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	(1)分压\(p_{\mathrm{i}}\)的定义：混合气体中某一组分\(\mathrm{i}\)的分压，是指该组分气体 \(\mathrm{i}\) 与混合气体具有相同的温度和相同体积时，单独存在时所具有的压力。
	(1)理想气体分子是没有体积的质点。理想气体的体积就是容器的体积，也就是理想气体分子自由活动的空间。
	(2)理想气体分子之间无作用力，既无吸引力，又无排斥力，理想气体分子之间、分子与器壁之间碰撞都是弹性碰撞。
	(1)分体积定义：混合气体中，某一组分的分体积是指该组分在与混合气体具有相同温度与相同压力下，单独存在时的体积。用$V_{i}$表示：
	用外推法求出：\(RT = 22.414\mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{atm} \cdot \mathrm{mol}^{-1}\) \(R = 22.414/273.15 = 0.08206\mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{atm} \cdot \mathrm{mol}^{-1}\)
	\(pV=nRT,\quad n = 1\mathrm{mol},\quad pV_{\mathrm{m}}=RT\) \(pV=(W/M)RT,\ p=(W/MV)RT=\rho\cdot RT/M,\ p=(n/V)RT = cRT\)
	(4)理想气体状态方程其他形式： \(pV = nRT\)，\(n = 1mol\)，\(pV_{m}=RT\) \(pV=(W/M)RT\)，\(p=(W/MV)RT = \rho\cdot RT/M\)，\(p=(n/V)RT = cRT\)
	\[ p_{i}/p=\frac{\frac{n_{i}}{V}RT}{\frac{\sum n_{i}}{V}RT}=\frac{n_{i}}{\sum n_{i}}=x_{i}\quad p_{i}=x_{i}p \]
	1.引入理想气体概念的意义：理想气体是不存在，是实际气体极限情况一种近似，是科学的抽象。
	3. 平均分子量\(M_{R}(M)\)计算(混合气体平均分子量计算)。
	(2)分压定律： $p = \sum p_{i}$
	- 临界温度 \(T_{c}\)：实验曲线（安德鲁斯 1869 二氧化碳实验，见下图）等温线中的水平段随温度的升高而缩短，说明气液两相的比体积随温度升高而接近。当温度达到某一极限温度时，水平段的左右端重合，这时两相的比体积相等，两相的其它差别也不再存在，物质处在气液不分的状态。这一极限温度就是临界温度 \(T_{c}\)
	$\frac{1}{p}\frac{dp}{dT}=\frac{L}{RT^{2}}$
	\(\ln p = -\frac{L}{RT} + A\)
	如果更进一步认为相变潜热\(L\)与温度\(T\)无关（这个近似是粗糙的），则可将上式积分得：
	方程：如果认为凝聚相摩尔体积远小于气相摩尔体积，并把气相看作理想气体，则克拉珀龙方程简化为蒸气压方程:
	概念：描述饱和蒸气压与温度关系的方程称为蒸气压方程。(p72)
	3. 经典力学描述原子所面临的困难— 电子要不断辐射电磁波，与观察到的不一致：1）牛顿力学+麦氏电磁学的预言：各种频率都可辐射。如果原子核与电子都为点状（当时对原子核的大小有估计，是多少？，对电子的大小有估计吗？），则辐射会不断进行下去，原子会塌缩到很小，无法解释对原子大小的估计（当时对原子大小的估计如何？）
	在气体中穿行的距离远长于原子尺度的粒子。（2）卢瑟福实验（1909）—（由Hans Geiger and Ernest Marsden实际操作）原子的卢瑟福模型：原子有原子核，原子内十分空旷，原子核很小。汤姆逊模型：电子嵌在正电子背景之中（葡萄干模型）。
	\[T(n)=\frac{R}{n^{2}}\]
	$\frac{1}{\lambda}=T(m)-T(n)$
	2）观测到的事实：原子辐射分立的光谱，且并非一直在辐射。对理论解释提出了严峻的挑战。氢原子光谱，巴尔末线系
	\(\lambda = R \left( \frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right).\)
	$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right),$
	\[ \begin{align} \omega_{\pm}&=\frac{\omega_{0}}{1 + r_{\pm}}, \quad \omega_{0}^{2}=\frac{g}{l_{1}}\\ r_{\pm}&=\frac{1}{2}(\beta - 1)\pm\frac{1}{2}\sqrt{(1 - \beta)^{2}+4\alpha\beta}, \quad \alpha=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}},\beta=\frac{l_{1}}{l_{2}} \end{align} \]
	\[ \begin{cases} l_{1} \ddot{\theta}_{1}+\frac{m_{2}l_{2}}{m_{1} + m_{2}}\left(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\ddot{\theta}_{2}+\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{2}\right)+g\sin\theta_{1}=0 \\ l_{1}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\ddot{\theta}_{1}+l_{2}\ddot{\theta}_{2}-l_{1}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{1}+g\sin\theta_{2}=0 \end{cases} \]
	这里 $\alpha=\frac{m}{M},\omega_{0}^{2}=\frac{k}{M},\omega_{1}^{2}=\frac{g}{l}$。
