1 ) ^ { m + n + 1 } \sqrt { m n } { \frac { \beta \, \mathrm { s i n } m \pi \beta } { n ^ { 2 } - m ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } } ,

{ \frac { \partial } { \partial t } } * \Phi ( t ) = d \Phi ( t ) .

\Phi _ { G n } ^ { \mathrm { o u t } } = \sum _ { m } ( \alpha _ { G m n } \Phi _ { G m } ^ { \mathrm { i n } } + \beta _ { G m n } \Phi _ { G m } ^ { \mathrm { i n } * } ) \, ,

G B = ( C _ { m n p q } ) ^ { 2 } - 2 ( { \cal { R } } _ { m n } ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } { \cal { R } } ^ { 2 }

{ \cal S } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { G } \left( - R + ( \nabla _ { \mu } \Phi ) ^ { 2 } + \xi e ^ { \zeta \Phi } \right)

\frac { 1 } { 2 } \biggl [ \biggl < S _ { 4 } ^ { 2 } ( \phi _ { s } , \phi _ { f } ) \biggr > _ { 0 f } - \biggl < S _ { 4 } ( \phi _ { s } , \phi _ { f } ) \biggr > _ { 0 f } ^ { 2 } \biggr ] .

{ \cal T } _ { m e } : ( \Omega , e ^ { \rho } , A , f ) \rightarrow ( e ^ { \rho } , \Omega , - i A , f ) , ~ d x \rightarrow e ^ { \rho } \Omega ^ { - 1 } d x ,

Q _ { a b } = { \frac { 1 } { L ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 , L ^ { 2 } } < \sigma _ { i } ^ { a } > < \sigma _ { i } ^ { b } >

H C _ { n } ( G ) \simeq \oplus _ { i \geq 0 } H _ { n - 2 i } ( G )

d _ { H } ( t _ { * } ) = \int _ { 0 } ^ { t _ { * } } { \frac { c _ { p } ( t ) d t } { a ( t ) } } ,

S _ { A } [ \Phi , \Phi ^ { * } ] = S _ { A } ^ { 0 } [ \phi , \Phi ^ { * } ] + \mathrm { g h o s t - t e r m s } .

\frac { d ^ { 2 } } { d j ^ { 2 } } Z ^ { ( 0 ) } ( j ) = [ Z ^ { ( 0 ) } ( j ) ] ^ { 2 } .

\phi _ { n , \nu } ( \kappa ) = \vert \kappa \vert ^ { - 1 + 2 i \nu } \left( { \frac { \kappa ^ { * } } { \vert \kappa \vert } } \right) ^ { n } ,

\widetilde { \omega } ^ { - 2 } = \omega ^ { - 2 } \left[ 1 + \epsilon \eta \left( x ^ { i } , v \right) \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \widetilde { b } = b \left[ 1 + \epsilon \eta \left( x ^ { i } , v \right) \right] .

U ( t ) a ^ { \# } U ^ { * } ( t ) = a ^ { \# } - \sqrt { 2 \omega } E

\langle W _ { C } [ { \cal A } ] \rangle _ { Y M } \not = \langle W _ { C } [ { \cal V } ] \rangle _ { Y M } ,

u v = ( w ^ { \prime } - \lambda \gamma ) ( w ^ { \prime } + \lambda \gamma )

r _ { \mathrm { w } } ( k ^ { 2 } ) \; = \; \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } J _ { l } ( k ^ { 2 } ) \left[ I _ { l - 1 } ( k ^ { 2 } ) - I _ { l } ( k ^ { 2 } ) \right] ( k ^ { 2 } ) ^ { l }

x _ { r } ( t ) = a \, { \frac { \mathrm { c n } ( a t , k ) } { \mathrm { s n } ( a t , k ) } } , \quad y _ { r } ( t ) = - a ^ { 2 } { \frac { \mathrm { d n } ( a t , k ) } { \mathrm { s n } ^ { 2 } ( a t , k ) } } , \quad z _ { r } ( t ) = - b ^ { 2 } \wp ( b t ) ,

1 + \frac { \gamma } { 4 } \sum _ { \mathrm { q u a r k s } } ( Y _ { R } ^ { 3 } - Y _ { L } ^ { 3 } ) = 0 \, .