	无摩擦滑轮两端悬挂质量\(m_1,m_2\)物体，设绳竖直部分\(l\)长，\(m_1\)上方长\(x\)，则
	单摆末端连接另一单摆，已知\(l_1,m_1,l_2,m_2\)，以\(\theta_1,\theta_2\) 为广义坐标，则
	\[ \begin{cases} (M + m)\ddot{x} + ml \cos \theta \ddot{\theta} - ml \sin \theta \dot{\theta}^2 = -kx \\ ml \cos \theta \ddot{x} + ml^2\ddot{\theta} = -mgl \sin \theta \end{cases} \]
	第二个式子即为角动量守恒，记 \(p_{\theta}=mr^{2}\dot{\theta}\)，代入第一个式子可得
	\[ \begin{align} x_1&=l_1\sin\theta_1, &x_2&=l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2\\ y_1&=-l_1\cos\theta_1, &y_2&=-l_1\cos\theta_1 - l_2\cos\theta_2 \end{align} \]
	\(\omega_{\pm}^{2}=\frac{1}{2}(\omega_{0}^{2}+(1+\alpha)\omega_{1}^{2})\pm\frac{1}{2}\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2})^{2}+2\alpha(\omega_{0}^{2}+\omega_{1}^{2})\omega_{1}^{2}}\)
	\(\omega_{\pm}^{2}=\frac{1}{2}(\omega_{0}^{2}+(1+\alpha)\omega_{1}^{2})\pm\frac{1}{2}\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2})^{2}+2\alpha(\omega_{0}^{2}+\omega_{1}^{2})\omega_{1}^{2}}\)
	\[y_{1}=-l_{1} \cos \theta_{1}, \quad y_{2}=-l_{1} \cos \theta_{1}-l_{2} \cos \theta_{2}\]
	\[ L = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{x}^2 + m_1gx + m_2g(l - x) \]
	\(\ddot{x} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g\)
	\(m\ddot{r}=\frac{p_{\theta}^{2}}{mr^{3}}-V^{\prime}(r)\)
	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^{2}\dot{\theta}) = 0$
	* 小振动时 $\sin\theta\approx\theta,\cos\theta\approx1$，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率
	质量 \(M\)，原长 \(a\) 水平弹簧一端挂线长 \(l\) 单摆，小球质量 \(m\)，以弹簧长度变化 \(x\) 与单摆角度 \(\theta\) 作广义坐标，则计算可得
	\[ L = \frac{1}{2}M\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m((\dot{x}+l\cos\theta\dot{\theta})^{2}+(l\sin\theta\dot{\theta})^{2})-\frac{1}{2}kx^{2}-mgl\cos\theta \]
	\[\Phi(r, \vec{n})=\sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\left(A_{l m} r^{l}+\frac{B_{l m}}{r^{l + 1}}\right) Y_{l m}(\vec{n})\]
	利用完备性关系展开右侧，知可设格林函数为\(G(\vec{x},\vec{x}') = \sum_{l,m} g_l(r,r')Y_{lm}^*(\vec{n}')Y_{lm}(\vec{n})\)，再由\(g_l\)在\(r \to 0,\infty\)时有限、关于\(r,r'\)对称，求解可得到结果。
	\[\Phi_{in}(\vec{x}) = -\left(\frac{3\epsilon_{2}}{\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}}\right)E_{0}r\cos\theta, \quad \Phi_{out}(\vec{x}) = -E_{0}r\cos\theta + \left(\frac{\epsilon_{1} - \epsilon_{2}}{\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}}\right)E_{0}\frac{a^{3}}{r^{3}}\cos\theta\]
	将\(\theta,\phi\)视为与\(\vec{n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)\)等同，即可记为\(Y_{lm}(\vec{n})\)，再记\(\mathrm{d}\vec{n}=\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\)，则其正交归一与完备条件为
	由此，任意 \(\theta, \phi\) 的函数可展开为球谐函数，一般解可以写为
	证明：将左侧乘$\frac{1}{4\pi}$视为格林函数$G(\vec{x},\vec{x}')$，即有
	$\frac{1}{\|\vec{x}-\vec{x}'\|}=\sum_{l = 0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l + 1}\frac{\min\{\|\vec{x}\|,\|\vec{x}'\|\}^l}{\max\{\|\vec{x}\|,\|\vec{x}'\|\}^{l + 1}}Y_{lm}^{*}(\vec{n}')Y_{lm}(\vec{n})$
	* 其满足性质 \(Y_{l,-m}=(-1)^m Y_{l m}^*\)
	由于无穷远处 $\Phi_{out}(\vec{x})=-E_0z = -E_0r\cos\theta$，必然只有 $l = 1$ 项，且 $B_1=-E_0$。此外，其产生介质极化也必然只有 $l = 1$ 项，从而只需求解 $A_1,C_1$。通过球面 $\theta$ 处场强切向连续、电位移矢量法向连续可知
	由于无穷远处 \(\Phi_{out}(\vec{x}) = -E_0 z = -E_0 r \cos \theta\)，必然只有 \(l = 1\) 项，且 \(B_1 = -E_0\)。此外，其产生介质极化也必然只有 \(l = 1\) 项，从而只需求解 \(A_1,C_1\)。通过球面 \(\theta\) 处场强切向连续、电位移矢量法向连续可知
	\[ \begin{align} \int \mathrm{d}\vec{n}Y_{lm}^{}(\vec{n})Y_{l'm'}(\vec{n})&=\delta_{ll'}\delta_{mm'}\\ \sum_{l = 0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}^{}(\vec{n}')Y_{lm}(\vec{n})&=\delta(\cos\theta' - \cos\theta)\delta(\phi' - \phi) \end{align} \]
	\[A_{1}=-E_{0}+\frac{C_{1}}{a^{3}}, \quad \epsilon_{1}A_{1}=-\epsilon_{2}\left(E_{0}+\frac{2C_{1}}{a^{3}}\right)\]
	\[\Phi_{in}(\vec{x}) = \sum_{l} A_l r^l P_l(\cos \theta), \quad \Phi_{out}(\vec{x}) = \sum_{l} \left( B_l r^l + \frac{C_l}{r^{l+1}} \right) P_l(\cos \theta)\]
	由于不存在自由电荷，对应 Laplace 方程，由 \(z\) 轴对称性知内外都只涉及 \(m = 0\) 的球谐函数，又因内部 \(r = 0\) 处不可能发散，电势一定可以写成
	\(\nabla^{2}G(\vec{x},\vec{x}') = -\delta^{3}(\vec{x} - \vec{x}') = -\frac{1}{r^{2}}\delta(r - r')\delta(\cos\theta - \cos\theta')\delta(\phi - \phi')\)
	无穷空间中介电常数$\epsilon_{2}$，存在均匀强度$E_{0}$的$z$轴方向电场，放入一个介电常数$\epsilon_{1}$，半径$a$的电介质球，球心为原点，求放入后电场分布。
	$\S2.5\ 静电边值问题的数值解法$
	在一个稳恒电路中，所有的导体都满足稳恒条件（这和静电平衡条件略有不同），电荷只能出现在导体表面或导体内部非均匀部分。“稳恒电场”实际上不是静电场，并且一定要理解：不是电流形成电场，而是电场驱动、形成并维持了稳恒电流。
	定义 6.2.1 (电源电动势). 在可区分内外电路的电路中，非静电力\(\vec{K}\)只能在电源中存在，此时电源的电动势定义为：
	$\nabla\cdot \vec{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$
	\(\sum I = \sum I_{in} - \sum I_{out} = 0\)
	6.1 稳恒条件和微观定律
	其中，$\rho(\vec{r},t)$ 是空间中点在某时刻的电荷体密度。
	其中，\(q\)为闭合曲面\(S\)所包围空间的总电荷量。而它具有等价的微分形式：
	求解稳恒电路的过程中，会涉及到如下两个基本方程\(^{12}\)，这里描述如下：
	如果无法区分内外电路，则电动势重新定义为：
	定义 6.1.1 (电流密度). $\mathbb{R}^{3}$ 空间中某曲面 $S$，其上有电流 $I$ 通过，则电流密度矢量定义为单位面积上流过的电流强度，也即满足 $\iint_{S} \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S}=I$
	\(\vec{j} = \sigma \vec{E}\)
	这定理也常被称为 Kirchhoff 节点电流方程（KCL）
	电流密度的定义：
	\(p = \frac{j^{2}}{\sigma}\)
	定理 6.1.1 (电流的稳恒条件). 设 $\mathbb{R}^3$ 空间中有一闭合曲面 $S$，矢量场 $\vec{j}(\vec{r})$ 是电流密度矢量，则下列式被称为积分形式的稳恒电流条件：
	定理 6.1.2 (Ohm 定律). 设 $\mathbb{R}^3$ 空间中，矢量场 $\vec{j}(\vec{r})$ 是电流密度，矢量场 $\vec{E}(\vec{r})$ 是所谓的稳恒电场强度。Ohm 定律表明：
	定理 6.1.3 (Joule 定律). 矢量场 $\vec{j}(\vec{r})$ 是电流密度, 则在 $\vec{r}$ 处的体元, 其热功率密度 (单位体积热功率) 为：
	$6\quad 稳恒电流$
	\(\varepsilon = \oint_{L} \vec{K} \cdot \mathrm{d}\vec{l}\)
	\(\oint_{S} \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\)
	6.2 稳恒电路
	在求复数场运动方程时, 往往会将场$\phi$和它的共轭$\phi^{*}$ (共轭转置$\phi^{\dagger}$) 当作独立的场处理, 但实际上它们之间存在着约束关系. 可以认为是独立的变量的原因如下 (参见这篇笔记第 56 页下方):