\nabla ^ { \mu } \Sigma _ { \mu \nu } ( e ^ { \sigma } g _ { \mu \nu } ) = \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \nu } \sigma ~ g ^ { \mu \nu } \Sigma _ { \mu \nu } ( e ^ { \sigma } g _ { \mu \nu } ) ~ ,

\mathrm { R H S } = \displaystyle \frac { ( 1 - \tau ^ { 2 } ) \zeta _ { N - 1 } } { \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( z _ { N - 1 } - z _ { j } \tau ^ { 2 } ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \zeta _ { k } \displaystyle \prod _ { j = 1 \atop j \neq k } ^ { n } \frac { ( z _ { N - 1 } - z _ { j } ) ( z _ { k } - z _ { j } \tau ^ { 2 } ) } { z _ { k } - z _ { j } } \displaystyle \overline { { G } } _ { \varepsilon , k } ^ { ( n - 1 , l - 1 ) } ( \zeta ^ { \prime } ) .

\langle { \cal A } _ { a } \rangle _ { m n } = { \frac { ( [ { \cal D } _ { a } , H _ { 0 } ] ) _ { m n } } { E _ { n } - E _ { m } } }

\square _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \gamma _ { I } = j _ { I } ( z )

{ \bf W } \equiv a _ { D } \frac { d a } { d u } - a \frac { d a _ { D } } { d u }

h ( x ) \longrightarrow h ( x ) - \psi ( x ) \epsilon ,

v ^ { * } + v ^ { 2 } - \frac { h _ { 3 } ^ { * } } { 2 h _ { 3 } } v + h _ { 3 } \Upsilon = 0 ;

{ \cal A } ( { \cal O } ^ { \prime } ) = { \cal A } ( { \cal O } ) ^ { \prime } , \, \, \, \, H a a g \, \, D u a l i t y

\delta \psi _ { 5 R } ^ { ( 0 ) } = { \frac { \omega } { \rho } } \varepsilon _ { R } ^ { ( 0 ) * } + \cdots

P _ { j } ^ { \alpha } \neq P _ { k } ^ { \alpha } ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ j \neq k ~ ~ \mathrm { a n d ~ a l l } ~ ~ \alpha ,

P ^ { A } \equiv ( \bar { c } ^ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { A } c ^ { \beta } ) . \tag { 3 9 }

\Gamma _ { m } = \left( \begin{array} { c c } { } & { \gamma _ { m } ^ { \dagger } } \\ { \gamma _ { m } } & { } \\ \end{array} \right)

\left. A \right| _ { h } = a ^ { M } ( h ) \left. \partial _ { M } \right| _ { h } \, .

K _ { c } = \frac { i k + 2 \sigma } { i k - 2 \sigma } + \frac { 2 i k } { ( i k - 2 \sigma ) ^ { 2 } } \epsilon + O ( \epsilon ^ { 2 } ) .

{ \bf J } = \frac { 1 } { i } \{ \psi ^ { * } ( { \bf D } \psi ) - \psi ( { \bf D } \psi ) ^ { * } \} .

c _ { 3 } ( V ) = 2 \lambda \sigma \eta ( \eta - n c _ { 1 } ( B ) ) .

T _ { 0 } \equiv T | _ { z = \pi = 0 } , \; \; \; \; { \cal K } _ { 0 I } \equiv { \cal K } _ { I } | _ { z = \pi = 0 }

\pi _ { \lambda \zeta , \lambda z } = \lambda ^ { L _ { 0 } } \circ \pi _ { \zeta , z } \circ \left( \lambda ^ { - L _ { 0 } } \otimes \lambda ^ { - L _ { 0 } } \right) ,

\{ a _ { i } , \, a _ { j } \} _ { \pm } = 0 = \{ a _ { i } ^ { * } , \, a _ { j } ^ { * } \} _ { \pm } , \quad \{ a _ { i } , \, a _ { j } ^ { * } \} _ { \pm } = \delta _ { i j } = \pm \{ a _ { j } ^ { * } , \, a _ { i } \} _ { \pm } .

e ^ { \phi } = { \frac { 1 } { N } } \left[ ( g _ { f } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left( { \frac { u } { \cal R } } \right) \left( { \frac { d _ { p } ^ { 1 / ( 3 - p ) } } { c _ { p } ^ { 1 / ( p - 1 ) } } } \right) \right] ^ { \frac { ( p - 1 ) ( 3 - p ) } { 2 ( 2 - p ) } } \, .

C = { \cal O } _ { \omega _ { 1 } } + { \cal O } _ { \omega _ { 2 } } .