	\[ \begin{align} \frac{dQ}{dt}&=\int \partial_0 j^0 d^3 x\\ &=\int (\partial_{\mu}j^{\mu}-\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{j})d^3 x\\ &=-\int \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{j}\ d^3 x\\ &=0. \end{align} \]
	(评论) 在实际计算时, 大多数我们所关心的对场的变换并不会影响 Lagrangian 的形式 (没有 $\mathcal{J}^{\mu}$ 这一项); 而对于会使 Lagrangian 变化一个 4-divergence 的变换, 我们在这一步中既检查了它是否为对称变换, 同时也得到了 $\mathcal{J}^{\mu}$ 的形式. 例如书中的第二个例子中, 时空平移不仅影响场, 也影响了同为洛伦兹标量 Lagrangian 本身, 即为上述第二种情况.
	1. 第一步是检查某变换是否为一个对称变换, 即检查该变换是否保证书中$(2.10)$成立. 大多数情况下, 直接将对于某个对场的变换$(2.9)$代入 Lagrangian 中即可.
	(评论) 这一步只是为了得到守恒流关于 $\phi,\partial_{\mu}\phi$ 的函数表达式. 可以这样考虑: 如果 Lagrangian 的形式不变, 则有 $\mathcal{L}' - \mathcal{L} = \mathcal{L} - \mathcal{L} = 0$ (什么都得不到); 而考虑了最小作用量原理后, $\mathcal{L}' - \mathcal{L} = \mathcal{L}_{(\Delta)} + \mathcal{L}_{(\mathrm{Euler})} - \mathcal{L} = \partial_{\mu}j^{\mu} = 0$, $j^{\mu}$ 即为我们想得到的守恒流表达式.
	$2.2.4\ \ P18 - (2.13)$
	(评论) 这一步只是为了得到守恒流关于 $\phi,\partial_{\mu}\phi$ 的函数表达式. 可以这样考虑: 如果 Lagrangian 的形式不变, 则有 $\mathcal{L}' - \mathcal{L}=\mathcal{L}-\mathcal{L}=0$ (什么都得不到); 而考虑了最小作用量原理后, $\mathcal{L}' - \mathcal{L}=\mathcal{L}_{(\Delta)}+\mathcal{L}_{(\mathrm{Euler})}-\mathcal{L}=\partial_{\mu}j^{\mu}=0$, $j^{\mu}$ 即为我们想得到的守恒流表达式.
	2. 第二步中, 我们在形式上计算 Lagrangian 的变化, 得到 (2.11) 式后用 Euler-Lagrange 方程去掉其第二项. 这样, 我们得到了考虑了最小作用量原理后的, 由我们对场的变换导致的 $\Delta\mathcal{L}(\phi,\partial_{\mu}\phi)$ 的形式. 而由于此项仍需满足书中 (2.10), 我们令它等于前面的 $\mathcal{J}^{\mu}$ 后即可得到守恒流.
	\(\delta S = \int d^{4}x \left( A\delta\phi + A^{}\delta\phi^{} \right) = 0.\)
	更好的导出守恒流的方式也许是考虑局域变换, 详见 Weinberg 书中讲解或 Hagen Kleinert 课件中 8.1.2 一节.
	会使书中 (2.10) 成立, 但对称变换的含义是使得 (2.10) 成立的对任意场分布的变换, 所以 “任意的全局变换都是对称变换” 肯定是错误的.
	2.2.5 \ P18 - (2.15)
	当数值很大或很小时，用科学计数法来表示．如：某年我国人口为七亿五千万，极限误差为二千万，就应写作：$(7.5\pm0.2)\times10^{4}$万，其中$(7.5\pm0.2)$表明有效数字和不确定度， $10^{4}$万表示单位．又如，把$(0.000623\pm0.000003)\ \text{m}$写作$(6.23\pm0.03)\times10^{-4}\ \text{m}$，看起来就简洁醒目了．
	一位有效数字，例如\(L = (1.00\pm0.02)\text{ cm}\). 一次直接测量结果的有效数字，由仪器极限误差或估计的不确定度来确定. 多次直接测量算术平均值的有效数字，由计算得到平均值的不确定度来确定. 间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定.
	（1）诸量相加（或相减）时，其和（或差）数在小数点后所应保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个相同；
	有效数字的位数多寡决定于测量仪器，而不决定于运算过程．因此，选择计算工具时，应使其所给出的位数不少于应有的有效数字，否则将使测量结果精度降低，这是不允许的．相反，通过计算工具随意扩大测量结果的有效数字也是错误的，不要认为算出结果的位数越多越好．
	在记录和处理数据时，要将数据列成表格．数据表格可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，便于检查、减少和避免错误，也可以及时发现问题和分析问题，有助于从中找出规律性的联系，求出经验公式等．
	要学会：正确地取得数据，记录、分析和处理这些数据，要学会“在数据的海洋中航行”. 这对科学实验者来说是十分重要的.
	（5）在运算过程中，我们可能碰到一种特定的数，它们叫作正确数．例如将半径化为直径\(d = 2r\)时出现的倍数\(2\)，它不是由测量得来的．还有实验测量次数\(n\)，它总是正整数，没有可疑部分．正确数不适用有效数字的运算规则，只须由其他测量值的有效数字的多少来决定运算结果的有效数字；
	（6）在运算过程中，我们还可能碰到一些常数,如$\pi$、$g$之类，一般我们取这些常数与测量的有效数字的位数相同．例如：圆周长$l = 2\pi R$，当$R = 2.356\ \text{mm}$时，此时$\pi$应取$3.142$．

(1)分压$p_{\mathrm{i}}$的定义：混合气体中某一组分$\mathrm{i}$的分压，是指该组分气体 $\mathrm{i}$ 与混合气体具有相同的温度和相同体积时，单独存在时所具有的压力。

(1)理想气体分子是没有体积的质点。理想气体的体积就是容器的体积，也就是理想气体分子自由活动的空间。

(2)理想气体分子之间无作用力，既无吸引力，又无排斥力，理想气体分子之间、分子与器壁之间碰撞都是弹性碰撞。

(1)分体积定义：混合气体中，某一组分的分体积是指该组分在与混合气体具有相同温度与相同压力下，单独存在时的体积。用$V_{i}$表示：

用外推法求出：$RT = 22.414\mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{atm} \cdot \mathrm{mol}^{-1}$ $R = 22.414/273.15 = 0.08206\mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{atm} \cdot \mathrm{mol}^{-1}$

$pV=nRT,\quad n = 1\mathrm{mol},\quad pV_{\mathrm{m}}=RT$ $pV=(W/M)RT,\ p=(W/MV)RT=\rho\cdot RT/M,\ p=(n/V)RT = cRT$

(4)理想气体状态方程其他形式： $pV = nRT$，$n = 1mol$，$pV_{m}=RT$ $pV=(W/M)RT$，$p=(W/MV)RT = \rho\cdot RT/M$，$p=(n/V)RT = cRT$

\[ p_{i}/p=\frac{\frac{n_{i}}{V}RT}{\frac{\sum n_{i}}{V}RT}=\frac{n_{i}}{\sum n_{i}}=x_{i}\quad p_{i}=x_{i}p \]

1.引入理想气体概念的意义：理想气体是不存在，是实际气体极限情况一种近似，是科学的抽象。

3. 平均分子量$M_{R}(M)$计算(混合气体平均分子量计算)。

(2)分压定律： $p = \sum p_{i}$

- 临界温度 $T_{c}$：实验曲线（安德鲁斯 1869 二氧化碳实验，见下图）等温线中的水平段随温度的升高而缩短，说明气液两相的比体积随温度升高而接近。当温度达到某一极限温度时，水平段的左右端重合，这时两相的比体积相等，两相的其它差别也不再存在，物质处在气液不分的状态。这一极限温度就是临界温度 $T_{c}$

$\frac{1}{p}\frac{dp}{dT}=\frac{L}{RT^{2}}$

$\ln p = -\frac{L}{RT} + A$

如果更进一步认为相变潜热$L$与温度$T$无关（这个近似是粗糙的），则可将上式积分得：

方程：如果认为凝聚相摩尔体积远小于气相摩尔体积，并把气相看作理想气体，则克拉珀龙方程简化为蒸气压方程:

概念：描述饱和蒸气压与温度关系的方程称为蒸气压方程。(p72)

3. 经典力学描述原子所面临的困难— 电子要不断辐射电磁波，与观察到的不一致：1）牛顿力学+麦氏电磁学的预言：各种频率都可辐射。如果原子核与电子都为点状（当时对原子核的大小有估计，是多少？，对电子的大小有估计吗？），则辐射会不断进行下去，原子会塌缩到很小，无法解释对原子大小的估计（当时对原子大小的估计如何？）

在气体中穿行的距离远长于原子尺度的粒子。（2）卢瑟福实验（1909）—（由Hans Geiger and Ernest Marsden实际操作）原子的卢瑟福模型：原子有原子核，原子内十分空旷，原子核很小。汤姆逊模型：电子嵌在正电子背景之中（葡萄干模型）。

\[T(n)=\frac{R}{n^{2}}\]

$\frac{1}{\lambda}=T(m)-T(n)$

2）观测到的事实：原子辐射分立的光谱，且并非一直在辐射。对理论解释提出了严峻的挑战。氢原子光谱，巴尔末线系

$\lambda = R \left( \frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right).$

$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right),$

\[ \begin{align*} \omega_{\pm}&=\frac{\omega_{0}}{1 + r_{\pm}}, \quad \omega_{0}^{2}=\frac{g}{l_{1}}\\ r_{\pm}&=\frac{1}{2}(\beta - 1)\pm\frac{1}{2}\sqrt{(1 - \beta)^{2}+4\alpha\beta}, \quad \alpha=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}},\beta=\frac{l_{1}}{l_{2}} \end{align*} \]

\[ \begin{cases} l_{1} \ddot{\theta}_{1}+\frac{m_{2}l_{2}}{m_{1} + m_{2}}\left(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\ddot{\theta}_{2}+\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{2}\right)+g\sin\theta_{1}=0 \\ l_{1}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\ddot{\theta}_{1}+l_{2}\ddot{\theta}_{2}-l_{1}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{1}+g\sin\theta_{2}=0 \end{cases} \]

这里 $\alpha=\frac{m}{M},\omega_{0}^{2}=\frac{k}{M},\omega_{1}^{2}=\frac{g}{l}$。

无摩擦滑轮两端悬挂质量$m_1,m_2$物体，设绳竖直部分$l$长，$m_1$上方长$x$，则

单摆末端连接另一单摆，已知$l_1,m_1,l_2,m_2$，以$\theta_1,\theta_2$ 为广义坐标，则

\[ \begin{cases} (M + m)\ddot{x} + ml \cos \theta \ddot{\theta} - ml \sin \theta \dot{\theta}^2 = -kx \\ ml \cos \theta \ddot{x} + ml^2\ddot{\theta} = -mgl \sin \theta \end{cases} \]

第二个式子即为角动量守恒，记 $p_{\theta}=mr^{2}\dot{\theta}$，代入第一个式子可得

\[ \begin{align*} x_1&=l_1\sin\theta_1, &x_2&=l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2\\ y_1&=-l_1\cos\theta_1, &y_2&=-l_1\cos\theta_1 - l_2\cos\theta_2 \end{align*} \]

$\omega_{\pm}^{2}=\frac{1}{2}(\omega_{0}^{2}+(1+\alpha)\omega_{1}^{2})\pm\frac{1}{2}\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2})^{2}+2\alpha(\omega_{0}^{2}+\omega_{1}^{2})\omega_{1}^{2}}$

\[y_{1}=-l_{1} \cos \theta_{1}, \quad y_{2}=-l_{1} \cos \theta_{1}-l_{2} \cos \theta_{2}\]

\[ L = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{x}^2 + m_1gx + m_2g(l - x) \]

$\ddot{x} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g$

$m\ddot{r}=\frac{p_{\theta}^{2}}{mr^{3}}-V^{\prime}(r)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^{2}\dot{\theta}) = 0$

* 小振动时 $\sin\theta\approx\theta,\cos\theta\approx1$，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率

质量 $M$，原长 $a$ 水平弹簧一端挂线长 $l$ 单摆，小球质量 $m$，以弹簧长度变化 $x$ 与单摆角度 $\theta$ 作广义坐标，则计算可得

\[ L = \frac{1}{2}M\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m((\dot{x}+l\cos\theta\dot{\theta})^{2}+(l\sin\theta\dot{\theta})^{2})-\frac{1}{2}kx^{2}-mgl\cos\theta \]

\[\Phi(r, \vec{n})=\sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\left(A_{l m} r^{l}+\frac{B_{l m}}{r^{l + 1}}\right) Y_{l m}(\vec{n})\]

利用完备性关系展开右侧，知可设格林函数为$G(\vec{x},\vec{x}') = \sum_{l,m} g_l(r,r')Y_{lm}^*(\vec{n}')Y_{lm}(\vec{n})$，再由$g_l$在$r \to 0,\infty$时有限、关于$r,r'$对称，求解可得到结果。

\[\Phi_{in}(\vec{x}) = -\left(\frac{3\epsilon_{2}}{\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}}\right)E_{0}r\cos\theta, \quad \Phi_{out}(\vec{x}) = -E_{0}r\cos\theta + \left(\frac{\epsilon_{1} - \epsilon_{2}}{\epsilon_{1} + 2\epsilon_{2}}\right)E_{0}\frac{a^{3}}{r^{3}}\cos\theta\]

将$\theta,\phi$视为与$\vec{n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$等同，即可记为$Y_{lm}(\vec{n})$，再记$\mathrm{d}\vec{n}=\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$，则其正交归一与完备条件为

由此，任意 $\theta, \phi$ 的函数可展开为球谐函数，一般解可以写为

证明：将左侧乘$\frac{1}{4\pi}$视为格林函数$G(\vec{x},\vec{x}')$，即有

$\frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}'|}=\sum_{l = 0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l + 1}\frac{\min\{|\vec{x}|,|\vec{x}'|\}^l}{\max\{|\vec{x}|,|\vec{x}'|\}^{l + 1}}Y_{lm}^{*}(\vec{n}')Y_{lm}(\vec{n})$

* 其满足性质 $Y_{l,-m}=(-1)^m Y_{l m}^*$

由于无穷远处 $\Phi_{out}(\vec{x})=-E_0z = -E_0r\cos\theta$，必然只有 $l = 1$ 项，且 $B_1=-E_0$。此外，其产生介质极化也必然只有 $l = 1$ 项，从而只需求解 $A_1,C_1$。通过球面 $\theta$ 处场强切向连续、电位移矢量法向连续可知

由于无穷远处 $\Phi_{out}(\vec{x}) = -E_0 z = -E_0 r \cos \theta$，必然只有 $l = 1$ 项，且 $B_1 = -E_0$。此外，其产生介质极化也必然只有 $l = 1$ 项，从而只需求解 $A_1,C_1$。通过球面 $\theta$ 处场强切向连续、电位移矢量法向连续可知

\[ \begin{align*} \int \mathrm{d}\vec{n}Y_{lm}^{*}(\vec{n})Y_{l'm'}(\vec{n})&=\delta_{ll'}\delta_{mm'}\\ \sum_{l = 0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vec{n}')Y_{lm}(\vec{n})&=\delta(\cos\theta' - \cos\theta)\delta(\phi' - \phi) \end{align*} \]

\[A_{1}=-E_{0}+\frac{C_{1}}{a^{3}}, \quad \epsilon_{1}A_{1}=-\epsilon_{2}\left(E_{0}+\frac{2C_{1}}{a^{3}}\right)\]

\[\Phi_{in}(\vec{x}) = \sum_{l} A_l r^l P_l(\cos \theta), \quad \Phi_{out}(\vec{x}) = \sum_{l} \left( B_l r^l + \frac{C_l}{r^{l+1}} \right) P_l(\cos \theta)\]

由于不存在自由电荷，对应 Laplace 方程，由 $z$ 轴对称性知内外都只涉及 $m = 0$ 的球谐函数，又因内部 $r = 0$ 处不可能发散，电势一定可以写成

$\nabla^{2}G(\vec{x},\vec{x}') = -\delta^{3}(\vec{x} - \vec{x}') = -\frac{1}{r^{2}}\delta(r - r')\delta(\cos\theta - \cos\theta')\delta(\phi - \phi')$

无穷空间中介电常数$\epsilon_{2}$，存在均匀强度$E_{0}$的$z$轴方向电场，放入一个介电常数$\epsilon_{1}$，半径$a$的电介质球，球心为原点，求放入后电场分布。

$\S2.5\ 静电边值问题的数值解法$

在一个稳恒电路中，所有的导体都满足稳恒条件（这和静电平衡条件略有不同），电荷只能出现在导体表面或导体内部非均匀部分。“稳恒电场”实际上不是静电场，并且一定要理解：不是电流形成电场，而是电场驱动、形成并维持了稳恒电流。

定义 6.2.1 (电源电动势). 在可区分内外电路的电路中，非静电力$\vec{K}$只能在电源中存在，此时电源的电动势定义为：

$\nabla\cdot \vec{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$

$\sum I = \sum I_{in} - \sum I_{out} = 0$

6.1 稳恒条件和微观定律

其中，$\rho(\vec{r},t)$ 是空间中点在某时刻的电荷体密度。

其中，$q$为闭合曲面$S$所包围空间的总电荷量。而它具有等价的微分形式：

求解稳恒电路的过程中，会涉及到如下两个基本方程$^{12}$，这里描述如下：

如果无法区分内外电路，则电动势重新定义为：

定义 6.1.1 (电流密度). $\mathbb{R}^{3}$ 空间中某曲面 $S$，其上有电流 $I$ 通过，则电流密度矢量定义为单位面积上流过的电流强度，也即满足 $\iint_{S} \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S}=I$

$\vec{j} = \sigma \vec{E}$

这定理也常被称为 Kirchhoff 节点电流方程（KCL）

电流密度的定义：

$p = \frac{j^{2}}{\sigma}$

定理 6.1.1 (电流的稳恒条件). 设 $\mathbb{R}^3$ 空间中有一闭合曲面 $S$，矢量场 $\vec{j}(\vec{r})$ 是电流密度矢量，则下列式被称为积分形式的稳恒电流条件：

定理 6.1.2 (Ohm 定律). 设 $\mathbb{R}^3$ 空间中，矢量场 $\vec{j}(\vec{r})$ 是电流密度，矢量场 $\vec{E}(\vec{r})$ 是所谓的稳恒电场强度。Ohm 定律表明：

定理 6.1.3 (Joule 定律). 矢量场 $\vec{j}(\vec{r})$ 是电流密度, 则在 $\vec{r}$ 处的体元, 其热功率密度 (单位体积热功率) 为：

$6\quad 稳恒电流$

$\varepsilon = \oint_{L} \vec{K} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$

$\oint_{S} \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$

6.2 稳恒电路

在求复数场运动方程时, 往往会将场$\phi$和它的共轭$\phi^{*}$ (共轭转置$\phi^{\dagger}$) 当作独立的场处理, 但实际上它们之间存在着约束关系. 可以认为是独立的变量的原因如下 (参见这篇笔记第 56 页下方):

\[ \begin{align*} \frac{dQ}{dt}&=\int \partial_0 j^0 d^3 x\\ &=\int (\partial_{\mu}j^{\mu}-\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{j})d^3 x\\ &=-\int \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{j}\ d^3 x\\ &=0. \end{align*} \]

(评论) 在实际计算时, 大多数我们所关心的对场的变换并不会影响 Lagrangian 的形式 (没有 $\mathcal{J}^{\mu}$ 这一项); 而对于会使 Lagrangian 变化一个 4-divergence 的变换, 我们在这一步中既检查了它是否为对称变换, 同时也得到了 $\mathcal{J}^{\mu}$ 的形式. 例如书中的第二个例子中, 时空平移不仅影响场, 也影响了同为洛伦兹标量 Lagrangian 本身, 即为上述第二种情况.

1. 第一步是检查某变换是否为一个对称变换, 即检查该变换是否保证书中$(2.10)$成立. 大多数情况下, 直接将对于某个对场的变换$(2.9)$代入 Lagrangian 中即可.

(评论) 这一步只是为了得到守恒流关于 $\phi,\partial_{\mu}\phi$ 的函数表达式. 可以这样考虑: 如果 Lagrangian 的形式不变, 则有 $\mathcal{L}' - \mathcal{L} = \mathcal{L} - \mathcal{L} = 0$ (什么都得不到); 而考虑了最小作用量原理后, $\mathcal{L}' - \mathcal{L} = \mathcal{L}_{(\Delta)} + \mathcal{L}_{(\mathrm{Euler})} - \mathcal{L} = \partial_{\mu}j^{\mu} = 0$, $j^{\mu}$ 即为我们想得到的守恒流表达式.

$2.2.4\ \ P18 - (2.13)$

(评论) 这一步只是为了得到守恒流关于 $\phi,\partial_{\mu}\phi$ 的函数表达式. 可以这样考虑: 如果 Lagrangian 的形式不变, 则有 $\mathcal{L}' - \mathcal{L}=\mathcal{L}-\mathcal{L}=0$ (什么都得不到); 而考虑了最小作用量原理后, $\mathcal{L}' - \mathcal{L}=\mathcal{L}_{(\Delta)}+\mathcal{L}_{(\mathrm{Euler})}-\mathcal{L}=\partial_{\mu}j^{\mu}=0$, $j^{\mu}$ 即为我们想得到的守恒流表达式.

2. 第二步中, 我们在形式上计算 Lagrangian 的变化, 得到 (2.11) 式后用 Euler-Lagrange 方程去掉其第二项. 这样, 我们得到了考虑了最小作用量原理后的, 由我们对场的变换导致的 $\Delta\mathcal{L}(\phi,\partial_{\mu}\phi)$ 的形式. 而由于此项仍需满足书中 (2.10), 我们令它等于前面的 $\mathcal{J}^{\mu}$ 后即可得到守恒流.

$\delta S = \int d^{4}x \left( A\delta\phi + A^{*}\delta\phi^{*} \right) = 0.$

更好的导出守恒流的方式也许是考虑局域变换, 详见 Weinberg 书中讲解或 Hagen Kleinert 课件中 8.1.2 一节.

会使书中 (2.10) 成立, 但对称变换的含义是使得 (2.10) 成立的对任意场分布的变换, 所以 “任意的全局变换都是对称变换” 肯定是错误的.

2.2.5 \ P18 - (2.15)

当数值很大或很小时，用科学计数法来表示．如：某年我国人口为七亿五千万，极限误差为二千万，就应写作：$(7.5\pm0.2)\times10^{4}$万，其中$(7.5\pm0.2)$表明有效数字和不确定度， $10^{4}$万表示单位．又如，把$(0.000623\pm0.000003)\ \text{m}$写作$(6.23\pm0.03)\times10^{-4}\ \text{m}$，看起来就简洁醒目了．

一位有效数字，例如$L = (1.00\pm0.02)\text{ cm}$. 一次直接测量结果的有效数字，由仪器极限误差或估计的不确定度来确定. 多次直接测量算术平均值的有效数字，由计算得到平均值的不确定度来确定. 间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定.

（1）诸量相加（或相减）时，其和（或差）数在小数点后所应保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个相同；

有效数字的位数多寡决定于测量仪器，而不决定于运算过程．因此，选择计算工具时，应使其所给出的位数不少于应有的有效数字，否则将使测量结果精度降低，这是不允许的．相反，通过计算工具随意扩大测量结果的有效数字也是错误的，不要认为算出结果的位数越多越好．

在记录和处理数据时，要将数据列成表格．数据表格可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，便于检查、减少和避免错误，也可以及时发现问题和分析问题，有助于从中找出规律性的联系，求出经验公式等．

要学会：正确地取得数据，记录、分析和处理这些数据，要学会“在数据的海洋中航行”. 这对科学实验者来说是十分重要的.

（5）在运算过程中，我们可能碰到一种特定的数，它们叫作正确数．例如将半径化为直径$d = 2r$时出现的倍数$2$，它不是由测量得来的．还有实验测量次数$n$，它总是正整数，没有可疑部分．正确数不适用有效数字的运算规则，只须由其他测量值的有效数字的多少来决定运算结果的有效数字；

（6）在运算过程中，我们还可能碰到一些常数,如$\pi$、$g$之类，一般我们取这些常数与测量的有效数字的位数相同．例如：圆周长$l = 2\pi R$，当$R = 2.356\ \text{mm}$时，此时$\pi$应取$3.142$．